Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/111

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Эта страница не была вычитана

_96 § 26 другь оть друга по величине, но занимаюгъ въ мантиссах ь одно и то же место. Дроби, различающаяся между собою цт.лымъ числомъ, им-Ьють все одну и ту же мантиссу; поэтому, для того, чтобы вычислить мантиссы всЪхъ дробей съ знаменателемъ п, достаточно разсмотрЬть однт> лишь правильныя дроби ////». Докажемъ следующую теорему: Отличный другъ отъ друга правильныя дроби у и Y имЬ- ють различный мантиссы 16). Для доказательства предположимъ, что у' > у; найдем ь такое чи- число s, чтобы ю- (Г-т) > 1 (найти такое число у, всегда возможно: см. § 18.8) тогда получимъ: Y + Ю-». G) Положимъ, что тогда, какъ намь уже известно, Т > 8., Г < 8'. + 10-«; принимая во вниман1е неравенство G), найдемъ: Ъ -- 1U-" > Т' > у + Ю- • > 8, + Ю следовательно, S'K > os. Поэтому мантиссы Z и /J дробей -у и у' отли- отличаются другъ огъ друга, по крайней мтф-fc, въ у-мъ десятичномъ знакЪ (если не въ которомъ-нибудь изъ предыдущихь). Дополнимъ доказанную теорему другой, аналогичной: Нтэтъ такой правильной дроби у, мантисса которой состоя- состояла бы только изъ однъхъ девятокъ. Въ самомъ д-ЬлЪ, при достаточно большом ь у мы найдемъ, что 10s(l—у") >- 1, следовательно, 1 > y-j-10" , и a fortiori 1 > 2S -- 10 . Если же всЪ цыфры ^1; -.,, ... -„ были бы девягки, то мы нашли бы, что о.ч -|- 10—s = 1, чго противоречило бы предыдущему неравенству. Поэтому, уже 5-ый десятичный знакь (еспи не который-нибудь изь преды- дущихъ) мантиссы дроби у представляетъ собой цифру, меньшую девяти.

  • ") Это есть предложеже. обратное тому, которое доказано въ § 25, 3.