Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/38

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана

ГЛАВА II.
Ариѳметическiя дѣйствiя.

§ 7. Сложенiе.

Мы воспользуемся совершенной индукцiей для доказательства слѣдующаго предложенiя.

1. Если мы соединимъ два конечныхъ комплекса A и B въ одинъ комплексъ, то получимъ конечный комплексъ.

При доказательствѣ мы можемъ ограничиться предположенiемъ, что комплексы A и B не имѣютъ общихъ элементовъ. Въ самомъ дѣлѣ, если всѣ элементы комплекса B принадлежатъ также комплексу A, то, комплексъ A+B=A, а потому представляетъ собой, согласно условiю, конечный комплексъ. Если же D есть пересѣченiе комплексовъ A и B то B-D есть часть комплекса B, не имѣющая общихъ элементовъ съ комплексомъ A; вмѣстѣ съ тѣмъ (§ 2, 5)

A+B=A+(B-D).

Такимъ образомъ мы можемъ съ самаго начала принять, что комплексы A и B не имѣютъ общихъ элементовъ. Если теперь комплексъ B содержитъ только одинъ элементъ \beta, то доказываемая теорема справедлива, потому что комплексъ A+B, согласно предложенiю § 3, 3, представляетъ собой конечный комплексъ. Теперь примемъ, что b есть число элементовъ комплекса B и что наше предложенiе для комплексовъ A и B уже доказано, такъ что A+B представляютъ собой конечный комплексъ. Если теперь \beta' представляетъ собой новый элементъ, не содержащiйся ни въ A ни въ B, то B+\beta' также есть конечный комплексъ, число элементовъ котораго есть b+1. Поэтому комплексъ

(A+B)+\beta'=A+(B+\beta'),
въ силу того же § 3, 3, конеченъ.

Всѣ условiя, необходимыя для примѣненiя совершенной индукцiи, такимъ образомъ на лицо, и, слѣдовательно, наша теорема доказана.



Тот же текст в современной орфографии

ГЛАВА II
Арифметические действия

§ 7. Сложение.

Мы воспользуемся совершенной индукцией для доказательства следующего предложения.

1. Если мы соединим два конечных комплекса A и B в один комплекс, то получим конечный комплекс.

При доказательстве мы можем ограничиться предположением, что комплексы A и B не имеют общих элементов. В самом деле, если все элементы комплекса B принадлежат также комплексу A, то, комплекс A+B=A, а потому представляет собой, согласно условию, конечный комплекс. Если же D есть пересечение комплексов A и B то B-D есть часть комплекса B, не имеющая общих элементов с комплексом A; вместе с тем (§ 2, 5)

A+B=A+(B-D).

Таким образом мы можем с самого начала принять, что комплексы A и B не имеют общих элементов. Если теперь комплекс B содержит только один элемент \beta, то доказываемая теорема справедлива, потому что комплекс A+B, согласно предложению § 3, 3, представляет собой конечный комплекс. Теперь примем, что b есть число элементов комплекса B и что наше предложение для комплексов A и B уже доказано, так что A+B представляют собой конечный комплекс. Если теперь \beta' представляет собой новый элемент, не содержащийся ни в A ни в B, то B+\beta' также есть конечный комплекс, число элементов которого есть b+1. Поэтому комплекс

(A+B)+\beta'=A+(B+\beta'),
в силу того же § 3, 3, конечен.

Все условия, необходимые для применения совершенной индукции, таким образом налицо, и, следовательно, наша теорема доказана.