Таблицы интегралов и другие математические функции (Герберт Бристоль Двайт)/Тригонометрические функции

← Алгебраические функции

Таблицы интегралов и другие математические функции — Тригонометрические функции автор Герберт Бристоль Двайт, переводчик неизвестен

Обратные тригонометрические функции →

Язык оригинала: английский. Название в оригинале: Tables of integrals and other mathematical data. — Источник: Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические функции.-СПб: «Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева», 1995.-176 с. ISBN 5-85529-029-8

Формулы

400.01

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,$

400.02

$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}$

400.03

$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A}$

400.04

$\operatorname{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A}$

400.05

$\operatorname{ctg} A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{1}{\operatorname{tg} A}$

400.06

$\sec A = \frac{1}{\cos A}$

400.07

$\csc A = \frac{1}{\sin A}$

400.08

$\sin (-A) = -\sin A \,$

400.09

$\cos (-A) = \cos A \,$

400.10

$\operatorname{tg} (-A) = - \operatorname{tg} A$

400.11

$\sec^2 A - \operatorname{tg}^2 A = 1$

400.11

$\sec^2A - \operatorname{tg}^2 A = 1$

400.12

$\sec A=\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 A}$

400.13

$\tan A=\sqrt{\sec^2 A - 1}$

400.14

$\csc^2A - \operatorname{ctg}^2 A = 1$

400.15

$\csc A = \sqrt{1 + \operatorname{ctg}^2 A}$

400.16

$\operatorname{ctg} A = \sqrt{\csc^2 A - 1}$

Заметим, что для действительных значений A знак вышеуказанных радикалов зависит от того, в какой четверти находится угол A.

401.01

$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,$

401.02

$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,$

401.03

$\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,$

401.04

$\cos(A -B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,$

401.05

$2 \sin A \cos B = \sin (A + B) + \sin (A - B) \,$

401.06

$2 \cos A \cos B = \cos (A + B) + \cos (A - B) \,$

401.07

$2 \sin A \sin B = \cos (A - B) - \cos (A+B) \,$

401.08

$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}$

401.09

$\sin A - \sin B = 2 \sin \frac{A - B}{2} \cos \frac{A + B}{2}$

401.10

$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}$

401.11

$\cos A - \cos B = 2\sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{B - A}{2}$

401.12

$\sin^2 A - \sin^2 B = \sin (A + B) \sin (A - B) \,$

401.13

$\cos^2 A - \cos^2 B = \sin (A + B) \sin (B - A) \,$

401.14

$\cos^2 A - \sin^2 B = \cos (A+B) \cos (A-B) = \cos^2 B - \sin^2 A \,$

401.15

$\sec^2 A + \csc^2 A = \sec^2 A \csc^2 A = \frac{1}{\sin^2 A \cos^2 A}$

401.2

$p \cos A + q \sin A = r \sin(A + \theta), \,$

где $r = \sqrt{p^2 + q^2}, \sin \theta = \frac{p}{r}, \cos \theta = \frac{q}{r}$

или

$p \cos A + q \sin A = r \cos(A + \phi), \,$

где $r = \sqrt{p^2 + q^2}, \cos \phi = \frac{p}{r}, \sin \phi =\frac{q}{r}$

заметим, что p и q могут буть положительными и отрицательными.

402.01

$\sin(A+B+C)=\sin A\cos B\cos C+\cos A\sin B\cos C+\cos A\cos B\sin C-\sin A\sin B\sin C \,$

402.02

$\cos(A+B+C)=\cos A\cos B\cos C-\sin A\sin B\cos C-\sin A\cos B\sin C-\cos A\sin B\sin C \,$

402.03

$4\sin A\sin B\sin C=\sin(A+B-C)+\sin(B+C-A)+\sin(C+A-B)-\sin(A+B+C) \,$

402.04

$4\sin A\cos B\cos C=\sin(A+B-C)-\sin(B+C-A)+\sin(C+A-B)+\sin(A+B+C) \,$

402.05

$4\sin A\sin B\cos C=-\cos(A+B-C)+\cos(B+C-A)+\cos(C+A-B)-\cos(A+B+C) \,$

402.06

$4\cos A\cos B\cos C=\cos(A+B-C)+\cos(B+C-A)+\cos(C+A-B)+\cos(A+B+C)\,$

403.02

$\sin {2A} = 2\sin A \cos A = \frac {2 \operatorname{tg} A} {1 + \operatorname{tg} ^2 A} \,$

403.03

$\sin {3A} = 3\sin A - 4\sin^3 A \,$

403.04

$\sin {4A} = \cos A (4\sin A - 8 \sin ^3 A)\,$

403.05

$\sin {5A} = 5 \sin A - 20 \sin^3 A + 16 \sin^5 A\,$

403.06

$\sin {6A} = \cos A (6 \sin A - 32 \sin^3 A + 32 \sin^5 A)\,$

403.07

$\sin {7A} = 7 \sin A - 56 \sin^3 A + 112 \sin^5 A - 64 \sin^7 A \,$

403.10

Для целого положительного чётного n

$\sin {nA} = (-1)^{\frac{n}{2}+1} \cos A \left [ 2^{n-1} \sin A - \frac {(n-2)}{1!} 2^{n-3} \sin^{n-3} A + \frac {(n-3) (n-4)}{2!} 2^{n-5} \sin^{n-5} A - \frac {(n-4) (n-5) (n-6)}{3!} 2^{n-7} \sin^{n-7} A + \ldots \right ],$

ряд обрывается, когда коэффициент обращается в нуль.

