Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/48

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана

Основная теорема относительно степеней, которая выводится непосредственно изъ опредѣленiя, заключается въ слѣдующемъ:

2. Чтобы перемножить двѣ степени одного и того же основанiя, достаточно сложить показателей; въ символахъ:

a^m a^n = a^{m+n}. (4)

Справедливость этого равенства вытекаетъ изъ того, что справа и слѣва мы имѣемъ m+n множителей, равныхъ a. Это предложенiе при помощи индукцiи легко обобщается на произвольное число множителей.

a^m . a^n .... a^q = a^{m+n+....+q}, (5)
каковы бы ни были числа m, n, .... q и каково бы ни было число ихъ r.

3. Если въ равенствѣ (5) всѣ показатели равны между собой, то оно выражаетъ следующую вторую теорему о степеняхъ:

Чтобы возвысить степень въ новую степень, достаточно перемножить показателей, т. е.:

\left(a^m\right)^r = a^{mr}.

4. Чтобы возвысить въ степень произведенiе нѣсколькихъ сомножителей, можно возвысить въ эту степень каждый изъ сомножителей въ отдельности и полученныя произведенiя перемножить:

\left(abc....\right)^n = a^nb^nc^n....

Если здѣсь вновь будемъ считать всѣ основанiя a,b,c.... равными между собой, то мы, въ силу соотношенiя (5), вновь получимъ предложеніе 3.

5. Если число a больше 1, то a^n тѣмъ больше, чѣмъ больше показатель n; можно также выбрать число n настолько большимъ, чтобы a^n было больше любого заданнаго числа c. Въ этомъ легко убѣдиться индуктивнымъ путемъ. Въ самомъ дѣлѣ, утвержденiе справедливо, если c=1, потому что даже a^1 уже больше 1.

Если же a^n>c, то a^{n+1} > ac > c+1. Такимъ образомъ, если наше утвержденiе справедливо для нѣкотораго значенiя c, то оно справедливо также для c+1.

Вмѣстѣ съ тѣмъ, если a^n > c для нѣкотораго значенiя m показателя n, то тѣмъ болѣе a^n>c, если n имѣетъ значенiе большее, нежели m.

6. Въ основанiи нашей десятичной системы счисленiя лежатъ степени числа 10. Число 10^n изображается 1 съ n нулями и образуетъ единицу n-го разряда. Число, изображаемое r цифрами a, b, c .... m, n, имѣетъ значенiе

a10^r + b10^{r-1} + c10^{r-2} + .... + m10 + n. (7)



Тот же текст в современной орфографии

Основная теорема относительно степеней, которая выводится непосредственно из определения, заключается в следующем:

2. Чтобы перемножить две степени одного и того же основания, достаточно сложить показатели; в символах:

a^m a^n = a^{m+n}. (4)

Справедливость этого равенства вытекает из того, что справа и слева мы имеем m+n множителей, равных a. Это предложение при помощи индукции легко обобщается на произвольное число множителей.

a^m . a^n .... a^q = a^{m+n+....+q}, (5)
каковы бы ни были числа m, n, .... q и каково бы ни было число их r.

3. Если в равенстве (5) все показатели равны между собой, то оно выражает следующую вторую теорему о степенях:

Чтобы возвысить степень в новую степень, достаточно перемножить показатели, т. е.:

\left(a^m\right)^r = a^{mr}.

4. Чтобы возвысить в степень произведение нескольких сомножителей, можно возвысить в эту степень каждый из сомножителей в отдельности и полученные произведения перемножить:

\left(abc....\right)^n = a^nb^nc^n....

Если здесь вновь будем считать все основания a,b,c.... равными между собой, то мы, в силу соотношения (5), вновь получим предложение 3.

5. Если число a больше 1, то a^n тем больше, чем больше показатель n; можно также выбрать число n настолько большим, чтобы a^n было больше любого заданного числа c. В этом легко убедиться индуктивным путем. В самом деле, утверждение справедливо, если c=1, потому что даже a^1 уже больше 1.

Если же a^n>c, то a^{n+1} > ac > c+1. Таким образом, если наше утверждение справедливо для некоторого значения c, то оно справедливо также для c+1.

Вместе с тем, если a^n > c для некоторого значения m показателя n, то тем более a^n>c, если n имеет значение большее, нежели m.

6. В основании нашей десятичной системы счисления лежат степени числа 10. Число 10^n изображается 1 с n нулями и образует единицу n-го разряда. Число, изображаемое r цифрами a, b, c .... m, n, имеет значение

a10^r + b10^{r-1} + c10^{r-2} + .... + m10 + n. (7)