О началах Геометрии, соч. Г. Лобачевского/ДО

О началахъ Геометріи, соч. Г. Лобачевскаго
авторъ С. С.

Опубл.: 1834. Источникъ: Сынъ Отечества и Сѣверный Архивъ, журналъ словесности, политики и исторіи, издаваемый Николаемъ Гречемъ и Ѳаддеемъ Булгаринымъ. Томъ XLV. (Сына Отечества часть 167-я, Сѣвернаго Архива 81-я.) Санктпетербургъ, въ типографіи Н. Греча. 1834. Стр. 407-416.

О НАЧАЛАХЪ ГЕОМЕТРIИ, СОЧ. Г. ЛОБАЧЕВСКАГО.

Есть люди, которые, прочитавъ иногда книгу, говорятъ: она слишкомъ проста, слишкомъ обыкновенна, въ ней не о чемъ и подумать. Такимъ любителямъ думанья совѣтую прочесть Геометрію Г. Лобачевскаго. Вотъ ужъ подлинно есть о чемъ подумать. Многія изъ первокласныхъ нашихъ Математиковъ читали ее, думали и ничего не поняли. Послѣ сего уже не считаю нужнымъ упоминать, что и я, продумавъ надъ сею книгою нѣсколько времени, ничего не придумалъ, т. е. не понялъ почти ни одной мысли. Даже трудно было бы понять и то, какимъ образомъ Г. Лобачевскій изъ самой легкой и самой ясной въ Математикѣ Науки, какова Геометрія, могъ сдѣлать такое тяжелое, такое темное и непроницаемое ученіе, если бы самъ онъ отчасти не надоумилъ насъ, сказавъ, что его Геометрія отлична отъ употребительной, которой всѣ мы учились, и которой, вѣроятно, ужъ разучиться не можемъ, и есть только воображаемая. Да, теперь все очень понятно. Чего не можетъ представить воображеніе, особливо живое и вмѣстѣ уродливое? Почему не вообразить наприм. черное бѣлымъ, круглое четыреугольнымъ, сумму всѣхъ угловъ въ прямолинейномъ треугольникѣ меньшею двухъ прямыхъ, и одинъ и тотъ же опредѣленный интегралъ равнымъ то ${\tfrac {\pi }{4}}$, то $\infty$? Очень, очень можно, хотя для разума все это и непонятно.

Но спросятъ: для чего же писать, да еще и печатать такія нелѣпыя фантазіи ? — Признаюсь, на этотъ вопросъ отвѣчать трудно. Авторъ ни гдѣ не намѣкнулъ на то, съ какою цѣлію онъ напечаталъ сіе сочиненіе, и мы должны слѣдовательно прибѣгнуть къ догадкамъ. Правда, въ одномъ мѣстѣ онъ ясно говоритъ, что будто бы недостатки, замѣченные имъ въ употребляемой доселѣ Геометріи, заставили его сочинить и издать эту новую Геометрію; но это, очевидно, несправедливо, и по всей вѣроятности, сказано для того, чтобы еще болѣе скрыть настоящую цѣль сего сочиненія. Во первыхъ это противорѣчитъ тому, что сказалъ самъ же Авторъ о своей Геометріи, т: е: что она въ природѣ во все не существуетъ, а могла существовать только въ его воображеніи, и для измѣреній на самомъ дѣлѣ остается совершенно безъ употребленія; во вторыхъ это дѣйствительно противорѣчитъ всему тому, что въ ней содержится, и судя по чему скорѣе можно согласиться на то, что новая Геометрія выдумана для опроверженія прежней, нежели для пополненія оной. При томъ же, да позволено намъ будетъ нѣсколько коснуться личности. Какъ можно подумать, что бы Г. Лобачевскій, Ординарный Профессоръ Математики, написалъ съ какою нибудь серьёзною цѣлію книгу, которая немного бы принесла чести и послѣднему приходскому учителю? Если не ученость, то по крайней мѣрѣ здравый смыслъ долженъ имѣть каждый учитель; а въ новой Геометріи не рѣдко не достаетъ и сего послѣдняго.

