Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/От арабов до Гюльдена/ДО

Вторая эпоха: отъ арабовъ до Гюльдена.
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Сканы, размещённые на Викискладе

Вторая эпоха: отъ арабовъ до Гюльдена.

1. Застой въ наукахъ у Арабовъ и другихъ народовъ продолжался послѣ разрушенія Александрійскаго музея около тысячи лѣтъ. Только въ срединѣ ХV-го столѣтія вслѣдъ за всеобщимъ возрожденіемъ наукъ геометрія снова получаетъ свое значеніе. Ея успѣхи сначала были медленны, но геометрическія ученія очень скоро пріобрѣли характеръ общности и отвлеченности, котораго до тѣхъ поръ никогда не имѣли. Въ самомъ дѣлѣ, не одинъ изъ прежнихъ методовъ не допускалъ обобщенія и ограничивался только частными изслѣдованіями, которыми онъ былъ вызванъ: каждая кривая (а число ихъ было очень незначительно) разсматривалась отдѣльно и изслѣдовалась особымъ, только ей свойственнымъ, способомъ; такъ что свойства ея и пріемы, помощію которыхъ они получались, не могли служить кь открытію свойствъ другой кривой линіи. Примѣромъ можетъ служитъ знаменитая задача о касательныхъ, которая для отдѣльныхъ кривыхъ, напр., для коническихъ сѣченій и для Архимедовой спирали, разрѣшалась весьма глубокими, но существенно различными соображеніями, такъ что изъ нихъ нельзя было вывести ни какого указанія для рѣшенія той же задачи относительно другихъ кривыхъ.

Способъ истощенія, хотя и основывался на весьма общей идеѣ, не могъ избавить геометрію отъ этой ограниченности и спеціальности, потомучто ему недоставало общихъ пріемовъ для приложенія, и потому для него каждый частный случай являлся новою задачею, способы рѣшенія которой нужно было искать въ особенностяхъ соотвѣтствующаго чертежа. Тѣмъ не менѣе этотъ способъ дѣлаетъ величайшую честь древнимъ геометрамъ; въ немъ лежали зачатки цѣлаго ряда методовъ опредѣленія квадратуръ, методовъ, которые были долгое время предметомъ постоянныхъ стараній знаменитѣйшихъ геометровъ и которыхъ конечною цѣлію, или лучше сказать торжествомъ, было изобрѣтеніе исчисленія безконечно малыхъ.

Эти соображенія, указывающія въ различіи между частнымъ и общимъ, между конкретнымъ и абстрактнымъ, главное различіе геометріи до XV столѣтія отъ позднѣйшей, заставляютъ насъ смотрѣть на всю первую эпоху, какъ на время подготовленія научнаго матеріала. Характеръ общности и отвлеченности, пріобрѣтаемый геометріею позднѣе, высказывается все болѣе и болѣе въ слѣдующихъ эпохахъ и въ настоящее время дѣлаетъ неизмѣримымъ разстояніе между современною геометріею и геометріею древнихъ.

2. Важнѣйшими открытіями при возрожденіи геометріи мы обязаны Вьету и Кеплеру, которые во многихъ отношеніяхъ были первыми виновниками нашего превосходства передъ древними. (См. Примѣчаніе XII).

Вьетъ (1540—1608). Для усовершенствованія платонова аналитическаго метода Вьетъ изобрѣлъ алгебру, или logistica speciosa, которой назначеніе заключалось въ приложеніи анализа къ наукѣ о числахъ; затѣмъ онъ ввелъ это удивительное вспомогательное средство также и въ науку о протяженіи и, показавъ графическое рѣшеніе уравненій второй и третьей степени, ознакомилъ геометровъ съ искусхвомъ геометрическаго построенія алгебраическихъ выводовъ. Это былъ первый шагъ къ ближайшему соединенію алгебры съ геометріей, — шагъ, который привелъ Декарта къ блистательнымъ открытіямъ и сдѣлался ключемъ всей математики.

Мы обязаны Вьету ученіемъ о sectiones angulares, т. е. знаніемъ закона, по которому возрастаютъ, или уменьшаются, синусы, или хорды, кратныхъ дугъ, или кратныхъ частей ихъ.

Въ сочиненіяхъ этого великаго геометра мы находимъ также первую мысль о выраженіи площади кривой посредствомъ безконечнаго ряда членовъ.

