БСЭ1/Линейные уравнения

Материал из Викитеки — свободной библиотеки

[18]ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, уравнения (см.) первой степени с одним или несколькими неизвестными. В случае нескольких неизвестных приходится иметь дело с системой линейных уравнений; при этом решением системы называется система числовых значений неизвестных, к-рая при подстановке в данные уравнения обращает их в тождества. Система линейных уравнений может и не иметь решений (т. н. несовместная система). Полное свое развитие теория линейных уравнений получила лишь после того, как возникло учение об определителях (см.). Напр., для двух уравнений

с двумя неизвестными решение получается как частное двух определителей:

,
,

если только определитель ; числители получаются из определителя , если в нем подставить члены правых частей уравнений вместо , когда ищется , или вместо , когда ищется . Первые шаги в теории Л. у. были сделаны в 1750 женевским математиком Крамером. В приложении, помещенном в конце своего сочинения по теории алгебраических кривых (Н. Cramer, Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, Genève, 1750), он рассматривает тот частный случай, когда число уравнений равно числу неизвестных, и дает для этого случая формулы решения. А именно, если определитель из коэффициентов системы

(1)

не равен нолю, то каждое из неизвестных равно дроби, знаменатель к-рой есть , а числитель есть определитель, получающийся из путем замены столбца из коэффициентов рассматриваемого неизвестного столбцом из «свободных» членов .

Таким образом, в случае система (1) всегда имеет одно единственное решение. В случае система (1) или не имеет ни одного решения или имеет бесконечное множество решений (неопределенная система). Полное исследование условий совместности и способов нахождения всех решений (также в случае числа уравнений, не равного числу неизвестных) было в основном закончено лишь через сто лет Кронекером. Позднее было найдено исчерпывающее изложение теории линейных уравнений, не пользующееся определителями (к-рые, конечно, от этого не потеряли своего значения). Т. к. фактич. вычисление определителей высоких порядков чрезвычайно громоздко (и уже при практически невозможно), то разработаны также приближенные способы решения Л. у. с большим числом неизвестных. Недавно сконструированы машины, позволяющие осуществить решение систем с числом неизвестных до десяти и с точностью до 0,1%.

Лит.: Современное изложение теории линейных уравнений можно найти, напр., в следующих руководствах: Виноградов С. П., Основания теории детерминантов, 4 изд., М. — Л., 1935; Нетто Я., Начала теории определителей, Одесса, 1912; Каган В. Ф., Основания теории определителей, 1922; Чезаро Э., Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно-малых, 2 изд., ч. 1, Л. — М., 1936; Бохер М., Введение в высшую алгебру, М. — Л., 1933. Изложение линейных уравнений без определителей см.: Шрейер О. и Шпернер Е., Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении, т. I, М. — Л., 1935. О приближенных методах решения см.: Скарборо Д. Г., Численные методы математического анализа, М. — Л., 1934.