403.11

Другой ряд:

$\sin {nA} = n \cos A \left [ \sin A - \frac {(n^2 - 2^2)}{3!} \sin^3 A + \frac {(n^2 - 2^2) (n^2 - 4^2)}{5!} \sin^5 A - \frac {(n^2 - 2^2) (n^2 - 4^2) (n^2 - 6^ 2)}{7!} \sin^7 A + \ldots \right ]$

[n чётное и >0]

403.12

Для нечётного целого $n > 1\,$

$\sin {nA} = (-1)^{\frac{n-1}{2}} \left [ 2^{n-1} \sin^n A - \frac {n}{1!} 2^{n-3} \sin^{n-2} A + \frac {n (n-3)}{2!} 2^{n-5} \sin^{n-4} A - \frac {n (n-4) (n-5)}{3!} 2^{n-7} \sin^{n-6} A + \ldots \right ],$

ряд обрывается, когда коэффициент обращается в нуль.

403.13

Другой ряд:

$\sin {nA} = n \sin A - \frac {(n^2 - 1^2)}{3!} \sin^3 A + \frac {(n^2 - 1^2) (n^2 - 3^2)}{5!} \sin^5 A - \ldots$

[n нечётное и >0]

403.22

$\cos {2A} = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\,\cos^2 A - 1 =1 - 2\,\sin^2 A = \frac{1-\operatorname{tg}^2\,A}{1+\operatorname{tg}^2\,A} = \frac{\operatorname{ctg}\,A - \operatorname{tg}\,A}{\operatorname{ctg}\,A + \operatorname{tg}\,A}$

403.23

$\cos {3A} = 4\,\cos^3 A - 3\,\cos A$

403.24

$\cos {4A} = 8\,\cos^4 A - 8\,\cos^2 A + 1$

403.25

$\cos {5A} = 16\,\cos^5 A - 20\,\cos^3 A + 5\,\cos A$

403.26

$\cos {6A} = 32\,\cos^6 A - 48\,\cos^4 A + 18\,\cos^2 A - 1$

403.27

$\cos {7A} = 64\,\cos^7 A - 112\,\cos^5 A + 56\,\cos^3 A - 7\,\cos A$

403.3

$\cos {nA} = 2^{n-1}\,\cos^n A - \frac{n}{1!}\,2^{n-3}\,\cos^{n-2} A + \frac{n(n-3)}{2!}\,2^{n-5}\,\cos^{n-4} A - \frac{n(n-4)(n-5)}{3!}\,2^{n-7}\,\cos^{n-6} A + \frac{n(n-5)(n-6)(n-7)}{4!}\,2^{n-9}\,\cos^{n-8} A + \cdots$

Формула обрывается, когда коэффициент обращается в нуль (n целое и >2).

403.4

$\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}\,(1-\cos A)}$

403.5

$\cos \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}\,(1+\cos A)}$

404.12

$\sin^2 A = \frac{1}{2}\,(-\,\cos 2A + 1)$

404.13

$\sin^3 A = \frac{1}{4}\,(-\,\sin 3A + 3\,\sin A)$

404.14

$\sin^4 A = \frac{1}{8}\,\left ( \cos 4A - 4\,\cos 2A + \frac{6}{2} \right )$

404.15

$\sin^5 A = \frac{1}{16}\,(\sin 5A - 5\,\sin 3A + 10 \sin A)$

404.16

$\sin^6 A = \frac{1}{32}\,\left ( -\,\cos 6A + 6\,\cos 4A - 15\,\cos 2A + \frac{20}{2} \right )$

404.17

$\sin^7 A = \frac{1}{64}\,(-\,\sin 7A + 7\,\sin 5A - 21\,\sin 3 A + 35\,\sin A)$

404.22

$\cos^2 A = \frac{1}{2}\,(\cos 2A + 1)$

404.23

$\cos^3 A = \frac{1}{4}\,(\cos 3A + 3\,\cos A)$

404.24

$\cos^4 A = \frac{1}{8}\,\left ( \cos 4A + 4\,\cos 2A + \frac{6}{2} \right )$

404.25

$\cos^5 A = \frac{1}{16}\,(\cos 5A + 5\,\cos 3A + 10\,\cos A)$

404.26

$\cos^6 A = \frac{1}{32}\,\left ( \cos 6A + 6\,\cos 4A + 15\,\cos 2A + \frac{20}{2} \right )$

404.25

$\cos^7 A = \frac{1}{64}\,(\cos 7A + 7\,\cos 5A + 21\,\cos 3A + 35\,\cos A)$

(Очевидно, 404 можно продолжить, используя биномиальные коэффициенты.)

