Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/34

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана


котораго опредѣленнаго значенiя a, и пусть z_1, будетъ самое меньшее, z_2 самое большее число комплекса S_a. Каждый комплексъ S_{a+1} получается изъ нѣкотораго комплекса S_a путемъ присоединенiя одного новаго числа z_0. Если теперь z_0<z_1, то z_0 представляетъ собою самое меньшее, z_2 самое большее число комплекса S_{a+1}; если z_0>z_2, то z_1 есть самое меньшее, z_0 самое большее число комплекса S_{a+1}; если, наконецъ, z_1<z_0<z_2, то z_1 есть самое меньшее, z_2 самое большее число комплекса S_{a+1}. Въ силу совершенной индукцiи, предложенiе такимъ образомъ доказано.



Тот же текст в современной орфографии


которого определённого значения a, и пусть z_1, будет самое меньшее, z_2 самое большее число комплекса S_a. Каждый комплекс S_{a+1} получается из некоторого комплекса S_a путём присоединения одного нового числа z_0. Если теперь z_0<z_1, то z_0 представляет собою самое меньшее, z_2 самое большее число комплекса S_{a+1}; если z_0>z_2, то z_1 есть самое меньшее, z_0 самое большее число комплекса S_{a+1}; если, наконец, z_1<z_0<z_2, то z_1 есть самое меньшее, z_2 самое большее число комплекса S_{a+1}. В силу совершенной индукции, предложение таким образом доказано.



§ 6. Кардинальныя числа. Системы счисленiя.

Если мы выключимъ изъ натуральнаго ряда N комплексъ N_a, то останутся, кромѣ числа a, только тѣ числа, которыя меньше a, ибо каждое число, большее, нежели a, принадлежитъ комплексу N_a.

Этотъ комплексъ мы будемъ обозначать черезъ E_a, такъ что

E_a = N - N_a.

Комплексъ E_a состоитъ, слѣдовательно, изъ всѣхъ чиселъ n, удовлетворяющiхъ условiю

n \leqslant a,

или — въ словахъ — изъ всѣхъ чиселъ, которыя равны или меньше числа a.

1. Комплексъ E_{a+1} получается изъ комплекса E_a путемъ присоединенiя къ послѣднему числа a+1.

Въ самомъ дѣлѣ, изъ комплекса N_a мы получаемъ комплексъ N_{a+1}, выключая изъ него число a+1; поэтому, чтобы изъ комплекса N-N_a получить комплексъ N-N_{a+1}, къ нему нужно только присоединить число a+1.

2. Число E_a имѣетъ мощность a.

Доказательство ведется индуктивнымъ путемъ. Предложенiе справедливо, если a=1, потому что комплексъ E_1 содержитъ только одно число 1. Если же предложенiе справедливо для комплекса E_a, то, въ силу предыдущаго предложенiя, оно справедливо также для комплекса E_{a+1}.

Итакъ, E_a есть конечный комплексъ, и если b>a, то комплексъ E_a представляетъ собой правильную часть комплекса E_b, ибо комплексъ N_b есть правильная часть комплекса N_a.

Если поэтому комплексы A и B суть представители натуральныхъ чиселъ a и b, то комплексъ A, которому соотвѣтствуетъ меньшее число, можетъ быть приведенъ въ однозначное соотвѣтствiе съ правильною частью комплекса B; и обратно, если одинъ изъ двухъ конечныхъ комплексовъ можетъ быть приведенъ въ однозначное соотвѣтствiе съ правильною частью другого, то ему отвѣчаетъ меньшее число.



Тот же текст в современной орфографии


§ 6. Кардинальные числа. Системы счисления.

Если мы выключим из натурального ряда N комплекс N_a, то останутся, кроме числа a, только те числа, которые меньше a, ибо каждое число, большее, нежели a, принадлежит комплексу N_a.

Этот комплекс мы будем обозначать через E_a, так что

E_a = N - N_a.

Комплекс E_a состоит, следовательно, из всех чисел n, удовлетворяющих условию

n \leqslant a,

или — в словах — из всех чисел, которые равны или меньше числа a.

1. Комплекс E_{a+1} получается из комплекса E_a путём присоединения к последнему числа a+1.

В самом деле, из комплекса N_a мы получаем комплекс N_{a+1}, выключая из него число a+1; поэтому, чтобы из комплекса N-N_a получить комплекс N-N_{a+1}, к нему нужно только присоединить число a+1.

2. Число E_a имеет мощность a.

Доказательство ведётся индуктивным путем. Предложение справедливо, если a=1, потому что комплекс E_1 содержит только одно число 1. Если же предложение справедливо для комплекса E_a, то, в силу предыдущего предложения, оно справедливо также для комплекса E_{a+1}.

Итак, E_a есть конечный комплекс, и если b>a, то комплекс E_a представляет собой правильную часть комплекса E_b, ибо комплекс N_b есть правильная часть комплекса N_a.

Если поэтому комплексы A и B суть представители натуральных чисел a и b, то комплекс A, которому соответствует меньшее число, может быть приведён в однозначное соответствие с правильною частью комплекса B; и обратно, если один из двух конечных комплексов может быть приведён в однозначное соответствие с правильною частью другого, то ему отвечает меньшее число.