Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/31

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана


число 1 (§ 3, 7); поэтому каждое натуральное число, отличное отъ 1, содержится въ комплексѣ N_1.

b') Допустимъ теперь, что предложенiе 1 доказано для нѣкотораго числа a. Пусть b будетъ число отличное отъ a. Дано, что

число a не содержится въ комплексе N_b и, слѣдовательно, (согласно допущенiю) число b содержится въ комплексѣ N_a.

Требуется доказать:

если число b отлично отъ a+1 и число a+1 не содержится въ комплексѣ N_b, то число b содержится въ комплексѣ N_{a+1}.

При доказательствѣ мы можемъ также принимать, что число b отлично отъ a; если бы b=a, то число a+1 содержалось бы въ комплексѣ N_b (§ 3, 6).

Такъ какъ число a+1 не содержится въ комплексе N_b, то въ немъ не содержится и число a: если бы послѣднее входило въ составъ комплекса N_b, то въ его составъ, согласно опредѣленiю (§ 3, β'), должно было бы войти и число a+1.

Согласно заданiю, число b входитъ въ составъ комплекса N_a, такъ какъ при этомъ (§ 3, 7)

N_a = N_{a+1} + (a+1), (1)

число же b отлично отъ a+1, то оно необходимо входитъ въ составъ комплекса N_{a+1}, что и требовалось доказать.

Такимъ образомъ, въ силу теоремы о совершенной индукцiи, предложенiе 1 справедливо при a=1, а также для всѣхъ чиселъ a, содержащихъ въ комплексѣ N_1, т. е. для всѣхъ чиселъ натуральнаго ряда. Изъ всего сказаннаго (§ 3, 11 и § 5, 1) вытекаетъ слѣдующiй выводъ: если числа a и b различны, то либо число a содержится въ комплексѣ N_b, либо же число b содержится въ комплексѣ N_a; то и другое вмѣстѣ не можетъ имѣть мѣста. Это даетъ возможность расположить числа натуральнаго ряда по величинѣ.

Дополнимъ опредѣленiе § 3, 11, именно: если число b содержится въ комплексѣ N_a, то мы будемъ говорить, что число b больше числа a, а число a меньше числа b.

Следовательно, если число a отлично отъ числа b; и не больше, нежели b, то оно меньше числа b. Относительно двухъ различныхъ чиселъ a и b такимъ образомъ строго опредѣлено, которое изъ нихъ больше, которое меньше. Если b есть большее изъ этихъ двухъ чиселъ, то мы будемъ писать

b>a и a<b;

одно изъ этихъ соотношенiй представляетъ собой слѣдствiе другого.



Тот же текст в современной орфографии


число 1 (§ 3, 7); поэтому каждое натуральное число, отличное от 1, содержится в комплексе N_1.

b') Допустим теперь, что предложение 1 доказано для некоторого числа a. Пусть b будет число отличное от a. Дано, что

число a не содержится в комплексе N_b и, следовательно, (согласно допущению) число b содержится в комплексе N_a.

Требуется доказать:

если число b отлично от a+1 и число a+1 не содержится в комплексе N_b, то число b содержится в комплексе N_{a+1}.

При доказательстве мы можем также принимать, что число b отлично от a; если бы b=a, то число a+1 содержалось бы в комплексе N_b (§ 3, 6).

Так как число a+1 не содержится в комплексе N_b, то в нём не содержится и число a: если бы последнее входило в состав комплекса N_b, то в его состав, согласно определению (§ 3, β'), должно было бы войти и число a+1.

Согласно заданию, число b входит в состав комплекса N_a, так как при этом (§ 3, 7)

N_a = N_{a+1} + (a+1), (1)

число же b отлично от a+1, то оно необходимо входит в состав комплекса N_{a+1}, что и требовалось доказать.

Таким образом, в силу теоремы о совершенной индукции, предложение 1 справедливо при a=1, а также для всех чисел a, содержащих в комплексе N_1, т. е. для всех чисел натурального ряда. Из всего сказанного (§ 3, 11 и § 5, 1) вытекает следующий вывод: если числа a и b различны, то либо число a содержится в комплексе N_b, либо же число b содержится в комплексе N_a; то и другое вместе не может иметь места. Это даёт возможность расположить числа натурального ряда по величине.

Дополним определение § 3, 11, именно: если число b содержится в комплексе N_a, то мы будем говорить, что число b больше числа a, а число a меньше числа b.

Следовательно, если число a отлично от числа b; и не больше, нежели b, то оно меньше числа b. Относительно двух различных чисел a и b таким образом строго определено, которое из них больше, которое меньше. Если b есть большее из этих двух чисел, то мы будем писать

b>a и a<b;

одно из этих соотношений представляет собой следствие другого.