405.01

$\operatorname{tg}\,(A + B) = \frac{\operatorname{tg}\,A + \operatorname{tg}\,B}{1 - \operatorname{tg}\,A\,\operatorname{tg}\,B} = \frac{\operatorname{ctg}\,A + \operatorname{ctg}\,B}{\operatorname{ctg}\,A\,\operatorname{ctg}\,B - 1}$

405.02

$\operatorname{tg}\,(A - B) = \frac{\operatorname{tg}\,A - \operatorname{tg}\,B}{1 + \operatorname{tg}\,A\,\operatorname{tg}\,B} = \frac{\operatorname{ctg}\,B - \operatorname{ctg}\,A}{\operatorname{ctg}\,A\,\operatorname{ctg}\,B + 1}$

405.03

$\operatorname{ctg}\,(A + B) = \frac{\operatorname{ctg}\,A\,\operatorname{ctg}\,B - 1}{\operatorname{ctg}\,A + \operatorname{ctg}\,B} = \frac{1 - \operatorname{tg}\,A\,\operatorname{tg}\,B}{\operatorname{tg}\,A + \operatorname{tg}\,B}$

405.04

$\operatorname{ctg}\,(A - B) = \frac{\operatorname{ctg}\,A\,\operatorname{ctg}\,B + 1}{\operatorname{ctg}\,B - \operatorname{ctg}\,A} = \frac{1 + \operatorname{tg}\,A\,\operatorname{tg}\,B}{\operatorname{tg}\,A - \operatorname{tg}\,B}$

405.05

$\operatorname{tg}\,A + \operatorname{tg}\,B = \frac{\sin (A + B)}{\cos A\,\cos B}$

405.06

$\operatorname{tg}\,A - \operatorname{tg}\,B = \frac{\sin (A - B)}{\cos A\,\cos B}$

405.07

$\operatorname{ctg}\,A + \operatorname{ctg}\,B = \frac{\sin (A + B)}{\sin A\,\sin B}$

405.08

$\operatorname{ctg}\,A - \operatorname{ctg}\,B = \frac{\sin (A - B)}{\sin A\,\sin B}$

405.09

$\operatorname{tg}\,A + \operatorname{ctg}\,B = \frac{\cos (A - B)}{\cos A\,\sin B}$

405.10

$\operatorname{ctg}\,A - \operatorname{tg}\,B = \frac{\cos (A + B)}{\sin A\,\cos B}$

406.02

$\operatorname{tg}\,2A = \frac{2\,\operatorname{tg}\,A}{1 - \operatorname{tg}^2 A} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,A}{\operatorname{ctg}^2 A - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,A - \operatorname{tg}\,A}$

406.03

$\operatorname{tg}\,3A = \frac{3\,\operatorname{tg}\,A - \operatorname{tg}^3 A}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2 A}$

406.04

$\operatorname{tg}\,4A = \frac{4\,\operatorname{tg}\,A - 4\,\operatorname{tg}^3 A}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2 A + \operatorname{tg}^4 A}$

406.12

$\operatorname{ctg}\,2A = \frac{\operatorname{ctg}^2 A - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,A} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 A}{2\,\operatorname{tg}\,A} = \frac{\operatorname{ctg}\,A - \operatorname{tg}\,A}{2}$

406.13

$\operatorname{ctg}\,3A = \frac{\operatorname{ctg}^3 A - 3\,\operatorname{ctg}\,A}{3\,\operatorname{ctg}^2 A - 1}$

406.14

$\operatorname{ctg}\,4A = \frac{\operatorname{ctg}^4 A - 6\,\operatorname{ctg}^2 A + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3 A - 4\,\operatorname{ctg}\,A}$

406.2

$\operatorname{tg}\,\frac{A}{2} = \frac{1 - \cos A}{\sin A} = \frac{\sin A}{1 + \cos A} = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}}$

406.3

$\operatorname{ctg}\,\frac{A}{2} = \frac{\sin A}{1 - \cos A} = \frac{1 + \cos A}{\sin A} = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{1 - \cos A}}$

