Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/32

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана


Вмѣстѣ съ тѣмъ предложенiе § 3, 10* можетъ быть дополнено слѣдующимъ образомъ.

2. Если число a меньше, нежели b, а b меньше, нежели c, то число a меньше, нежели c.

3. Если число a меньше, нежели b, то a+1 меньше, нежели b+1.

Въ самомъ дѣлѣ,

N_{a+1} = N_a - (a+1) и N_{b+1} = N_b - (b+1). (2)

Если теперь a<b, то комплексъ N_b представляетъ собой правильную часть комплекса N_a, при чемъ число a+1 не содержится въ комплексѣ N_b; слѣдовательно, комплексъ N_b, входитъ въ составъ комплекса N_{a+1}; комплексъ-же N_b - (b+1) составляетъ часть комплекса N_{a+1}. Это и составляетъ содержанiе доказываемаго предложенiя [1].

4. Bcѣ комплексы N_a имѣютъ одинаковую мощность — и именно ту же, что и комплексъ N.

Дѣйствительно, если отнесемъ каждый элементъ a комплекса N числу a+1 комплекса N_1, то между комплексами N и N_1, будетъ установлено однозначное соотвѣтствiе; они имѣютъ, слѣдовательно, одинаковую мощность. Точно такъ же мы получаемъ однозначное соотвѣтствiе между комплексами N_a и N_{a+1}, если мы отнесемъ каждый элементъ n комплекса N_a элементу n+1 комплекса N_{a+1} вслѣдствiе этого комплексъ N_{a+1} имѣетъ ту-же мощность, что и комплексъ N_a. Въ силу закона индукцiи, мы отсюда заключаемъ, что комплексы N_a и N имѣютъ одну и ту-же мощность. Если мы обозначимъ мощность всѣхъ этихъ комплексовъ черезъ \omega, то число \omega совпадаетъ съ \omega+1, а потому \omega есть безконечное или, по Кантору (G. Cantor), трансфинитное число.



Тот же текст в современной орфографии


Вместе с тем предложение § 3, 10* может быть дополнено следующим образом.

2. Если число a меньше, нежели b, а b меньше, нежели c, то число a меньше, нежели c.

3. Если число a меньше, нежели b, то a+1 меньше, нежели b+1.

В самом деле,

N_{a+1} = N_a - (a+1) и N_{b+1} = N_b - (b+1). (2)

Если теперь a<b, то комплекс N_b представляет собой правильную часть комплекса N_a, причём число a+1 не содержится в комплексе N_b; следовательно, комплекс N_b, входит в состав комплекса N_{a+1}; комплекс же N_b - (b+1) составляет часть комплекса N_{a+1}. Это и составляет содержание доказываемого предложения [2].

4. Bcе комплексы N_a имеют одинаковую мощность — и именно ту же, что и комплекс N.

Действительно, если отнесём каждый элемент a комплекса N числу a+1 комплекса N_1, то между комплексами N и N_1, будет установлено однозначное соответствие; они имеют, следовательно, одинаковую мощность. Точно так же мы получаем однозначное соответствие между комплексами N_a и N_{a+1}, если мы отнесём каждый элемент n комплекса N_a элементу n+1 комплекса N_{a+1} вследствие этого комплекс N_{a+1} имеет ту же мощность, что и комплекс N_a. В силу закона индукции, мы отсюда заключаем, что комплексы N_a и N имеют одну и ту же мощность. Если мы обозначим мощность всех этих комплексов через \omega, то число \omega совпадает с \omega+1, а потому \omega есть бесконечное или, по Кантору (G. Cantor), трансфинитное число.

  1. Это доказательство также изложено очень сжато.

    Прежде всего покажемъ, что при b>a число a+1 не содержится въ комплексѣ N_b. Такъ какъ b>a, то число b принадлежитъ комплексу N_a (опр. § 3,11). Соотношенiе (1) обнаруживаетъ, что число b либо совпадаетъ при этомъ съ a+1, либо содержится въ комплексѣ N_{a+1}. Если число b совпадаетъ съ a+1, то N_b есть N_{a+1}, а потому число a+1 въ его составъ не входитъ (§ 3,9). Если же число b входитъ въ составъ комплекса N_{a+1}, то и въ этомъ случаѣ число a+1 не входитъ въ составъ комплекса N_b (3,11).

    По условiю b>a, т. е. число b принадлежитъ комплексу N_a, а потому комплексъ N_b входитъ въ составъ комплекса N_a (§ 3, 10). Но такъ какъ число a+1 въ комплексѣ N_b не содержится, то мы можемъ исключить изъ комплекса N_a число (a+1), и комплексъ N_b будетъ все же содержаться въ оставшемся комплексѣ. Но оставшiйся комплексъ [соотн. (2)] есть N_{a+1}; слѣдовательно, комплексъ N_b входитъ въ составъ комплекса N_{a+1}, а потому въ составъ комплекса N_{a+1} входитъ и число b+1, принадлежащее комплексу N_b. Иными словами, b+1>a+1 (опр. § 3, 11).

  2. Это доказательство также изложено очень сжато.

    Прежде всего покажем, что при b>a число a+1 не содержится в комплексе N_b. Так как b>a, то число b принадлежит комплексу N_a (опр. § 3,11). Соотношение (1) обнаруживает, что число b либо совпадает при этом с a+1, либо содержится в комплексе N_{a+1}. Если число b совпадает с a+1, то N_b есть N_{a+1}, а потому число a+1 в его состав не входит (§ 3,9). Если же число b входит в состав комплекса N_{a+1}, то и в этом случае число a+1 не входит в состав комплекса N_b (3,11).

    По условию b>a, т. е. число b принадлежит комплексу N_a, а потому комплекс N_b входит в состав комплекса N_a (§ 3, 10). Но так как число a+1 в комплексе N_b не содержится, то мы можем исключить из комплекса N_a число (a+1), и комплекс N_b будет всё же содержаться в оставшемся комплексе. Но оставшийся комплекс [соотн. (2)] есть N_{a+1}; следовательно, комплекс N_b входит в состав комплекса N_{a+1}, а потому в состав комплекса N_{a+1} входит и число b+1, принадлежащее комплексу N_b. Иными словами, b+1>a+1 (опр. § 3, 11).