Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/28

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана


представляетъ собой комплексъ Z_{a+1}. Съ другой стороны, комплексъ {N_a}' содержится въ каждомъ комплексѣ Z_{a+1}; дѣйствительно, Z_{a+1} + (a+1) есть комплексъ Z_a (п. 6), и потому содержитъ комплексъ N_a; слѣдовательно, комплексъ Z_{a+1} содержитъ N_a-(a+1), т. е. {N_a}'. Изъ сказаннаго вытекаетъ, что {N_a}'=N_{a+1}.

9. Число a не содержится въ комплексѣ N_a.

Действительно, обозначимъ черезъ A комплексъ чиселъ a, удовлетворяющихъ требованiю, что комплексъ N_a не содержитъ числа a; въ такомъ случаѣ, согласно п. 7, число 1 входитъ въ составъ комплекса A. Съ другой стороны, въ виду п. 8, если въ составъ комплекса A входитъ число z, то въ его составъ входитъ также число z+1. Вслѣдствiе этого комплексъ A представляетъ собой комплексъ Z, и потому содержитъ въ себе натуральный рядъ (п. 4). А такъ какъ индексъ a въ обозначенiи комплекса N_a, согласно определенiю (п. 6), есть натуральное число, то оно входитъ въ составъ комплекса A, т. е. комплексъ N_a, не содержитъ числа a.

10. Если число b содержится въ комплексѣ N_a, то комплексъ N_b содержится въ комплексѣ N_a.

Дѣйствительно, если комплексъ N_a содержитъ число b, то онъ содержитъ также число b+1; а такъ какъ онъ удовлетворяетъ также условiю β'), то онъ при этихъ условiяхъ представляетъ собой комплексь Z_b, и потому содержитъ въ себѣ комплексъ N_b (п. 6).

11. Если число b содержится въ комплексѣ N_a, то число a не содержится въ комплексе N_b.

Согласно п. 9, число a не содержится въ комплексѣ N_a; поэтому, при условiяхъ заданiя, оно не можетъ содержаться и въ комплексѣ N_b,



Тот же текст в современной орфографии


представляет собой комплекс Z_{a+1}. С другой стороны, комплекс {N_a}' содержится в каждом комплексе Z_{a+1}; действительно, Z_{a+1} + (a+1) есть комплекс Z_a (п. 6), и потому содержит комплекс N_a; следовательно, комплекс Z_{a+1} содержит N_a-(a+1), т. е. {N_a}'. Из сказанного вытекает, что {N_a}'=N_{a+1}.

9. Число a не содержится в комплексе N_a.

Действительно, обозначим через A комплекс чисел a, удовлетворяющих требованию, что комплекс N_a не содержит числа a; в таком случае, согласно п. 7, число 1 входит в состав комплекса A. С другой стороны, ввиду п. 8, если в состав комплекса A входит число z, то в его состав входит также число z+1. Вследствие этого комплекс A представляет собой комплекс Z, и потому содержит в себе натуральный ряд (п. 4). А так как индекс a в обозначении комплекса N_a, согласно определению (п. 6), есть натуральное число, то оно входит в состав комплекса A, т. е. комплекс N_a, не содержит числа a.

10. Если число b содержится в комплексе N_a, то комплекс N_b содержится в комплексе N_a.

Действительно, если комплекс N_a содержит число b, то он содержит также число b+1; а так как он удовлетворяет также условию β'), то он при этих условиях представляет собой комплексь Z_b, и потому содержит в себе комплекс N_b (п. 6).

11. Если число b содержится в комплексе N_a, то число a не содержится в комплексе N_b.

Согласно п. 9, число a не содержится в комплексе N_a; поэтому, при условиях задания, оно не может содержаться и в комплексе N_b,

нечно, нарушили это условiе. Но дѣло въ томъ, что такое число x не только не входитъ въ составъ комплекса N, но не введено вовсе опредѣленiемъ п. 1, ибо его представителемъ долженъ былъ бы служить комплексъ, не имѣющiй вовсе элементовъ, а это противорѣчитъ понятiю о комплексѣ.

Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что комплексъ N' удовлетворяетъ обоимъ требованiямъ, т. е. представляетъ собой комплексъ Z_1. Такъ какъ комплексъ N_1 входитъ въ составь всякаго комплекса Z_1 (п. 6), то N_1 входитъ въ составъ комплекса N'.

Съ другой стороны, можно показать, что N' входитъ въ составъ каждаго комплекса Z_1; допустимъ, дѣйствительно, что Z_1 есть комплексъ Z_1, въ составъ котораго N' не входитъ; но въ такомъ случаѣ комплексъ N'+1=N не входилъ бы въ составъ комплекса Z_1+1=Z (см. предыд. примѣчанiе), а это противорѣчитъ опредѣленiю натуральнаго ряда N. Итакъ, комплексъ N' входитъ въ составъ всякаго комплекса Z_1, а потому входитъ въ составъ N_1, согласно опредѣленiю этого комплекса. Такъ какь N_1 входитъ также въ составъ N', то N_1=N', а потому комплексъ N_1 не содержитъ числа 1.

Понявъ всѣ детали доказательства настоящаго пункта, уже нетрудно уяснить себѣ доказательства п. п 8 и 9.

нечно, нарушили это условие. Но дело в том, что такое число x не только не входит в состав комплекса N, но не введено вовсе определением п. 1, ибо его представителем должен был бы служить комплекс, не имеющий вовсе элементов, а это противоречит понятию о комплексе.

Из сказанного следует, что комплекс N' удовлетворяет обоим требованиям, т. е. представляет собой комплекс Z_1. Так как комплекс N_1 входит в составь всякого комплекса Z_1 (п. 6), то N_1 входит в состав комплекса N'.

С другой стороны, можно показать, что N' входит в состав каждого комплекса Z_1; допустим, действительно, что Z_1 есть комплекс Z_1, в состав которого N' не входит; но в таком случае комплекс N'+1=N не входил бы в состав комплекса Z_1+1=Z (см. предыд. примечание), а это противоречит определению натурального ряда N. Итак, комплекс N' входит в состав всякого комплекса Z_1, а потому входит в состав N_1, согласно определению этого комплекса. Так какь N_1 входит также в состав N', то N_1=N', а потому комплекс N_1 не содержит числа 1.

Поняв все детали доказательства настоящего пункта, уже нетрудно уяснить себе доказательства п. п 8 и 9.