407

$\sin 0^\circ$		$= 0\,$	$= \cos 90^\circ$
$\sin 15^\circ$	$= \sin \frac{\pi}{12}$	$= \frac{\sqrt{3} - 1}{2\,\sqrt{2}}$	$= \cos 75^\circ$
$\sin 18^\circ$	$= \sin \frac{\pi}{10}$	$= \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$	$= \cos 72^\circ$
$\sin 30^\circ$	$= \sin \frac{\pi}{6}$	$= \frac{1}{2}$	$= \cos 60^\circ$
$\sin 36^\circ$	$= \sin \frac{\pi}{5}$	$= \frac{\sqrt{5 - \sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}$	$= \cos 54^\circ$
$\sin 45^\circ$	$= \sin \frac{\pi}{4}$	$= \frac{1}{\sqrt{2}}$	$= \cos 45^\circ$
$\sin 54^\circ$	$= \sin \frac{3\,\pi}{10}$	$= \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$	$= \cos 36^\circ$
$\sin 60^\circ$	$= \sin \frac{\pi}{3}$	$= \frac{\sqrt{3}}{2}$	$= \cos 30^\circ$
$\sin 72^\circ$	$= \sin \frac{2\,\pi}{5}$	$= \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}$	$= \cos 18^\circ$
$\sin 75^\circ$	$= \sin \frac{5\,\pi}{12}$	$= \frac{\sqrt{3} + 1}{2\,\sqrt{2}}$	$= \cos 15^\circ$
$\sin 90^\circ$	$= \sin \frac{\pi}{2}$	$= 1\,$	$= \cos 0^\circ$
$\sin 120^\circ$	$= \sin \frac{2\,\pi}{3}$	$= \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 120^\circ$	$= \cos \frac{2\,\pi}{3}$	$= -\frac{1}{2}$
$\sin 180^\circ$	$= \sin \pi\,$	$= 0\,$
$\cos 180^\circ$	$= \cos \pi\,$	$= -1\,$
$\sin 240^\circ$	$= \sin \frac{4\,\pi}{3}$	$= - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 240^\circ$	$= \cos \frac{4\,\pi}{3}$	$= -\frac{1}{2}$
$\sin 270^\circ$	$= \sin \frac{3\,\pi}{2}$	$= - 1\,$
$\cos 270^\circ$	$= \cos \frac{3\,\pi}{2}$	$= 0\,$

408.01

$\sin x = \frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix}),$ где $i = \sqrt{-1}$

Заметим, что в электротехнической литературе вместо $i\,$ употребляется $j\,.$

408.02

$\cos x = \frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})$

408.03

$\operatorname{tg}\,x = -\,i \left ( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}} \right ) = -\,i \left ( \frac{e^{2ix}-1}{e^{2ix}+1} \right )$

408.04

$e^{ix} = \cos x + i \sin x\,$ (Формула Эйлера)

408.05

$e^{z+ix} = e^z (\cos x + i \sin x)\,$

408.06

$a^{z+ix} = e^z (\cos (x \ln a) + i \sin (x \ln a))\,$

408.07

$(\cos x + i \sin x)^n = e^{inx} = \cos nx + i \sin nx\,$ (Формула Муавра)

408.08

$(\cos x + i \sin x)^{-n} = \cos nx - i \sin nx\,$

408.09

$(\cos x + i \sin x)^{-1} = \cos x - i \sin x\,$

408.10

$\sin (ix) = i\,\operatorname{sh}\,x$

408.11

$\cos (ix) = \operatorname{ch}\,x$

408.12

$\operatorname{tg}\,(ix) = i\,\operatorname{th}\,x$

408.13

$\operatorname{ctg}\,(ix) = -\,i\,\operatorname{cth}\,x$

408.14

$\operatorname{sec}\,(ix) = \operatorname{sech}\,x$

408.15

$\operatorname{csc}\,(ix) = -\,i\,\operatorname{csch}\,x$

408.16

$\sin (x \pm iy) = \sin x\,\operatorname{ch}\,y \pm i \cos x\,\operatorname{sh}\,y$

408.17

$\cos (x \pm iy) = \cos x\,\operatorname{ch}\,y \mp i \sin x\,\operatorname{sh}\,y$

408.18

$\operatorname{tg}\,(x \pm iy) = \frac{\sin 2x \pm i\,\operatorname{sh}\,2y}{\cos 2x + \operatorname{ch}\,2y}$

408.19

$\operatorname{ctg}\,(x \pm iy) = \frac{\sin 2x \mp i\,\operatorname{sh}\,2y}{\operatorname{ch}\,2y - \cos 2x}$

409.01

$ce^{ix} = ce^{i(x + 2k\pi)} = c\,(\cos x + i \sin x),$ где $k\,$ — целое число или нуль

409.02

$1 = e^{0+2k\pi i} = \cos 0 + i \sin 0,$

Заметим, что $\cos 2k\pi = \cos 2\pi = \cos 0 = 1,$

409.03

$-1 = e^{0+\left (2k+1\right )\pi i} = \cos \pi + i \sin \pi,$

Заметим, что $\ln\left (-1\right ) = \left (2k+1\right )\pi i$

409.04

$\sqrt{1} = e^{2 k \pi i / 2}.$ Эта величина может принять два различных значения в зависимости от того, чётно или нечётно $k.\,$ Этими значениями будут соответственно

$e^{2 r \pi i} = \cos 0 + i\,\sin 0 = 1, \; e^{\left (2 r + 1 \right ) \pi i} = \cos \pi + i\,\sin 0 = \pi = -1,$

где $r\,$ — целое число или нуль.

