Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/25

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана


Не исключена, однако, возможность, что комплексы A и A+\alpha имѣютъ одинаковую мощность, такъ что a и a+1 выражаютъ одно и то же число.

3. Если число \ell отлично оть \ell+1, то оно называется конечнымъ числомъ. Если-же число \omega совпадаетъ съ числомъ \omega+1, то оно называется безконечнымъ числомъ[1]. Число 1 есть конечное число. Мы апеллируемъ при этомъ къ очевидности, что два объекта (напр. 1, 1) не могутъ быть однозначно сопряжены съ однимъ объектомъ (1). Число 1+1 или 2, такимъ образомъ отлично отъ 1.

Если число \ell конечно, то и число \ell+1 конечно.

Это слѣдуетъ непосредственно изъ предложенiя § 2,7.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть комплексы A, A'=A+\alpha, A''=A+\alpha+\beta будутъ представители чиселъ \ell, \ell+1, \ell+1+1; если бы комплексы A' и A'' имѣли одинаковую мощность, то въ силу названнаго предложенiя комплексы A и A' также имѣли бы одинаковую мощность, т. е. \ell не было бы конечнымъ числомъ.

4. Теперь мы займемся особыми комплексами Z, элементами которыхъ служатъ числа (числовыми комплексами); именно, мы будемъ обозначать символомъ Z комплексы, обладающiе слѣдующими двумя свойствами:

α) Число 1 содержится въ комплексѣ Z.

β) Если въ комплексѣ Z содержится число z, то въ немъ содержится и число z+1.

Эти два свойства во всякомъ случаѣ принадлежатъ комплексу, содержащему всѣ числа. Но существуютъ и другiе числовые комплексы, обладающiе этими свойствами.

Мы опредѣлимъ теперь натуральный рядъ чиселъ N, какъ пересѣченiе всѣхъ комплексовъ Z, обладающихъ свойствами α) и β). Иными словами, мы введемъ въ составъ комплекса N тѣ и только тѣ числа, которыя фигурируютъ во всѣхъ комплексахъ Z.

Согласно этому опредѣленiю, число 1 во всякомъ случаѣ фигурируетъ въ комплексѣ N. Кромѣ того, если въ комплексѣ N содержится



Тот же текст в современной орфографии


Не исключена, однако, возможность, что комплексы A и A+\alpha имеют одинаковую мощность, так что a и a+1 выражают одно и то же число.

3. Если число \ell отлично оть \ell+1, то оно называется конечным числом. Если же число \omega совпадает с числом \omega+1, то оно называется бесконечным числом[2]. Число 1 есть конечное число. Мы апеллируем при этом к очевидности, что два объекта (напр. 1, 1) не могут быть однозначно сопряжены с одним объектом (1). Число 1+1 или 2, таким образом отлично от 1.

Если число \ell конечно, то и число \ell+1 конечно.

Это следует непосредственно из предложения § 2,7.

В самом деле, пусть комплексы A, A'=A+\alpha, A''=A+\alpha+\beta будут представители чисел \ell, \ell+1, \ell+1+1; если бы комплексы A' и A'' имели одинаковую мощность, то в силу названного предложения комплексы A и A' также имели бы одинаковую мощность, т. е. \ell не было бы конечным числом.

4. Теперь мы займёмся особыми комплексами Z, элементами которых служат числа (числовыми комплексами); именно, мы будем обозначать символом Z комплексы, обладающие следующими двумя свойствами:

α) Число 1 содержится в комплексе Z.

β) Если в комплексе Z содержится число z, то в нём содержится и число z+1.

Эти два свойства во всяком случае принадлежат комплексу, содержащему все числа. Но существуют и другие числовые комплексы, обладающие этими свойствами.

Мы определим теперь натуральный ряд чисел N, как пересечение всех комплексов Z, обладающих свойствами α) и β). Иными словами, мы введём в состав комплекса N те и только те числа, которые фигурируют во всех комплексах Z.

Согласно этому определению, число 1 во всяком случае фигурирует в комплексе N. Кроме того, если в комплексе N содержится

  1. Представимъ себѣ неопредѣленный рядъ точекъ на прямой линiи B, C, D, E, … , слѣдующихъ другъ за другомъ на одномъ и томъ же разстоянiи одна отъ другой. Обозначимъ черезъ \omega соотвѣтствующее этому комплексу число. Отъ точки B съ противоположной стороны на томъ же разстоянiи нанесемъ точку A. Если мы присоединимъ ее къ прежнему комплексу, то получимъ новый комплексъ, которому соотвѣтствуетъ число \omega+1. Легко показать, что въ этомъ случаѣ новый комплексъ имѣетъ ту же мощность, что и первоначальный. Дѣйствительно, если мы отнесемъ точку A точкѣ B, точку B точкѣ C, точку C точкѣ D, вообще, отнесемъ каждую точку слѣдующей точкѣ, то этимъ будетъ установлено однозначное соотвѣтствiе между первоначальнымъ и новымъ комплексомъ. Въ данномъ случаѣ число \omega совпадаетъ съ \omega+1, и потому \omega есть безконечное число.
  2. Представим себе неопределённый ряд точек на прямой линии B, C, D, E, … , следующих друг за другом на одном и том же расстоянии одна от другой. Обозначим через \omega соответствующее этому комплексу число. От точки B с противоположной стороны на том же расстоянии нанесём точку A. Если мы присоединим её к прежнему комплексу, то получим новый комплекс, которому соответствует число \omega+1. Легко показать, что в этом случае новый комплекс имеет ту же мощность, что и первоначальный. Действительно, если мы отнесём точку A точке B, точку B точке C, точку C точке D, вообще, отнесём каждую точку следующей точке, то этим будет установлено однозначное соответствие между первоначальным и новым комплексом. В данном случае число \omega совпадает с \omega+1, и потому \omega есть бесконечное число.