Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/44

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана


его черезъ m, будемъ писать

m = abcd ... n,
т. е. попросту напишемъ сомножителей одинъ за другимъ.

Для доказательства высказаннаго утвержденiя, на которое опирается это опредѣленiе [1], мы вновь воспользуемся совершенной индукцiей. Какъ было доказано въ п. п. 2 и 3, предложенiе это справедливо, когда r=2 или же когда r=3 (здѣсь нельзя ограничиться случаемъ r=2, т. к. при двухъ сомножителяхъ ассоцiативный законъ не находитъ себѣ примѣненiя). Теперь примемъ, что наше предложенiе справедливо для произведенiя r-1 сомножителей и докажемъ, что оно при этихъ условiяхъ справедливо и для произведенiя r сомножителей. Итакъ, въ системѣ R выберемъ прежде всего два числа и составимъ ихъ произведенiе; за эти числа могутъ быть взяты a и b — это зависитъ только отъ обозначенiя; мы получаемъ, такимъ образомъ комплексъ R', содержащiй r-1 чиселъ

(ab), c, d, .... n (R').
Если мы теперь начнемъ нашъ процессъ иначе, то мы можемъ либо выбрать первые два множителя отличными отъ a и b, напримѣръ составить комплексъ R'' изъ r-1 чиселъ
a, b, (cd), .... n (R''),
или же сохранить одно изъ чиселъ a и b, т. е. составить, скажемъ, комплексъ
(ac), b, d, .... n (R''').

Согласно допущенiю, произведенiя чиселъ въ каждомъ изъ комплексовъ R', R'' и R''' не зависятъ отъ порядка вычисленiя; вслѣдствiе этого вычисленiе можно продолжать такъ, чтобы послѣ перваго-же прiема комплексы R' и R'', а также комплексы R' и R''' дали тождественные результаты; именно, комплексы R' и R'', очевидно, могутъ дать комплексъ

(ab), (cd), .... n;
комплексы-же R' и R''' могутъ дать результатъ
(abc), d, .... n.
А такъ какъ R', какъ уже было сказано, во всякомъ случаѣ даетъ одно и то же окончательное произведенiе, то то же произведенiе даютъ комплексы R'' и R'''.

5. Изъ соотвѣтствующихъ предложенiй относительно сложенiя не-



Тот же текст в современной орфографии


его через m, будем писать

m = abcd ... n,
т. е. попросту напишем сомножителей один за другим.

Для доказательства высказанного утверждения, на которое опирается это определение [2], мы вновь воспользуемся совершенной индукцией. Как было доказано в п. п. 2 и 3, предложение это справедливо, когда r=2 или же когда r=3 (здесь нельзя ограничиться случаем r=2, т. к. при двух сомножителях ассоциативный закон не находит себе применения). Теперь примем, что наше предложение справедливо для произведения r-1 сомножителей и докажем, что оно при этих условиях справедливо и для произведения r сомножителей. Итак, в системе R выберем прежде всего два числа и составим их произведение; за эти числа могут быть взяты a и b — это зависит только от обозначения; мы получаем, таким образом комплекс R', содержащий r-1 чисел

(ab), c, d, .... n (R').
Если мы теперь начнём наш процесс иначе, то мы можем либо выбрать первые два множителя отличными от a и b, например составить комплекс R'' из r-1 чисел
a, b, (cd), .... n (R''),
или же сохранить одно из чисел a и b, т. е. составить, скажем, комплекс
(ac), b, d, .... n (R''').

Согласно допущению, произведения чисел в каждом из комплексов R', R'' и R''' не зависят от порядка вычисления; вследствие этого вычисление можно продолжать так, чтобы после первого же приёма комплексы R' и R'', а также комплексы R' и R''' дали тождественные результаты; именно, комплексы R' и R'', очевидно, могут дать комплекс

(ab), (cd), .... n;
комплексы же R' и R''' могут дать результат
(abc), d, .... n.
А так как R', как уже было сказано, во всяком случае даёт одно и то же окончательное произведение, то то же произведение дают комплексы R'' и R'''.

5. Из соответствующих предложений относительно сложения не-

  1. т. е. что результатъ не зависитъ отъ порядка процесса
  2. т. е. что результат не зависит от порядка процесса