409.05

$\sqrt{-1} = e^{\left ( 2 r + 1 \right ) \pi i / 2}.$ Этот квадратный корень имеет два значения в зависимости от того, чётно или нечётно $r;\,$ Эти значения соответственно

$\cos {\pi / 2} + i \sin {\pi / 2} = i, \; \cos {3 \pi / 2} + i \sin {3 \pi / 2} = - i.$

409.06

$\sqrt[3]{1} = e^{2 k \pi i / 3}.$ Этот корень имеет три различных значения:

$e^{2 r \pi i}=\cos 0 + i \sin 0 = 1$

$e^{\left (2 r \pi + 2 \pi/3\right )i}=\cos \frac{2\pi}3 + i \sin \frac{2\pi}3 = -\frac 1 2 + i \frac{\sqrt 3}2=\omega$

$e^{\left (2 r \pi + 4 \pi/3\right )i}=\cos \frac{4\pi}3 + i \sin \frac{4\pi}3 = -\frac 1 2 - i \frac{\sqrt 3}2=\omega^2$

Ряды

415.01

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

$x^2 < \infty$

415.02

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

$x^2 < \infty$

415.03

$\operatorname{tg}\,x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \frac{62}{2835}x^9 + \cdots + \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_n}{(2n)!}x^{2n-1} + \cdots$

$x^2 < \frac{\pi^2}{4}$ См. 45

415.04

$\operatorname{ctg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} + \frac{x^7}{4725} + \cdots + \frac{2^{2n}B_n}{(2n)!}x^{2n-1} + \cdots$

$x^2 < \pi^2\,$ См. 45

415.05

$\sec x = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \frac{277}{8064}x^8 + \cdots + \frac{E_n}{(2n)!}x^{2n} + \cdots$

$x^2 < \frac{\pi^2}{4}$ См. 45

415.06

$\csc x = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + \frac{7}{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \frac{127}{604800}x^7 + \cdots + \frac{2(2^{2n-1}-1)B_n}{(2n)!}x^{2n-1} + \cdots$

$x^2 < \pi^2\,$ См. 45

Тригонометрические функции — Производные

427.1

$\frac{d \, \sin x}{dx} = \cos x$

427.2

$\frac{d \, \cos x}{dx} = - \sin x$

427.3

$\frac{d \, \operatorname{tg}\,x}{dx} = \sec^2 x$

427.4

$\frac{d \, \operatorname{ctg}\,x}{dx} = - \csc^2 x$

427.5

$\frac{d \, \sec x}{dx} = \sec x \, \operatorname{tg}\,x$

427.6

$\frac{d \, \csc x}{dx} = - \csc x \, \operatorname{ctg}\,x$

Тригонометрические функции — Интегралы

При вычислении определённых интегралов часто бывает полезно строить график подынтегральной функции. Некоторые кривые, такие как график тангенса, имеют точки разрыва. Вообще интегрирование не должно производиться в пределах, между которыми имеется точка разрыва.

429 Подстановки

	$u\,$	$du\,$	$\sin x\,$	$\cos x\,$	$\operatorname{tg}\,x$	$x\,$	$dx\,$
(1)	$\sin x\,$	$\cos x\,dx$	$u\,$	$\sqrt {1 - u^2}$	$\frac {u}{\sqrt {1 - u^2}}$	$\arcsin u\,$	$\frac {du}{\sqrt {1 - u^2}}$
(2)	$\cos x\,$	$-\sin x\,dx$	$\sqrt {1 - u^2}$	$u\,$	$\frac {\sqrt {1 - u^2}}{u}$	$\arccos u\,$	$- \frac {du}{\sqrt {1 - u^2}}$
(3)	$\operatorname{tg}\,x$	$\sec^2 x\,dx$	$\frac {u}{\sqrt {1 + u^2}}$	$\frac {1}{\sqrt {1 + u^2}}$	$u\,$	$\operatorname{arctg}\,u$	$\frac {du}{1 + u^2}$
(4)	$\sec x\,$	$\sec x\,\operatorname{tg}\,x\,dx$	$\frac {\sqrt {u^2 - 1}}{u}$	$\frac {1}{u}$	$\sqrt {u^2 - 1}$	$\arcsec u\,$	$\frac {du}{u\,\sqrt {u^2 - 1}}$
(5)	$\operatorname{tg}\,{\frac {x}{2}}\,$	$\frac {1}{2} \sec^2 {\frac {x}{2}}\,dx$	$\frac {2\,u}{1 + u^2}$	$\frac {1 - u^2}{1 + u^2}$	$\frac {2\,u}{1 - u^2}$	$2\,\operatorname{arctg}\,u$	$\frac {2\,du}{1 + u^2}$

$\operatorname{ctg}\,x,\,\sec x,\,\operatorname{cosec}\,x$ можно заменить соответственно на $\frac{1}{\operatorname{tg}\,x},\,\frac{1}{\cos x},\,\frac{1}{\sin x}.$

Примечание.

1. $\int F(\sin x) \cos x\,dx$ — использовать (1);
2. $\int F(\cos x) \sin x\,dx$ — использовать (2);
3. $\int F(\operatorname{tg}\,x) \sec^2 x\,dx$ — использовать (3).

