Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/33

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана

Всякiй комплексъ, имѣющiй ту же мощность, что и комплексъ N, называется исчислимымъ комплексомъ.

5. Если комплексъ M содержитъ въ себѣ безконечный комплексъ A, то онъ и самъ представляетъ собой безконечный комплексъ.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть \alpha будетъ элементъ, не входящiй въ составъ комплекса M; составимъ комплексъ M' = M+\alpha. Такъ какъ по условiю комплексъ A безконеченъ, то онъ можетъ быть связанъ однозначнымъ соотвѣтствiемъ съ комплексомъ A+\alpha. Если мы затѣмъ отнесемъ каждый изъ остальныхъ элементовъ комплекса M (т. е. элементы комплекса M-A) самому себѣ, то этимъ будетъ установлено однозначное соотвѣтствiе между M' и M. Если поэтому \omega есть число комплекса M, то оно совпадаетъ съ \omega+1, и потому безконечно.

6. Если мощность какого либо комплекса M не совпадаетъ съ мощностью ни одного изъ чиселъ натуральнаго ряда, то онъ содержитъ въ себѣ часть, имѣющую мощность натуральнаго ряда, а потому онъ безконеченъ.

Комплексъ M, какъ всякiй комплексъ, содержитъ въ себѣ часть M_1 мощности 1. Выдѣлимъ такую часть и отнесемъ къ ней число 1.

Теперь допустимъ, что комплексъ M имѣетъ часть M_a мощности натуральнаго числа a, содержащую въ себѣ M_1. Такъ какъ самый комплексъ M не имѣетъ мощности натуральнаго числа, то комплексъ M_a представляетъ собою правильную часть комплекса M, — иначе говоря, въ комплексѣ M имеются элементы, которыхъ нѣтъ въ комплексѣ M_a. Выбравъ одинъ опредѣленный изъ этихъ элементовъ, отнесемъ ему число a+1 и присоединимъ его къ комплексу M_a. Такимъ образомъ мы составимъ комплексъ M_{a+1}, заключающiй въ себѣ комплексъ M_a и представляющiй собой часть комплекса M. Въ силу закона индукцiи мы отсюда заключаемъ, что такое построенiе возможно для каждаго числа a, — иными словами, что каждому числу натуральнаго ряда можно отнести элементъ комплекса M, что и требовалось доказать.

Изъ всего сказаннаго вытекаетъ, что понятiе о натуральномъ числѣ совпадаетъ съ понятiемъ о конечномъ числѣ, какъ оно было установлено въ § 3, 3.

7. Во всякомъ конечномъ числовомъ комплексѣ S_a, содержащемъ a натуральныхъ чиселъ, имѣется одно наибольшее и одно наименьшее число.

Само собою разумѣется, что теорема справедлива при a = 1; въ этомъ случаѣ комплексъ A состоитъ изъ одного только числа, которое само можетъ быть разсматриваемо, какъ самое большее и самое меньшее число этого комплекса. Допустимъ теперь, что теорема доказана для нѣ-



Тот же текст в современной орфографии

Всякий комплекс, имеющий ту же мощность, что и комплекс N, называется исчислимым комплексом.

5. Если комплекс M содержит в себе бесконечный комплекс A, то он и сам представляет собой бесконечный комплекс.

В самом деле, пусть \alpha будет элемент, не входящий в состав комплекса M; составим комплекс M' = M+\alpha. Так как по условию комплекс A бесконечен, то он может быть связан однозначным соответствием с комплексом A+\alpha. Если мы затем отнесём каждый из остальных элементов комплекса M (т. е. элементы комплекса M-A) самому себе, то этим будет установлено однозначное соответствие между M' и M. Если поэтому \omega есть число комплекса M, то оно совпадает с \omega+1, и потому бесконечно.

6. Если мощность какого-либо комплекса M не совпадает с мощностью ни одного из чисел натурального ряда, то он содержит в себе часть, имеющую мощность натурального ряда, а потому он бесконечен.

Комплекс M, как всякий комплекс, содержит в себе часть M_1 мощности 1. Выделим такую часть и отнесём к ней число 1.

Теперь допустим, что комплекс M имеет часть M_a мощности натурального числа a, содержащую в себе M_1. Так как сам комплекс M не имеет мощности натурального числа, то комплекс M_a представляет собою правильную часть комплекса M, — иначе говоря, в комплексе M имеются элементы, которых нет в комплексе M_a. Выбрав один определённый из этих элементов, отнесём ему число a+1 и присоединим его к комплексу M_a. Таким образом мы составим комплекс M_{a+1}, заключающий в себе комплекс M_a и представляющий собой часть комплекса M. В силу закона индукции мы отсюда заключаем, что такое построение возможно для каждого числа a, — иными словами, что каждому числу натурального ряда можно отнести элемент комплекса M, что и требовалось доказать.

Из всего сказанного вытекает, что понятие о натуральном числе совпадает с понятием о конечном числе, как оно было установлено в § 3, 3.

7. Во всяком конечном числовом комплексе S_a, содержащем a натуральных чисел, имеется одно наибольшее и одно наименьшее число.

Само собою разумеется, что теорема справедлива при a = 1; в этом случае комплекс A состоит из одного только числа, которое само может быть рассматриваемо, как самое большее и самое меньшее число этого комплекса. Допустим теперь, что теорема доказана для не-