Соображая все сіе, съ большою вѣроятностію заключаю, что истинная цѣль, для которой Г. Лобачевскій сочинилъ и издалъ свою Геометрію, есть просто шутка или лучше сатира на ученыхъ-Математиковъ, а можетъ быть и вообще на ученыхъ сочинителей настоящаго времени. За симъ, и уже не съ вѣроятностію только, а съ совершенною увѣренностію полагаю, что безумная страсть писать какимъ-то страннымъ и невразумительнымъ образомъ, весьма замѣтная съ нѣкотораго времени во многихъ изъ нашихъ писателей, и безразсудное желаніе — открывать новое при талантахъ, едва достаточныхъ для того, чтобы надлежащимъ образомъ постигать старое, суть два недостатка, которые Авторъ въ своемъ сочиненіи намѣренъ былъ изобразить, и изобразилъ какъ не льзя лучше.

Во-первыхъ новая Геометрія, какъ я уже упомянулъ о томъ выше, написана такъ, что никто изъ читавшихъ ее, почти ничего не понялъ. Желая покороче познакомить васъ съ нею, я собиралъ въ одну точку все мое вниманіе, приковывалъ его к каждому періоду, къ каждому слову и даже къ каждой буквѣ, и при всемъ томъ такъ мало успѣлъ прояснить мракъ, кругомъ облегающій это сочиненіе, что едва въ состояніи расказать вамъ то, о чемъ въ немъ говорится, не говоря ни слова о томъ, что́ говорится. Сперва, какъ обыкновенно водится, излагаются главныя понятія о пространствѣ и его измѣреніяхъ. Разумѣется, что эти понятія совершенно отличны отъ понятій обыкновенныхъ, и изложены особеннымъ образомъ. Угодно вамъ прочесть хоть нѣкоторыя изъ нихъ въ подлинникѣ? Извольте.

»Между свойствами, общими всѣм тѣламъ, одно должно назваться Геометрическимъ, — прикосновеніе. Словами не льзя передать того, что мы подъ этим разумѣем: понятіе пріобрѣтено чувствами, преимущественно зрѣніем, и сими-то чувствами мы его постигаемъ. Прикосновеніе составляетъ отличительное свойство тѣлъ: ни въ силахъ или времени и нигдѣ въ природѣ болѣе его не находим. Отымая всѣ прочія свойства, тѣлу даютъ названіе — Геометрическаго.

»Прикосновеніе соединяетъ два тѣла въ одно. Такъ всѣ тѣла представляемъ частію одного — пространства. Тѣло ограничено, когда прикосновеніе къ нему другаго — окружающаго, делаетъ невозможнымъ прикосновеніе всякаго третьяго. Это второе будетъ окружающимъ пространствомъ, если оно съ первымъ составляетъ цѣлое пространство. Пустота, занимаемая тѣлом внутри пространства, называется мѣстомъ.

»Геометрическія свойства тѣла познаемъ въ различномъ дѣленіи ихъ на части. Они служатъ основаніемъ Геометріи и заключаются въ слѣдующемъ.

»I. Всякое тѣло можетъ быть раздѣлено на части, которыя не касаются чрезъ одну. Такія сѣченія назовемъ поступательными; число ихъ неограничено.

»II. Всякое тѣло можетъ быть раздѣлено на части, которыя всѣ касаются взаимно, и которыхъ число съ каждымъ новымъ сѣченіемъ увеличивается двумя. Такія сеченія назовемъ обращательными; число их неограничено.

»III. Всякое тѣло можетъ быть раздѣлено тремя сѣченіями на 8 частей, которыя всѣ касаются взаимно. — Такія сѣченія назовемъ тремя главными.