Из таблицы следует выбирать подходящую подстановку для замены тригонометрических функций алгебраическими и обратно. Так, например, если встречаются только $\operatorname{tg}\,x,\,\sin^2 x,\,\cos^2 x,$ следует применять (3).

Интегралы, содержащие $\sin x\,$

430.10

$\int \sin x\,dx = - \cos x$

430.101

$\int \sin {(a + b x)}\,dx = - \frac {1}{b} \cos {(a + b x)}$

430.101

$\int \sin {\frac {x}{a}}\,dx = - a \cos {\frac {x}{a}}$

430.11

$\int x \sin x\,dx = \sin x - x \cos x$

430.12

$\int x^2 \sin x\,dx = 2x \sin x - (x^2 - 2) \cos x$

430.13

$\int x^3 \sin x\,dx = (3x^2 - 6) \sin x - (x^3 - 6x) \cos x$

430.14

$\int x^4 \sin x\,dx = (4x^3 - 24x) \sin x - (x^4 - 12x^2 + 24) \cos x$

430.15

$\int x^5 \sin x\,dx = (5x^4 - 60x^2 + 120) \sin x - (x^5 - 20x^3 + 120x) \cos x$

430.16

$\int x^6 \sin x\,dx = (6x^5 - 120x^3 + 720x) \sin x - (x^6 - 30x^4 + 360x^2 - 720) \cos x$

430.19

$\int x^m \sin x\,dx = -x^m \cos x + m \int x^{m-1} \cos x\,dx$

См. 440

430.20

$\int \sin^2 x\,dx = \frac {x}{2} - \frac {\sin 2x}{4} = \frac {x}{2} - \frac {\sin x \cos x}{2}$

430.21

$\int x \sin^2 x\,dx = \frac {x^2}{4} - \frac {x \sin 2x}{4} - \frac {\cos 2x}{8}$

430.22

$\int x^2 \sin^2 x\,dx = \frac {x^3}{6} - \left (\frac {x^2}{4} - \frac {1}{8} \right ) \sin 2x - \frac {x \cos 2x}{4}$

430.23

$\int x^3 \sin^2 x\,dx = \frac {x^4}{8} - \left (\frac {x^3}{4} - \frac {3x}{8}\right ) \sin 2x - \left (\frac {3x^2}{8} - \frac {3}{16} \right ) \cos 2x$

430.30

$\int \sin^3 x\,dx = \frac {\cos^2 x}{3} - \cos x$

430.31

$\int x \sin^3 x\,dx = \frac {x \cos 3x}{12} - \frac {\sin 3x}{36} - \frac {3}{4} x \cos x + \frac {3}{4} x \sin x$

(Выражая $\sin^3 x\,$ согласно 404.13)

430.40

$\int \sin^4 x\,dx = \frac {3x}{8} - \frac {\sin 2x}{4} + \frac {\sin 4x}{32}$

430.50

$\int \sin^5 x\,dx = - \frac {5 \cos x}{8} + \frac {5 \cos 3x}{48} - \frac {\cos 5x}{80}$

430.60

$\int \sin^6 x\,dx = \frac {5x}{16} - \frac {15 \sin 2x}{64} + \frac {3 \sin 4x}{64} - \frac {\sin 6x}{192}$

430.70

$\int \sin^7 x\,dx = - \frac {35 \cos x}{64} + \frac {7 \cos 3x}{64} - \frac {7 \cos 5x}{320} + \frac {\cos 7x}{448}$

(Интегрируя выражения из 440)

431.11

$\int \frac {\sin x\,dx}{x} = \operatorname{Si}(x) = x - \frac {x^3}{3 \cdot 3!} + \frac {x^5}{5 \cdot 5!} - \frac {x^7}{7 \cdot 7!} + \cdots$

431.12

$\int \frac {\sin x\,dx}{x^2} = - \frac {\sin x}{x} + \int \frac {\cos x\,dx}{x}$

См. 441.11

431.13

$\int \frac {\sin x\,dx}{x^3} = - \frac {\sin x}{2x^2} - \frac {\cos x}{2x} - \frac {1}{2} \int \frac {\sin x\,dx}{x}$

См. 431.11

431.14

$\int \frac {\sin x\,dx}{x^4} = - \frac {\sin x}{3x^3} - \frac {\cos x}{6x^2} + \frac {\sin x}{6x} - \frac {1}{6} \int \frac {\cos x\,dx}{x}$

См. 441.11

431.19

$\int \frac {\sin x\,dx}{x^m} = - \frac {\sin x}{(m - 1)\,x^{m - 1}} + \frac {1}{m - 1} \int \frac {\cos x\,dx}{x^{m - 1}}$

431.21

$\int \frac {\sin^2 x\,dx}{x} = \frac {1}{2} \ln{\left | x \right |} - \frac{1}{2} \int \frac {\cos 2x\,d(2x)}{2x}$

См. 441.11

431.31

$\int \frac {\sin^3 x\,dx}{x} = \frac {3}{4} \int \frac {\sin x\,dx}{x} - \frac{1}{4} \int \frac {\sin 3x\,d(3x)}{3x}$

См. 431.11

431.9

$\int \frac {\sin^n x\,dx}{x^n}$ Выразить $\sin^3 x\,$ согласно 404 и интегрировать почленно согласно 431.1 и 441.1.

