Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/22

элементовъ будемъ разсматривать, какъ комплексъ $B$. Для выраженiя этого мы будемъ пользоваться обозначенiемъ:

$B=A-\alpha$,

(2)

при чемъ знакъ $-$ (минусъ) обозначаетъ операцiю отниманiя.

Подъ частью комплекса $A$ мы будемъ разумѣть такой комплексъ $A'$, всѣ элементы котораго содержатся въ комплексѣ $A$.

Съ этой точки зрѣнiя каждый комплексъ представляетъ часть самого себя. Комплексъ $A'$ называется правильной частью комплекса $A$, если $A'$ не совпадаетъ съ $A$, т. е. если комплексъ $A$ содержитъ не только всѣ элементы комплекса $A'$, но еще и другiе элементы. Если $A'$ есть правильная часть комплекса $A$, то мы будемъ разумѣть подъ символомъ $A-A'$ комплексъ, который остается, если мы удалимъ изъ комплекса $A$ всѣ элементы комплекса $A'$. Точно такъ же, если $A$ и $B$ суть два комплекса, то мы будемъ разумѣть подъ символомъ $A+B$ комплексъ, содержащiй всѣ элементы, входящiе въ составъ комплексовъ $A$ и $B$.

Если комплексы $A$ и $B$ имѣютъ общiе элементы, то совокупность таковыхъ образуетъ новый комплексъ, который мы будемъ называть, руководясь геометрической аналогiей, пересѣченiемъ комплексовъ $A$ и $B$. Если два комплекса не имѣютъ общихъ элементовъ, то они не имѣютъ пересѣченiя, — не пересѣкаются.

Если всѣ элементы комплекса $B$ содержатся также въ $A$, то самый комплексъ $B$ представляетъ собою пересѣченiе комплексовъ $A$ и $B$. Въ этомъ случаѣ $A+B=A$. Если же пересѣченiе $D$ представляетъ собой правильную часть комплекса $B$, то комплексъ $B-D$ уже не имѣетъ общихъ элементовъ съ комплексомъ $A$; въ этомъ случаѣ

$A+B=A+(B-D)$.

(3)

Въ выраженiи $(B-D)$ скобки означаютъ, что этотъ комплексъ долженъ быть присоединенъ какъ одно цѣлое къ комплексу $A$. Такимъ образомъ выраженіе $A+(B-D)$ означаетъ нѣчто совершенно другое, чѣмъ выраженiе $(A+B)-D$. Первый символъ выражаетъ совокупность всѣхъ тѣхъ элементовъ, которые содержатся либо въ комплексѣ $A$, либо въ комплексѣ $B$, либо въ обоихъ комплексахъ. Второй-же символъ выражаетъ совокупность всѣхъ тѣхъ элементовъ, которые содержатся либо въ $A$ либо въ $B$, но не содержатся въ обоихъ комплексахъ вмѣстѣ. Напротивъ, каковы-бы ни были комплексы $A$, $B$ и $C$, всегда имѣют мѣсто соотношенiя:

$(A+B)+C=A+(B+C)$

(4)

$A+B=B+A$

Тот же текст в современной орфографии

элементов будем рассматривать, как комплекс $B$. Для выражения этого мы будем пользоваться обозначением:

$B=A-\alpha$,

(2)

причём знак $-$ (минус) обозначает операцию отнимания.

Под частью комплекса $A$ мы будем разуметь такой комплекс $A'$, все элементы которого содержатся в комплексе $A$.

С этой точки зрения каждый комплекс представляет часть самого себя. Комплекс $A'$ называется правильной частью комплекса $A$, если $A'$ не совпадает с $A$, т. е. если комплекс $A$ содержит не только все элементы комплекса $A'$, но ещё и другие элементы. Если $A'$ есть правильная часть комплекса $A$, то мы будем разуметь под символом $A-A'$ комплекс, который остаётся, если мы удалим из комплекса $A$ все элементы комплекса $A'$. Точно так же, если $A$ и $B$ суть два комплекса, то мы будем разуметь под символом $A+B$ комплекс, содержащий все элементы, входящие в состав комплексов $A$ и $B$.

Если комплексы $A$ и $B$ имеют общие элементы, то совокупность таковых образует новый комплекс, который мы будем называть, руководясь геометрической аналогией, пересечением комплексов $A$ и $B$. Если два комплекса не имеют общих элементов, то они не имеют пересечения, — не пересекаются.

Если все элементы комплекса $B$ содержатся также в $A$, то сам комплекс $B$ представляет собою пересечение комплексов $A$ и $B$. В этом случае $A+B=A$. Если же пересечение $D$ представляет собой правильную часть комплекса $B$, то комплекс $B-D$ уже не имеет общих элементов с комплексом $A$; в этом случае

$A+B=A+(B-D)$.

(3)

В выражении $(B-D)$ скобки означают, что этот комплекс должен быть присоединён как одно целое к комплексу $A$. Таким образом выражение $A+(B-D)$ означает нечто совершенно другое, чем выражение $(A+B)-D$. Первый символ выражает совокупность всех тех элементов, которые содержатся либо в комплексе $A$, либо в комплексе $B$, либо в обоих комплексах. Второй же символ выражает совокупность всех тех элементов, которые содержатся либо в $A$ либо в $B$, но не содержатся в обоих комплексах вместе. Напротив, каковы бы ни были комплексы $A$, $B$ и $C$, всегда имеют место соотношения:

$(A+B)+C=A+(B+C)$

(4)

$A+B=B+A$