»Поступательныя сѣченія къ трем главнымъ назначаютъ въ тѣлѣ его три протяженія.

»Измѣрять тѣло значитъ исчислять одинаковыя части, на которыя раздѣляется это тѣло и другое, принятое за мѣру, въ трехъ протяженіяхъ поступательными сѣченіями.

»Соединеніе двухъ тѣлъ въ одно будетъ вмѣстѣ сѣченіемъ въ этомъ одномъ. Смотря по тому, прикосновеніе принадлежитъ одному только, или нѣсколькимъ обращательнымъ, или тремъ главнымъ сѣченіям, оно будетъ поверхностное, линейное, въ точкѣ.

»Тѣло получаетъ названiе поверхности, когда оно касается другаго поверхностно и когда принимаютъ въ разсужденіе только взаимное прикосновеніе сихъ двухъ тѣл; а потому дозволяютъ отбрасывать всѣ части одного, неприкосновенныя к другому. Такъ уничтожается одно изъ трех протяженій, и такъ отдѣленіем ненужныхъ частей поверхности доходимъ до тонкости листа бумаги, или какъ далеко можетъ итти воображеніе.

»Два тѣла, которыхъ прикосновеніе здѣсь разсматривается, будутъ двѣ стороны поверхности.

»Линіей называется тѣло, которое касается линейно другаго, и отъ котораго дозволяютъ отбрасывать части, неприкосновенныя къ этому другому. Такъ доходимъ до тонкости волоса, черты отъ пера на бумагѣ и пр. Съ обращеніемъ тѣла въ линію уничтожаются два протяженія, потому что линію образуютъ въ пространствѣ два сѣченія, въ которыхъ поступательныя отдѣляютъ однѣ излишнія части.

»Тѣло получаетъ название точки, когда рассматриваютъ его прикосновеніе къ другому въ точкѣ, а потому дозволяютъ отбрасывать части перваго, неприкосновенныя къ другому. Такъ можно доходить до малости песчинки или точки отъ острея пера на бумагѣ.

»Точка образуется тремя главными сѣченіями въ пространствѣ, въ которомъ поступательныя отделяютъ однѣ излишнія части: слѣдовательно въ точке нѣтъ ни одного протяженія.

»Въ поверхности, линіи и точкѣ обращаютъ вниманіе только на прикосновеніе двухъ тѣлъ. Это значитъ, допускаютъ всѣ измѣненія въ одномъ, которыя бы не лишали части другаго ихъ прикосновенія и не придавали бы новыхъ частей, прикосновенныхъ къ другому. Вотъ по чему при измѣреніи поверхностей и линій дозволяется всѣ поступательныя сѣченія, которыми назначаютъ протяженія, замѣнять ихъ обращательными. Отсюда слѣдуетъ, что линія не измѣняетъ величины поверхности, а точка — линіи. Отсюда также видно, что линія должна принадлежать всей системѣ обращательныхъ сѣченій, а потому для образованія линіи необходимы двѣ поверхности, о которыхъ говорятъ, что онѣ пересѣкаются въ линіи. Каждая изъ сихъ поверхностей раздѣляется линіей на двѣ части, которыя будутъ двумя сторонами линіи.

»Точки принадлежатъ не только тремъ главнымъ сѣченіямъ, но и всѣмъ съ ними обращательнымъ: а потому для образованія точки необходимы двѣ линіи, о которыхъ говорятъ, что онѣ пересѣкаются въ точкѣ. Каждая линія раздѣляется точкой на двѣ части, которыя служатъ для назначенія двухъ сторонъ точки.

»Когда два тѣла А, В касаются каждое третьяго С въ точкѣ, тогда относительное положеніе двухъ точекъ или такъ называемое разстояніе ихъ другъ отъ друга, всякой разъ будетъ опредѣлено, какъ скоро А и В соединены тѣлом D, неприкосновеннымъ к С, хотя бы при этомъ въ А, В, D происходили перемѣны отделѣніем, или присоединеніемъ новыхъ частей, неприкосновенныхъ къ С, или тѣ измѣненія въ А и В, которыя дозволяются въ семъ родѣ прикосновенія А, В съ С. Такъ циркуль служитъ для назначенія расстояній.