432.10

$\int \frac {dx}{\sin x} = \int \csc x\,dx = \ln {\left | \operatorname{tg}\,\frac {x}{2} \right |} = - \frac {1}{2} \ln {\frac {1 + \cos x}{1 - \cos x}} = \operatorname{\lambda}\,{\left (x - \frac{\pi}{2} \right )}$ (лямбда-функция) См. 641 и 603.6.

432.11

$\int \frac {x\,dx}{\sin x} = x + \frac{x^3}{3 \cdot 3!} + \frac{7x^5}{3 \cdot 5 \cdot 5!} + \frac{31x^7}{3 \cdot 7 \cdot 7!} + \frac{127x^7}{3 \cdot 5 \cdot 9!} + \cdots +\frac{2(2^{2n - 1} - 1)}{(2n + 1)!} B_n x^{2n+1} + \cdots$

См. 45

432.12

$\int \frac {x^2\,dx}{\sin x} = \frac{x}{2} + \frac{x^4}{4 \cdot 3!} + \frac{7x^6}{3 \cdot 6 \cdot 5!} + \frac{31x^8}{3 \cdot 8 \cdot 7!} + \frac{127x^10}{5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 8!} + \cdots +\frac{2(2^{2n - 1} - 1)}{(2n + 2)(2n)!} B_n x^{2n+2} + \cdots$

См. 45.

432.19

$\int \frac {x^m\,dx}{\sin x}$ Разложить $\frac{1}{\sin x}$ согласно 415.06, умножить на $x^m\,$ и интегрировать $[m>0]\,$.

432.20

$\int \frac {dx}{\sin^2 x} = \int \csc^2 x\,dx = -\,\operatorname{ctg}\,x$

432.21

$\int \frac {x\,dx}{\sin^2 x} = -\,x\,\operatorname{ctg}\,x + \ln \left | \sin x \right |$

432.30

$\int \frac {dx}{\sin^3 x} = -\,\frac{\cos x}{2\,\sin^2 x} + \frac{1}{2} \ln \left | \operatorname{tg}\frac{x}{2} \right |$

432.31

$\int \frac {x\,dx}{\sin^3 x} = -\,\frac{x\,\cos x}{2\,\sin^2 x} - \frac{1}{2\,\sin x} + \frac{1}{2} \int \frac {x\,dx}{\sin x}$

См. 432.11.

432.40

$\int \frac {dx}{\sin^4 x} = -\,\frac{\cos x}{3 \, \sin^3 x} - \frac{2}{3}\,\operatorname{ctg}\,x = -\,\operatorname{ctg}\,x - \frac{\operatorname{ctg}^3\,x}{3}$

432.41

$\int \frac {x\,dx}{\sin^4 x} = -\,\frac{x\,\cos x}{3\,\sin^3 x} - \frac{1}{6\,\sin^2 x} - \frac{2}{3}\,x\,\operatorname{ctg}\,x + \frac{2}{3} \ln \left | \sin x \right |$

432.50

$\int \frac {dx}{\sin^5 x} = -\,\frac{\cos x}{4\,\sin^4 x} - \frac{3}{8}\frac{\cos x}{\sin^2 x} + \frac{3}{8} \ln \left | \operatorname{tg}\frac{x}{2} \right |$

432.60

$\int \frac {dx}{\sin^6 x} = -\,\frac{\cos x}{5\,\sin^5 x} - \frac{4}{15}\frac{\cos x}{\sin^3 x} - \frac{8}{15} \operatorname{ctg}\,x$

432.90

$\int \frac {dx}{\sin^n x} = \int \csc^n x\,dx = -\,\frac{\cos x}{(n-1)\,\sin^{n-1} x} + \frac{n-2}{n-1} \int \frac {dx}{\sin^{n-2} x}$

$n > 1\,$

432.91

$\int \frac {x\,dx}{\sin^n x} = -\,\frac{x\,\cos x}{(n-1)\,\sin^{n-1} x} - \frac{1}{(n-1)(n-2)\sin^{n-2} x} + \frac{n-2}{n-1} \int \frac {x\,dx}{\sin^{n-2} x}$

$n > 2\,$

433.01

$\int \frac {dx}{1+\sin x} = -\,\operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right )$

433.02

$\int \frac {dx}{1-\sin x} = \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right )$

433.03

$\int \frac {x\,dx}{1+\sin x} = -\,x\,\operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right ) + 2 \ln \left | \cos \left (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right ) \right |$

433.04

$\int \frac {x\,dx}{1-\sin x} = x\,\operatorname{ctg}\left (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right ) + 2 \ln \left | \sin \left (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right ) \right |$

433.05

$\int \frac {\sin x\,dx}{1+\sin x} = x + \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right )$

433.06

$\int \frac {\sin x\,dx}{1-\sin x} = -\,x + \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right )$

