Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/55

$\alpha -(\beta +\gamma +....+\nu )=\alpha -\beta -\gamma -....-\nu$

или въ словахъ:

Если нужно вычесть изъ какого-либо числа полиномъ, составленный изъ произвольнаго количества чиселъ и заключенный въ скобки, то можно скобки опустить, измѣняя при этомъ знакъ каждаго члена на обратный, или, иначе, замѣняя каждое сложенiе вычитанiемъ и обратно.

Тот же текст в современной орфографии

$\alpha -(\beta +\gamma +....+\nu )=\alpha -\beta -\gamma -....-\nu$

или в словах:

Если нужно вычесть из какого-либо числа полином, составленный из произвольного количества чисел и заключённый в скобки, то можно скобки опустить, изменяя при этом знак каждого члена на обратный, или, иначе, заменяя каждое сложение вычитанием и обратно.

---

§ 13. Умноженiе.

1. Если мы будемъ разсматривать умноженiе, какъ повторное сложенiе (§ 8), то мы можемъ распространить это дѣйствiе и на тотъ случай, когда множимое отрицательно или равно нулю. Правило сложенiя предыдущаго параграфа въ этомъ случаѣ даетъ

$a.(-b)=-(ab)$

(1)

$a.0=0$.

(2)

Но если множитель есть число отрицательное, то прежнее опредѣленiе теряетъ всякiй смыслъ: отъ насъ зависитъ приписать этимъ символамъ то или другое значенiе ^[1]. Мы выразимъ опредѣленiе умноженiя для тѣхъ случаевъ, когда множитель отрицателенъ или равенъ нулю, слѣдующими соотношенiями:

$(-a)b=-(ab)$

(3)

$(-a)(-b)=ab$

(4)

$0b=0$.

(5)

Формула (3) необходимо вытекаетъ изъ формулы (1), если поставимъ себѣ задачей сохранить перемѣстительный законъ; формула же (4) слѣдуетъ изъ формулы (3), если послѣдняя должна остаться въ силѣ и для отрицательныхъ значенiй числа $b$, ибо $-(-a)=+a$, какъ мы установили выше. Наконецъ, соотношенiе (5) вытекаетъ изъ (2) въ силу перемѣстительнаго закона ^[2].

1. Выраженiе $(-a).b$ представляетъ собой символъ, которому предыдущими опредѣленiями не присвоено никакого опредѣленнаго значенiя. Отъ насъ зависитъ поэтому приписать этому символу то значенiе, которое мы найдемъ цѣлесообразнымъ.
2. Выражаемая здѣсь мысль заключается въ слѣдующемъ: опредѣленiе умноженiя при отрицательномъ и нулевомъ множителѣ необходимо сводится къ соотношенiямъ (3), (4) и (5), если мы желаемъ сохранить законъ перемѣстительный и если затѣмъ формула (3) должна остаться справедливой и для отрицательныхъ значенiй множимаго $b$; дѣйствительно, если законъ перемѣстительный долженъ

Тот же текст в современной орфографии

§ 13. Умножение.

1. Если мы будем рассматривать умножение, как повторное сложение (§ 8), то мы можем распространить это действие и на тот случай, когда множимое отрицательно или равно нулю. Правило сложения предыдущего параграфа в этом случае даёт

$a.(-b)=-(ab)$

(1)

$a.0=0$.

(2)

Но если множитель есть число отрицательное, то прежнее определение теряет всякий смысл: от нас зависит приписать этим символам то или другое значение ^[1]. Мы выразим определение умножения для тех случаев, когда множитель отрицателен или равен нулю, следующими соотношениями:

$(-a)b=-(ab)$

(3)

$(-a)(-b)=ab$

(4)

$0b=0$.

(5)

Формула (3) необходимо вытекает из формулы (1), если поставим себе задачей сохранить переместительный закон; формула же (4) следует из формулы (3), если последняя должна остаться в силе и для отрицательных значений числа $b$, ибо $-(-a)=+a$, как мы установили выше. Наконец, соотношение (5) вытекает из (2) в силу переместительного закона ^[2].

1. Выражение $(-a).b$ представляет собой символ, которому предыдущими определениями не присвоено никакого определённого значения. От нас зависит поэтому приписать этому символу то значение, которое мы найдём целесообразным.
2. Выражаемая здесь мысль заключается в следующем: определение умножения при отрицательном и нулевом множителе необходимо сводится к соотношениям (3), (4) и (5), если мы желаем сохранить закон переместительный и если затем формула (3) должна остаться справедливой и для отрицательных значений множимого $b$; действительно, если закон переместительный должен