Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/107

92 § 25 числа /я всъ положигельныя, то а также есть число положительное. 2. Подобно тому, какъ каждой безконечной десятичной дроби мы относимъ некоторое положительное число а, точно гакъ же для каждаго гголожительнаго числа а можно подобрать соответствующую безконечную десятичную дробь. Bet рацюнальныя дроби, имъкнцдя знаменателем ь чи- число 10", расположимъ въ порядк^ по нхъ величина и наибольшую изь нихъ, не превосходящую числа а, обозначим ь через ь А'я, такь что -/.--'*< Л'п. C, Тогда найдется одна и только одна цифра z, удовтепюряютая нера- венствамъ Таким ь образомъ можно наращагь дробь Ап, приписывая къ ней спра- справа каждый разь одну определенную цифру, при чемь число а будегь представлять собою верхнюю границу дробей Ап. 3. Разсмотримъ теперь вопросъ, могутъ ли двЬ различныя безко- нечныя десятичныя дроби имъть одну и ту же численную величину. Допустимъ, что две различныя десятичныя дроби съ нижними при- приближенными значешями Ап и Вп им Ьютъ одинаковую численную величи- величину а. Дроби А и Вп, начиная съ нъкотораго значен!я указателя ;/, дол- должны отличаться другъ отъ друга одной или и ^сколькими цифрами; пусть ак и Ьк обозначаютъ нервыя несходныя между собою цифры дробей Atl и /};; допустимъ еще, что ак <С Ьк- Тогда имЕемъ: Если и ^ к, то, согласно формул* B), Иа > Ик и . /'и А'ь, такъ что К - -^ (К ~ак- 1)Ю-. F1 Такъ какъ съ увеличешемъ числа м лъвая часть безпред+эльно умень- уменьшается, а число {Ьк — ак— 1I0—& не меняется, го неравенство Fi возможно лишь при условш: 1>к — ак — 1=0, такъ что К = аы + 1- G) Отсюда слъдуегь, чго при любом ь значенш /; -^ k, согласно форму- л% F), получимъ: К = -Г. = -1.+10""- (8) Обозначивъ (и -- 1)-ыя цифры черезъ d .t и /'„,,, получимь: К + /'«+.! ^" ' = -1. + t"»+, + !) 10^" ' ¦ (9)