Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/58

ГЛАВА III. Дѣленiе и введенiе дробей.

---

§ 14. Дѣленiе и дѣлимость чиселъ.

1. Если $a$ и $b$ суть натуральныя числа, то всегда можно опредѣлить положительное число $m$ такимъ образомъ, чтобы $mb$ было больше, нежели $a$.

Въ самомъ дѣлѣ, если $a=1$, то теорема, очевидно, справедлива при всякомъ $b$, ибо $b\geqslant 1$, и достаточно взять $n>1$, чтобы $nb$ было больше $1$ (§ 8, 5); отсюда слѣдуетъ, что при всякомъ $a$ $nab>a$ и, слѣдовательно, $mb>a$, если $m>na$.

Если $b<a$, то изъ всѣхъ значенiй числа $m$, удовлетворяющихъ неравенству $mb>a$, имеется одно наименьшее. Это наименьшее число больше $1$; мы его обозначимъ поэтому черезъ $q+1$, такъ что

$qb\leqslant a<(q+1)b$.

Если мы поэтому положимъ

$a-qb=r$,

то $r=0$, когда $qb=a$, а въ противномъ случаѣ $r$ есть положительное число, меньшее, нежели $b$. Отсюда вытекаетъ слѣдующiй выводъ.

2. Если $a$ и $b$ суть два натуральныя числа и $b<a$, то можно опредѣлить положительное число $q$ и другое число $r$, которое равно или больше $0$ и меньше, нежели $b$, такимъ образомъ, что

$a=qb+r$;

(1)

эти числа $q$ и $r$ однозначно опредѣляются числами $a$ и $b$.

Процессъ разысканiя чиселъ $q$ и $r$ по заданнымъ числамъ $a$ и $b$ называется дѣленiемъ числа $a$ на число $b$; число $a$ называется дѣлимымъ, $b$ дѣлителемъ, $q$ частнымъ, $r$ остаткомъ.

При этихъ условiяхъ говорятъ также, что число $b$ содержится въ числѣ $a$ $q$ разъ, при чемъ остается остатокъ $r$.

Тот же текст в современной орфографии

ГЛАВА III Деление и введение дробей

---

§ 14. Деление и делимость чисел.

1. Если $a$ и $b$ суть натуральные числа, то всегда можно определить положительное число $m$ таким образом, чтобы $mb$ было больше, нежели $a$.

В самом деле, если $a=1$, то теорема, очевидно, справедлива при всяком $b$, ибо $b\geqslant 1$, и достаточно взять $n>1$, чтобы $nb$ было больше $1$ (§ 8, 5); отсюда следует, что при всяком $a$ $nab>a$ и, следовательно, $mb>a$, если $m>na$.

Если $b<a$, то из всех значений числа $m$, удовлетворяющих неравенству $mb>a$, имеется одно наименьшее. Это наименьшее число больше $1$; мы его обозначим поэтому через $q+1$, так что

$qb\leqslant a<(q+1)b$.

Если мы поэтому положим

$a-qb=r$,

то $r=0$, когда $qb=a$, а в противном случае $r$ есть положительное число, меньшее, нежели $b$. Отсюда вытекает следующий вывод.

2. Если $a$ и $b$ суть два натуральные числа и $b<a$, то можно определить положительное число $q$ и другое число $r$, которое равно или больше $0$ и меньше, нежели $b$, таким образом, что

$a=qb+r$;

(1)

эти числа $q$ и $r$ однозначно определяются числами $a$ и $b$.

Процесс разыскания чисел $q$ и $r$ по заданным числам $a$ и $b$ называется делением числа $a$ на число $b$; число $a$ называется делимым, $b$ делителем, $q$ частным, $r$ остатком.

При этих условиях говорят также, что число $b$ содержится в числе $a$ $q$ раз, причём остаётся остаток $r$.