»Съ такими понятіями о способѣ измѣрять протяженія, Геометрія можетъ быть ведена со всею строгостію доказательствъ въ томъ порядкѣ, въ какомъ здѣсь ниже излагается.« Но извините, я не могу выписать до слова то, что ниже излагается, потому что уже и такъ много выписалъ; а разсказать въ короткихъ словахъ не умѣю, ибо отсюда-то и начинается самое не понятное. Кажется, что послѣ нѣсколькихъ опредѣленій, съ такимъ же искуствомъ и съ такою же точностію составленныхъ, какъ и предидущія, Авторъ говоритъ что-то о треугольникахъ, о зависимости въ нихъ угловъ отъ сторонъ, чѣмъ главнѣйшимъ образомъ и отличается его Геометрія отъ нашей; потомъ предлагаетъ новую теорію паралельныхъ, которая, по собственному его признанію, находится или нѣтъ въ природѣ, никто доказать не въ состояніи; наконецъ слѣдуетъ разсмотрѣніе того, какимъ образомъ въ этой воображаемой Геометріи опредѣляется величина кривыхъ линій, площадей, кривыхъ поверхностей и объемовъ тѣлъ, — и все это, еще разъ повторяю, написано такъ, что ничего и понять не возможно.

Во-вторыхъ, въ концѣ книги Г. Лобачевскій помѣстилъ два опредѣлимые интеграла, которые онъ открылъ мимоходомъ, идя прямо къ своей цѣли — дать общія правила для измѣренія всѣхъ Геометрическихъ величинъ, и дозволивши себѣ только нѣкоторыя примѣненія. Открытіе весьма замѣчательное! Ибо одинъ изъ сихъ новыхъ интеграловъ уже давно извѣстенъ, и находится гораздо легчайшимъ образомъ; другой совершенно невѣренъ, потому что ведетъ къ той нелѣпости, которую мы уже замѣтили выше, т: е: что одинъ и тотъ же опредѣлимый интегралъ равенъ то ${\tfrac {\pi }{4}}$, то $\infty$. Но не таковы ли и въ самомъ дѣлѣ большею частію бываютъ прославляемыя у насъ ново-открытія? Не часто ли случается, что старое, представленное только въ какомъ нибудь новомъ странномъ образѣ, выдаютъ намъ за новое, или и новое, но ложное, за чрезвычайно важное открытіе? Хвала Г. Лобачевскому, принявшему на себя трудъ обличить съ одной стороны наглость и безстыдство ложныхъ ново-изобрѣтателей, съ другой простодушное невѣжество почитателей ихъ новоизобрѣтеній.

Но сознавая всю цѣну сочиненія Г. Лобачевскаго, я не могу однакожъ не попенять ему за то, что онъ, не давъ своей книгѣ надлежащаго заглавія, заставилъ насъ долго думать понапрасну. По чему бы вмѣсто заглавія: о началахъ Геометріи; не написать на пр. Сатира на Геометріи, Каррикатура на Геометріи, или что нибудь подобное? Тогда бы всякой съ перваго взгляда видѣлъ, что это за книга, и Авторъ избѣжалъ бы множества невыгодныхъ для него толковъ и сужденій. Хорошо, что мнѣ удалось проникнуть настоящую цѣль, съ которою написана эта книга, — а то, Богъ знаетъ, что̀ бы и я объ ней и ея Авторѣ думалъ. Теперь же думаю и даже увѣренъ, что почтенный Авторъ почтетъ себя весьма мнѣ обязаннымъ за то, что я показалъ истиную точку зрѣнія, съ которой должно смотрѣть на его сочиненіе.

С. С.

---