Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/42

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана


числомъ ab+a; съ другой стороны, тотъ же комплексъ можетъ быть выраженъ числомъ a(b+1), а потому

ab+a = a(b+1); (3)
это соотношенiе сохраняетъ свою силу и при b=1. Но при b=1, въ силу самаго определенiя,
ab = ba.

Если мы поэтому примемъ, что соотношение (2) доказано для нѣкотораго значенiя числа b, то изъ равенства (3) вытекаетъ

a(b+1) = ba + a;
если же мы въ соотношенiи (1) замѣнимъ a и b другъ другомъ, то получимъ
ba + a = (b+1)a;
следовательно,
a(b+1) = (b+1)a,
т. е. справедливость соотношенiя (2) доказана и для ближайшаго большаго значенiя числа b. Мы можемъ поэтому примѣнить индуктивный прiемъ, и предложенiе доказано во всемъ его объемѣ.

Въ силу этого нѣтъ болѣе основанiй къ тому, чтобы отличать другъ отъ друга множимое и множителя; ихъ называютъ обыкновенно безразлично сомножителями произведенiя.

Для производства умноженiя достаточно знать произведенiя любыхъ двухъ чиселъ въ ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — которыя мы составляемъ непосредственнымъ счетомъ и запечатлѣваемъ въ своей памяти. Десятичная система счисленiя даетъ возможность извѣстнымъ способомъ составлять произведенiя большихъ чиселъ.

3. Законъ сочетательный или ассоцiативный.

Представимъ себѣ теперь, что каждый элементъ во всѣхъ комплексахъ B_1, B_2, B_3 ... B_a замѣщенъ нѣкоторымъ комплексомъ C; предположимъ, что всѣ эти комплексы C имѣютъ одинаковую мощность c, но никакие два изъ нихъ не имѣютъ общихъ элементовъ. Теперь соединимъ всѣ элементы этихъ комплексовъ C въ одинъ комплексъ P, число котораго намъ нужно опредѣлить.

Но число комплексовъ C есть ab следовательно, число всѣхъ элементовъ комплекса P равно

(ab)c.

Съ другой стороны, въ каждомъ комплексе B содержится bc элементовъ; а такъ какъ число комплексовъ B равно a, то число элементовъ



Тот же текст в современной орфографии


числом ab+a; с другой стороны, тот же комплекс может быть выражен числом a(b+1), а потому

ab+a = a(b+1); (3)
это соотношение сохраняет свою силу и при b=1. Но при b=1, в силу самого определения,
ab = ba.

Если мы поэтому примем, что соотношение (2) доказано для некоторого значения числа b, то из равенства (3) вытекает

a(b+1) = ba + a;
если же мы в соотношении (1) заменим a и b друг другом, то получим
ba + a = (b+1)a;
следовательно,
a(b+1) = (b+1)a,
т. е. справедливость соотношения (2) доказана и для ближайшего большего значения числа b. Мы можем поэтому применить индуктивный приём, и предложение доказано во всём его объеме.

В силу этого нет более оснований к тому, чтобы отличать друг от друга множимое и множителя; их называют обыкновенно безразлично сомножителями произведения.

Для производства умножения достаточно знать произведения любых двух чисел в ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — которые мы составляем непосредственным счётом и запечатлеваем в своей памяти. Десятичная система счисления даёт возможность известным способом составлять произведения больших чисел.

3. Закон сочетательный или ассоциативный.

Представим себе теперь, что каждый элемент во всех комплексах B_1, B_2, B_3 ... B_a замещён некоторым комплексом C; предположим, что все эти комплексы C имеют одинаковую мощность c, но никакие два из них не имеют общих элементов. Теперь соединим все элементы этих комплексов C в один комплекс P, число которого нам нужно определить.

Но число комплексов C есть ab следовательно, число всех элементов комплекса P равно

(ab)c.

С другой стороны, в каждом комплексе B содержится bc элементов; а так как число комплексов B равно a, то число элементов