Вьетъ обладалъ не менѣе глубокимъ знаніемъ геометріи древнихъ. Онъ возстановилъ сочиненіе Аполлонія de tactionibus подъ заглавіемъ Apollonius Gallus; здѣсь Вьетъ въ первый разъ рѣшилъ задачу, занимавшую въ то время геометровъ и представлявшую большія трудности, именно задачу о построеніи круга, касающагося трехъ данныхъ на плоскости круговъ. Знаменитый Адріанъ Романъ (Romanus) рѣшилъ эту задачу только при помощи двухъ гиперболъ, что было ошибкою противъ требованій хорошаго пріема, такъ какъ для этого достаточно прямой линіи. Вьетъ взялся изслѣдовать вновь эту задачу (Opera Vietae, стр. 325, изданіе Шутена [Schooten], 1646). Съ тѣхъ поръ ею занимались многіе великіе геометры и предложили различныя рѣшенія, между которыми слѣдуетъ въ особенности упомянуть рѣшеніе Декарта, Ньютона^[1], Томаса Симпсона, Ламберта, Эйлера и Фусса. Для новѣйшихъ способовъ эта задача не представляетъ ничего труднаго; напротивъ того, получены рѣшенія, которыя и въ теоретическомъ и въ практическомъ отношеніи несравненно проще и красивѣе всѣхъ прежнихъ^[2]; такъ что знаменитость этой задачи заключается теперь только въ именахъ, встрѣчающихся въ ея исторіи^[3].

Изъ трудовъ Вьета по геометріи слѣдуетъ особенно замѣтить сочиненіе его подъ заглавіемъ: Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII, въ 20 главахъ, гдѣ изслѣдуются главнымъ образомъ рѣшенія сферическихъ треугольниковъ и рѣшенія задачъ о удвоеніи куба и о квадратурѣ круга. Древніе способы рѣшенія двухъ послѣднихъ знаменитыхъ задачъ, изложенныхъ въ этомъ сочиненіи съ такою точностью и съ такимъ глубокимъ знаніемъ, что мы должны глубоко сожалѣть объ утратѣ остальныхъ частей сочиненія, которыя необходимо должны были предшествовать этой дошедшей до насъ книгѣ.

Сферическую тригонометрію Вьетъ пополнилъ весьма полезными открытіями; между ними должно упомянуть о рѣшеніи такихъ случаевъ, которые не имѣли прямаго приложенія въ астрономіи, напр. опредѣленіе угла по тремъ сторонамъ треугольника, и т. п. Эти изслѣдованія, дополнявшія ученіе о сферическихъ треугольникахъ, привели Вьета къ открытію двухъ общихъ формулъ, заключающихъ въ себѣ всѣ случаи сферической тригонометріи. Двѣ другія формулы, въ сущности извѣстныя уже Грекамъ, хотя и не выраженныя ими въ окончательной формѣ, были открыты Арабами, которые много занимались тригонометріей.

3. Говоря о тригонометріи, мы должны еще указать на одну новую и чрезвычайно счастливую мысль Вьета, — мысль, находящуюся въ прямомъ отношеніи къ новѣйшимъ геометрическимъ ученіямъ: это — преобразованіе сферическаго треугольника въ другой, стороны и углы котораго извѣстнымъ образомъ соотвѣтствуютъ сторонамъ и угламъ даннаго треугольника. Вьетъ говоритъ: «если изъ вершинъ сферическаго треугольника, какъ изъ полюсовъ, опишемъ дуги большихъ круговъ, то полученный такимъ образомъ треугольникъ будетъ взаимный данному, какъ относительно угловъ, такъ и относительно сторонъ». Слѣдуетъ при этомъ замѣтить, что этотъ взаимный треугольникъ не есть совершенно то же, что теперь называется полярнымъ, или дополнительнымъ треугольникомъ, въ которомъ стороны суть дополненія угловъ первоначальнаго, а углы — дополненія сторонъ: въ треугольникѣ Вьета двѣ стороны прямо равны угламъ первоначальнаго треугольника, третья же сторона есть дополненіе третьяго угла. Поэтому въ треугольникахъ Вьета не имѣетъ мѣста полная взаимность дополнительныхъ треугольниковъ, изъ которой проистекаетъ двойственность всѣхъ свойствъ сферическихъ фигуръ; но самая идея этого преобразованія треугольниковъ въ извѣстныхъ случаяхъ тригонометріи заслуживаетъ вниманія, потомучто она есть первый шагъ къ тому направленію и первый зачатокъ тѣхъ общихъ способовъ дуализаціи, которые употребляются въ настоящее время.

