Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/116

обозначается такъ: $b=a/n$. Что существуетъ одинъ лишь элементъ $b$, легко заключить изъ изложенныхъ посылокъ. Дѣйствительно, если $b'>b$, то $nb'=nb+n(b'-b)$ и превосходитъ элементъ $nb$.

§ 28. Отношенiя.

1. Соизмѣримыми называютъ такiе два элемента $a$ и $b$ измѣримаго комплекса, для которыхъ можно указать два натуральныхъ числа $p$ и $q$, удовлетворяющихъ условiю

$qa=pb$.

(1)

Изъ равенства (1) видно, что, раздѣливъ (согласно § 27, 6) элементъ $a$ на $p$ частей, а элементъ $b$ на $q$ частей, получимъ равныя другъ другу части:

$a/p=b/q=d$,

(2)

такь что $a=pd$, $b=qd$. Элементъ $d$, слѣдовательно, есть общая мѣра элементовъ $a$ и $b$ (отсюда терминъ: „соизмѣримый“).

Въ этомъ случаѣ выражаются такъ: отношенiе элементовъ $a$ и $b$ равно отношенiю чиселъ $p$ и $q$.

Равенство (1) остается въ силѣ, если элементы $a$ и $b$ одно и то же число разъ взять слагаемымъ или раздѣлить на одно и то же число, а также, если числа $p$ и $q$ умножить на одно и то же число, или, наконецъ, отбросить у нихъ обшаго дѣлителя. Поэтому отношенiе чиселъ $p$ и $q$ остается неизмѣннымъ, если не мѣняется численное значенiе дроби $p/q$, и такимъ образомъ отношенiя всѣхъ цѣлыхъ чиселъ, а слѣдовательно, и всякихъ двухъ соизмѣримыхъ элементовъ измѣримой группы можно привести въ однозначное соотвѣтствiе съ рацiональными дробями.

Тогда равенство отношенiй, помимо вышеприведенной формы (1), можетъ быть представлено еще такъ:

$a:b=p:q$ или $a/b=p/q$;

отношенiе $a/b$ считается большимъ, нежели отношенiе $a'/b'=p'/'q'$, если дробь $p/q$ больше дроби $p'/q'$.

Элементы $a$ и $b$ называются соотвѣтственно числителемъ и знаменателемъ отношенiя. Если $a=b$, то отношенiе ихъ $=1$. Если дано отношенiе $p/q$, то величина одного изъ элементовъ $a$ и $b$ можетъ быть взята произвольно. Если, напримѣръ, даны: $p$, $q$ и $b$, то, раздѣливъ элементъ $pb$ на $q$ частей, получимъ элементъ $a$, удовлетворяющiй равенству (1).

2. Если фиксируемъ $b$, то всякому другому элементу $a$ той же группы, соизмѣримому съ элементомъ $b$, будетъ такимъ образомъ отнесено