Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/27

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана


§2 это можно выразить слѣдующимъ образомъ:

Z_a = Z_{a+1} + (a+1) [1]

Основываясь на этомъ, легко доказать слѣдующее предложенiе.

7. Число 1 не содержится въ комплексѣ N_1. Обозначимъ черезъ N' числовой комплексъ, который образуется изъ комплекса N, если удалить изъ него число 1, т. е. положимъ N'=N-1. Въ такомъ случаѣ комплексъ N' удовлетворяетъ условiямъ α') и β') предыдущаго пункта при a=1, и потому N' представляетъ собой комплексъ Z_1. Съ другой стороны, комплексъ N' содержится во всякомъ комплексѣ Z_1; въ самомъ дѣлѣ, если къ какому-либо комплексу Z_1 присоединимъ число 1, то получимъ комплексъ Z; если бы поэтому существовалъ такой комплексъ Z_1, въ которомъ не содержался бы комплексъ N', то присоединивъ къ нему 1, мы получили бы такой комплексъ Z, въ которомъ не содержался бы комплексъ N, — что противорѣчитъ опредѣленiю натуральнаго ряда [2].

8. Если число a не содержится въ комплексѣ N_a, то число a+1 не содержится въ комплексѣ N_{a+1}.

Въ самомъ дѣлѣ, если число a не входитъ въ составъ комплекса N_a, то оно не входитъ также въ составъ комплекса {N_a}'=N_a-(a+1); поэтому комплексъ {N_a}' удовлетворяетъ требованiямъ α'') и β''), a потому



Тот же текст в современной орфографии


§2 это можно выразить следующим образом:

Z_a = Z_{a+1} + (a+1) [3]

Основываясь на этом, легко доказать следующее предложение.

7. Число 1 не содержится в комплексе N_1. Обозначим через N' числовой комплекс, который образуется из комплекса N, если удалить из него число 1, т. е. положим N'=N-1. В таком случае комплекс N' удовлетворяет условиям α') и β') предыдущего пункта при a=1, и потому N' представляет собой комплекс Z_1. С другой стороны, комплекс N' содержится во всяком комплексе Z_1; в самом деле, если к какому-либо комплексу Z_1 присоединим число 1, то получим комплекс Z; если бы поэтому существовал такой комплекс Z_1, в котором не содержался бы комплекс N', то присоединив к нему 1, мы получили бы такой комплекс Z, в котором не содержался бы комплекс N, — что противоречит определению натурального ряда [4].

8. Если число a не содержится в комплексе N_a, то число a+1 не содержится в комплексе N_{a+1}.

В самом деле, если число a не входит в состав комплекса N_a, то оно не входит также в состав комплекса {N_a}'=N_a-(a+1); поэтому комплекс {N_a}' удовлетворяет требованиям α'') и β''), a потому

  1. Прибавимъ къ этому еще слѣдующее: если какой-либо комплексъ Z_1 содержитъ число 1, то онъ представляетъ собой также комплексъ Z; если же въ немъ нѣтъ числа 1, то достаточно присоединить число 1, чтобы получить комплексъ Z. Дѣйствительно, условiе α) пункта 4 выполняется присоединенiемъ числа 1, условiе же β), присущее и комплексу Z_1, этимъ не нарушается, такъ какъ число 1+1 имѣется и въ комплексѣ Z_1. Въ обозначенiяхъ § 2 это можно выразить такъ:
    Z=Z_1+1

    (ибо, если 1 входитъ въ составъ комплекса Z_1, то комплексъ Z_1+1 совпадаетъ съ комплексомъ Z_1)

  2. Пункты 7—9 въ первоначальной редакцiи содержали погрѣшность; вслѣдствiе этого авторъ опубликовалъ позже исправленный текстъ, съ котораго и сдѣланъ переводъ; исправленный текстъ, однако, изложенъ очень сжато, и мы считаемъ нужнымъ его пояснить.

    Авторъ хочетъ прежде всего показать, что N' есть комплексъ Z_1, для этого ему нужно обнаружить, что, во первыхъ, въ составъ комплекса N' входитъ число 1+1, во вторыхъ, если въ составъ комплекса N' входитъ число n, то въ его составъ входитъ число n+1.

    Въ составъ комплекса N число 1 входитъ; поэтому въ составъ его входитъ также и число 1+1 (п. 4); такъ какъ изъ комплекса N удалено только число 1, то число 1+1 въ комплексѣ N' осталось; первое требованiе, слѣдовательно, выполнено.

    Обращаемся теперь ко второму требованiю; комплексъ N этому требованiю удовлетворяетъ. Если бы въ составъ комплекса N входило число x, удовлетворяющее условію x+1=1, то, устраняя изъ него число 1 и сохраняя число x, мы бы, ко-

  3. Прибавим к этому ещё следующее: если какой-либо комплекс Z_1 содержит число 1, то он представляет собой также комплекс Z; если же в нём нет числа 1, то достаточно присоединить число 1, чтобы получить комплекс Z. Действительно, условие α) пункта 4 выполняется присоединением числа 1, условие же β), присущее и комплексу Z_1, этим не нарушается, так как число 1+1 имеется и в комплексе Z_1. В обозначениях § 2 это можно выразить так:
    Z=Z_1+1

    (ибо, если 1 входит в состав комплекса Z_1, то комплекс Z_1+1 совпадает с комплексом Z_1)

  4. Пункты 7—9 в первоначальной редакции содержали погрешность; вследствие этого автор опубликовал позже исправленный текст, с которого и сделан перевод; исправленный текст, однако, изложен очень сжато, и мы считаем нужным его пояснить.

    Автор хочет прежде всего показать, что N' есть комплекс Z_1, для этого ему нужно обнаружить, что, во-первых, в состав комплекса N' входит число 1+1, во-вторых, если в состав комплекса N' входит число n, то в его состав входит число n+1.

    В состав комплекса N число 1 входит; поэтому в состав его входит также и число 1+1 (п. 4); так как из комплекса N удалено только число 1, то число 1+1 в комплексе N' осталось; первое требование, следовательно, выполнено.

    Обращаемся теперь ко второму требованию; комплекс N этому требованию удовлетворяет. Если бы в состав комплекса N входило число x, удовлетворяющее условию x+1=1, то, устраняя из него число 1 и сохраняя число x, мы бы, ко-