Геометры, писавшіе послѣ Вьета о сферической геометріи, заимствовали у него это удачное нововведеніе и преобразовывали сферическіе треугольиики, но всегда въ тѣ же взаимные треугольники Вьета. Таковы: Адріанъ Мецій (Metius), Маджини (Magini), Питискъ (Pitiscus), Неперъ (Neper) и Каваллери (Cavalleri)^[4]. Желлибранъ (Gellibrand) также употреблялъ это преобразованіе, но онъ, какъ кажется, не совершенно строго соблюдалъ соотношенія, существующія между соотвѣтственными треугольниками.

Изобрѣтателемъ настоящаго дополнительнаго треугольника, проистекающаго необходимымъ образомъ изъ преобразованія Вьета, былъ Снеллій. Этотъ во многихъ отношеніяхъ замѣчательный геометръ придалъ дополнительному треугольнику значеніе общаго весьма полезнаго начала и показалъ его важность въ сочиненіи Doctrina triangulorum, появившемся послѣ его смерти въ 1627 году (Кн. III, теор. 8).

Прибавленіе. Къ числу геометровъ, которые, подражая Вьету, дѣлали преобразованіе сферическихъ треугольниковъ, слѣдуетъ присоединить Альберта Жирара (Albert Girard), употреблявшаго также взаимный треугольникъ въ своей тригонометріи, напечатанной въ 1626 году, за годъ до тригонометріи Снеллія. Но этотъ геометръ разумѣлъ подъ этимъ словомъ четыре различные треугольника, составленные изъ дугъ, имѣющихъ полюсами три вершины даннаго треугольника; такъ что треугольники Вьета и Снеллія онъ разсматривалъ также какъ взаимные.

Руководство къ тригонометріи Альберта Жирара, приложенное къ таблицѣ синусовъ, тангенсовъ и секансовъ, весьма сжато, но, не смотря на это, содержитъ мною интереснаго. Изъ предисловія видно, что авторъ занимался геометрическимъ анализомъ древнихъ и возстановилъ сочиненія, заглавія которыхъ переданы намъ Паппомъ; по этому случаю онъ говоритъ, что послѣ этого небольшаго сочиненія о тригонометріи, «которое онъ даетъ какъ образецъ, онъ издастъ что-нибудь болѣе обширное».

Въ этомъ принципѣ Снеллія, если его разсматривать не только какъ средство для рѣшенія вопросовъ сферической тригонометріи, но совершенно отвлеченно, можно видѣть основаніе закона двойственности въ примѣненіи къ геометріи шара. Законъ двойственности сталъ извѣстенъ съ этого времени, но важное значеніе его не было оцѣнено, потомучто онъ нигдѣ не былъ прилагаемъ систематически и со всѣми своими послѣдствіями. Хотя общій законъ двойственности въ пространствѣ, т. е. двоякое проявленіе всѣхъ пространственныхъ формъ, и могъ бы быть выведенъ непосредственно изъ двойственности сферическихъ треугольниковъ, какъ мы это покажемъ при обозрѣніи пятой эпохи, однако онъ былъ открытъ въ первый разъ только въ послѣднее время и притомъ при помощи болѣе глубокихъ, но менѣе прямыхъ, соображеній.

4. Кеплеръ (1571—1631). Кеплеръ въ своей «Новой Стереометріии»^[5] первый разъ употребилъ въ геометріи безконечную величину; это была глубокая мысль, составляющая послѣ способа истощенія, съ такимъ искусствомъ употреблявшагося Архимедомъ, второй шагъ къ способу безконечно-малыхъ. Кеплеръ прилагалъ свой методъ къ изысканію объемовъ тѣлъ, происходящихъ отъ вращенія коническаго сѣченія около прямой, взятой въ его плоскости, — обобщеніе задачъ Архимеда о коноидахъ и сфероидахъ, которое было весьма важно для того времени и представляло большія затрудненія.

Кеплеру же мы обязаны замѣчаніемъ, что приращеніе перемѣнной величины, напримѣръ ординаты кривой линіи, равно нулю въ безконечно-близкомъ сосѣдствѣ съ наибольшимъ или наименьшимъ значеніемъ; это замѣчаніе заключало въ себѣ зародышъ аналитическаго правила de maxmis et minimis, прославившаго Фермата двадцать лѣтъ спустя.

