БСЭ1/Лежандра теорема

Лежандра теорема
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Ларте — Лилло. Источник: т. XXXVI (1938): Ларте — Лилло, стлб. 237—238 ( РГБ )

ЛЕЖАНДРА ТЕОРЕМА, называется также законом взаимности квадратичных вычетов (см.). Приводим ее формулировку: если $q$ и $p$ — различные простые нечетные числа, то

$\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}\left({\frac {p}{q}}\right).$

‎Символ $\left({\frac {a}{p}}\right)$[$a\not \equiv 0(mod.p),p$ — нечетное простое число], называемый символом Лежандра, имеет при этом следующий смысл: он равен $+1$ или $-1$, в зависимости от того, является ли $a$ квадратичным вычетом или невычетом числа $p$. Символ Лежандра обладает следующими свойствами:

1. Если $a\equiv b(mod.p)$, то $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)$;

2. $\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)$;

3. $\left({\frac {1}{p}}\right)=+1$; $\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}$; $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}$.

С помощью этих свойств и закона взаимности символ Лежандра можно вычислять для всякого ${\displaystyle }$a, не делящегося на $p$. Например, согласно свойству 2,

$\left({\frac {15}{17}}\right)=\left({\frac {5}{17}}\right)\left({\frac {3}{17}}\right)$

Согласно закону взаимности и свойству 1,

$\left({\frac {5}{17}}\right)=(-1)^{{\frac {17-1}{2}}\cdot {\frac {5-1}{2}}}\left({\frac {17}{5}}\right)=\left({\frac {17}{5}}\right)=\left({\frac {2}{5}}\right),$ $\left({\frac {3}{17}}\right)=(-1)^{{\frac {17-1}{2}}\cdot {\frac {3-1}{2}}}\left({\frac {17}{3}}\right)=\left({\frac {17}{3}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\right).$

‎Далее, согласно свойству 3,

$\left({\frac {2}{5}}\right)=(-1)^{\frac {5^{2}-1}{8}}=(-1)^{3}=-1,$ $\left({\frac {2}{3}}\right)=(-1)^{\frac {3^{2}-1}{8}}=(-1)^{1}=-1.$

‎Таким образом,

$\left({\frac {15}{17}}\right)=\left({\frac {2}{5}}\right)\left({\frac {2}{3}}\right)=(-1)(-1)=+1$

‎т. е. $15$ есть квадратичный вычет числа $17$.

Эта теорема была открыта еще Эйлером. Лежандр дал более современную формулировку закона взаимности и частично его доказал. Первое полное доказательство закона взаимности было дано Гауссом в его знаменитой «Disquisitiones Arithmeticae». Впоследствии Гаусс нашел еще семь различных доказательств этой теоремы и распространил ее на случай  — кубических и биквадратичных вычетов. Якоби удалось сформулировать закон взаимности для нечетных составных чисел $q$ и $p$, взаимнопростых между собой. После Гаусса было найдено еще 50 новых доказательств, но все они являются лишь видоизменениями доказательств Гаусса.

Лит.: Чебышев П. Л., Теория сравнения, 2 изд., СПБ, 1879, 3 изд., СПБ, 1901; Граве Д. [А.], Элементарный курс теории чисел, 2 изд., Киев, 1913; Виноградов И. М., Основы теории чисел, М. — Л., 1936; Лежен Дирихле П. Г., Лекции по теории чисел. В обработке и с добавлениями Р. Дедекинда, пер. с нем., М. — Л., 1936; Венков Б. А., Элементарная теория чисел, М. — Л., 1937; Bachmann Р., Niedere Zahlentheorie, Т. 1—2, Lpz., 1902—1910 [в первой части (гл. VI) этой книги можно найти анализ почти всех существующих доказательств закона взаимности, а также подробные исторические указания].