Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/44

его черезъ $m$, будемъ писать

$m=abcd...n$,

т. е. попросту напишемъ сомножителей одинъ за другимъ.

Для доказательства высказаннаго утвержденiя, на которое опирается это опредѣленiе ^[1], мы вновь воспользуемся совершенной индукцiей. Какъ было доказано въ п. п. 2 и 3, предложенiе это справедливо, когда $r=2$ или же когда $r=3$ (здѣсь нельзя ограничиться случаемъ $r=2$, т. к. при двухъ сомножителяхъ ассоцiативный законъ не находитъ себѣ примѣненiя). Теперь примемъ, что наше предложенiе справедливо для произведенiя $r-1$ сомножителей и докажемъ, что оно при этихъ условiяхъ справедливо и для произведенiя $r$ сомножителей. Итакъ, въ системѣ $R$ выберемъ прежде всего два числа и составимъ ихъ произведенiе; за эти числа могутъ быть взяты $a$ и $b$ — это зависитъ только отъ обозначенiя; мы получаемъ, такимъ образомъ комплексъ $R'$, содержащiй $r-1$ чиселъ

$(ab),c,d,....n(R')$.

Если мы теперь начнемъ нашъ процессъ иначе, то мы можемъ либо выбрать первые два множителя отличными отъ $a$ и $b$, напримѣръ составить комплексъ $R''$ изъ $r-1$ чиселъ

$a,b,(cd),....n(R'')$,

или же сохранить одно изъ чиселъ $a$ и $b$, т. е. составить, скажемъ, комплексъ

$(ac),b,d,....n(R''')$.

Согласно допущенiю, произведенiя чиселъ въ каждомъ изъ комплексовъ $R'$, $R''$ и $R'''$ не зависятъ отъ порядка вычисленiя; вслѣдствiе этого вычисленiе можно продолжать такъ, чтобы послѣ перваго-же прiема комплексы $R'$ и $R''$, а также комплексы $R'$ и $R'''$ дали тождественные результаты; именно, комплексы $R'$ и $R''$, очевидно, могутъ дать комплексъ

$(ab),(cd),....n$;

комплексы-же $R'$ и $R'''$ могутъ дать результатъ

$(abc),d,....n$.

А такъ какъ $R'$, какъ уже было сказано, во всякомъ случаѣ даетъ одно и то же окончательное произведенiе, то то же произведенiе даютъ комплексы $R''$ и $R'''$.

5. Изъ соотвѣтствующихъ предложенiй относительно сложенiя не-

1. т. е. что результатъ не зависитъ отъ порядка процесса

Тот же текст в современной орфографии

его через $m$, будем писать

$m=abcd...n$,

т. е. попросту напишем сомножителей один за другим.

Для доказательства высказанного утверждения, на которое опирается это определение ^[1], мы вновь воспользуемся совершенной индукцией. Как было доказано в п. п. 2 и 3, предложение это справедливо, когда $r=2$ или же когда $r=3$ (здесь нельзя ограничиться случаем $r=2$, т. к. при двух сомножителях ассоциативный закон не находит себе применения). Теперь примем, что наше предложение справедливо для произведения $r-1$ сомножителей и докажем, что оно при этих условиях справедливо и для произведения $r$ сомножителей. Итак, в системе $R$ выберем прежде всего два числа и составим их произведение; за эти числа могут быть взяты $a$ и $b$ — это зависит только от обозначения; мы получаем, таким образом комплекс $R'$, содержащий $r-1$ чисел

$(ab),c,d,....n(R')$.

Если мы теперь начнём наш процесс иначе, то мы можем либо выбрать первые два множителя отличными от $a$ и $b$, например составить комплекс $R''$ из $r-1$ чисел

$a,b,(cd),....n(R'')$,

или же сохранить одно из чисел $a$ и $b$, т. е. составить, скажем, комплекс

$(ac),b,d,....n(R''')$.

Согласно допущению, произведения чисел в каждом из комплексов $R'$, $R''$ и $R'''$ не зависят от порядка вычисления; вследствие этого вычисление можно продолжать так, чтобы после первого же приёма комплексы $R'$ и $R''$, а также комплексы $R'$ и $R'''$ дали тождественные результаты; именно, комплексы $R'$ и $R''$, очевидно, могут дать комплекс

$(ab),(cd),....n$;

комплексы же $R'$ и $R'''$ могут дать результат

$(abc),d,....n$.

А так как $R'$, как уже было сказано, во всяком случае даёт одно и то же окончательное произведение, то то же произведение дают комплексы $R''$ и $R'''$.

5. Из соответствующих предложений относительно сложения не-

1. т. е. что результат не зависит от порядка процесса