Мы должны упомянуть о прекрасномъ Кеплеровомъ способѣ проэкцій, помощію котораго онъ опредѣлялъ гѳометрическимъ построеніемъ обстаятельства солнечныхъ затмѣній для различныхъ мѣстъ на земшмъ шарѣ. Теперь ми назвали бы это превосходнымъ примѣненіемъ способа проэкцій, несмотря на то, что оно сдѣлано было за 200 лѣтъ до изобрѣтенія Начертательной Геометріи. Этотъ способъ былъ употребляемъ знаменитѣйшими астрономами и геометрами: Кассини, Фламстедомъ, Уреномъ, Галлеемъ и обобщенъ былъ Лагранжемъ въ одномъ его мемуарѣ; любопытно видѣть, съ какимъ искуствомъ знаменитый авторъ Mécanique analytique воспользовался также пріемами Начертательной Геометріи за двадцать лѣтъ до того времени, когда появилось въ свѣтъ это произведеніе генія Монжа^[6].

Труды Кеплера открыли обширное поле для новыхъ изысканій, и еслибы этотъ философскій умъ, создавшій современную астрономію, со всею силою генія былъ болѣе обращенъ къ чистой геометріи, то безъ сомнѣнія эта наука была бы обязана ему значительными успѣхами.

5. Каваллери (1598—1647). Черезъ нѣсколько лѣтъ послѣ появленія Кеплерова способа вычисленія объемовъ коноидовъ появилась другая теорія въ такомъ же родѣ и назначавшаяся также для исчисленія геометрическихъ величинъ помощію ихъ элементовъ. Эта теорія, обогатившая математическія науки и начинающая собою эпоху величайшихъ открытій, сдѣланныхъ въ новѣйшее время, находилась въ Géométrie des indivisibles de Cavalleri, 1635. Способъ Каваллери, удобный главнымъ образомъ для опредѣленія площадей, объемовъ и центровъ тяжести тѣлъ, замѣнявшій собою въ теченіе пятидесяти лѣтъ съ большимъ успѣхомъ интегральное исчисленіе, — былъ, какъ говоритъ самъ Каваллери, ни что иное, какъ счастливое приложеніе или, лучше сказать, видоизмѣненіе способа истощенія.

6. Гюльденъ (1577—1643). Вмѣстѣ съ открытіями Кеплера и Каваллери мы должны помѣстить знаменитое правило Гюльдена, извѣстное уже, какъ мы говорили, во времена Паппа; но оно оставалось незамѣченнымъ и Гюльденъ открылъ его самъ и употреблялъ для рѣшенія трудныхъ вопросовъ, не поддававшихся другимъ способамъ. Впрочемъ этотъ способъ не могъ служить, какъ способы Кеплера и Каваллери, къ расширенію предѣловъ геометріи.

Примѣчанія.

1. Аналитическое рѣшеніе этой задачи находится въ Arithmetica universalis (зад. 47), а чисто геометрическое — въ 1-й книгѣ Principia philosophiae naturalis (лемма 16); послѣднее основано на двухъ гиперболахъ Адріана Романа, но Ньютонъ ихъ не строитъ для нахожденія точки пересѣченія, а опредѣляетъ вмѣсто этого двѣ прямыя, которыя должны проходить черезъ эту точку.
2. Простота построенія не потеряется даже, если мы обобщимъ задачу и вмѣсто круговъ возьмемъ коническія сѣчевія. (См. Примѣчаніе ХХVIII, гдѣ эта же задача изслѣдована для шаровъ и, еще общѣе, для поверхностей втораго порядка).
3. Камереръ (Camerer) около 40 лѣтъ тому назадъ издалъ весьма интересное сочиненіе, къ которому присоединено сочиненіе Apollonius Gallus Вьета; въ заглавіи указано все, содержащееся въ книгѣ, именно: Apollonii de Tactionibus quae supersunt, ас maxime Lemmata Раррі in hos libros graece, nunc primum edita e codicibus mscptis, cum Vietae librorum Apollonii restitutione, adjectis observationibus, computationibus, ac problematis Apollonioni historia. Gotae 1795, in 8°.
4. Изъ тригонометріи Вьета было бы трудно хорошенько узвать соотношеніе между его двумя взаимными треугольниками, но они внолнѣ и совершенно ясно приведены Неперомъ въ Mirifici logarithmorum canonis descriptio (in 4, 1614) и Каваллери сперва въ Directorium generale uranometricum (in 4, 1632) и позднѣе въ Trigonometria plana et sphaerica (in 4, 1648).
5. Nova slereometria doliorum etc. Accessit stereometriae Archimediae supplementum; in fol. Lincii, 1615. [Руск. перев.: Кеплер. Новая стереометрия винных бочек. — М.—Л.: ГТТИ, 1935.]
6. Мемуаръ Лагранжа читанъ въ Берлинской Академіи въ 1778 г. и напечатанъ по нѣмецки въ Ephémérides de 1781. По Французски онъ поавился въ Connaissance des Temps, 1819.