433.07

$\int \frac {dx}{\sin x\,(1+\sin x)} = \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right ) + \ln \left | \operatorname{tg} \frac{x}{2} \right |$

433.08

$\int \frac {dx}{\sin x\,(1-\sin x)} = \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right ) + \ln \left | \operatorname{tg} \frac{x}{2} \right |$

434.01

$\int \frac {dx}{(1+\sin x)^2} = -\,\frac{1}{2}\,\operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right ) - \frac{1}{6}\,\operatorname{tg}^3\left (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right )$

434.02

$\int \frac {dx}{(1-\sin x)^2} = \frac{1}{2}\,\operatorname{ctg}\left (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right ) + \frac{1}{6}\,\operatorname{ctg}^3\left (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right )$

434.03

$\int \frac {\sin x \, dx}{(1+\sin x)^2} = -\,\frac{1}{2}\,\operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right ) + \frac{1}{6}\,\operatorname{tg}^3\left (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right )$

434.04

$\int \frac {\sin x \, dx}{(1-\sin x)^2} = -\,\frac{1}{2}\,\operatorname{ctg}\left (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right ) + \frac{1}{6}\,\operatorname{ctg}^3\left (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right )$

434.05

$\int \frac {dx}{1+\sin^2 x} = \frac{1}{2\,\sqrt{2}}\,\arcsin \left (\frac{3\,\sin^2 x - 1}{\sin^2 x + 1} \right )$

См. 436.6.

434.06

$\int \frac {dx}{1-\sin^2 x} = \int \frac {dx}{\cos^2 x} = \operatorname{tg}\,x$

См. 440.20.

435

$\int \sin mx \sin nx \,dx = \frac{\sin (m-n)\,x}{2\,(m-n)} - \frac{\sin (m+n)\,x}{2\,(m+n)}$

$m^2 \ne n^2.$ Если $m^2 = n^2,\,$ то см. 430.20.

436.00

$\int \frac{dx}{a + b \sin x} =$
$= \frac {2} {\sqrt{a^2 - b^2}} \, \operatorname{arctg} \frac{a \, \operatorname{tg} \frac{2}{x} + b}{\sqrt{a^2 - b^2}}$	$\left [ a^2 > b^2 \right ],$
$= \frac {1} {\sqrt{b^2 - a^2}} \ln \left | \frac{a \, \operatorname{tg} \frac{2}{x} + b - \sqrt{b^2 - a^2}}{a \, \operatorname{tg} \frac{2}{x} + b + \sqrt{b^2 - a^2}} \right |$	$\left [ b^2 > a^2 \right ],$
$= \frac {-2} {\sqrt{a^2 - b^2}} \, \operatorname{Arth} \frac{a \, \operatorname{tg} \frac{2}{x} + b}{\sqrt{b^2 - a^2}}$	$\left [ b^2 > a^2 , \left | a \, \operatorname{tg} \frac{2}{x} + b \right | < \sqrt{b^2 - a^2} \right ],$
$= \frac {-2} {\sqrt{a^2 - b^2}} \, \operatorname{Arcth} \frac{a \, \operatorname{tg} \frac{2}{x} + b}{\sqrt{b^2 - a^2}}$	$\left [ b^2 > a^2 , \left | a \, \operatorname{tg} \frac{2}{x} + b \right | > \sqrt{b^2 - a^2} \right ].$

Подинтегральная функция обращается в бесконечность (если $b^2 > a^2 \,$) при $x = n \pi + (-1)^n \, \operatorname{arcsin} \left ( - \frac{a}{b}\right ).$

436.01

$\int \frac{\sin x \, dx}{a + b \sin x} = \frac{x}{b} - \frac{a}{b} \int \frac{dx}{a + b \sin x}$

436.02

$\int \frac{dx}{\sin x \, (a + b \sin x)} = \frac{1}{a} \ln \left | \operatorname{tg} \, \frac{x}{2} \right | - \frac{b}{a} \int \frac{dx}{a + b \sin x}$

436.03

$\int \frac{dx}{\left (a + b \sin x \right )^2} = \frac{b \cos x}{\left ( a^2 - b^2 \right ) \left ( a + b \sin x \right )} + \frac{a}{a^2 - b^2} \int \frac{dx}{a + b \sin x}$

436.04

$\int \frac{\sin x \, dx}{\left (a + b \sin x \right )^2} = \frac{a \cos x}{\left ( b^2 - a^2 \right ) \left ( a + b \sin x \right )} + \frac{b}{b^2 - a^2} \int \frac{dx}{a + b \sin x}$

[K 436.01—436.04 см. 436.00.]

436.5

$\int \frac{dx}{a^2 + b^2 \sin^2 x} = \frac{1}{a \, \sqrt{a^2 + b^2}} \, \operatorname{arctg} \, \frac{\sqrt{a^2+b^2} \, \operatorname{tg}\,x }{a}$

436.6

Когда $a = b = 1,\,$

$\int \frac{dx}{1 + \sin^2 x} = \frac{1}{\sqrt{2}} \, \operatorname{arctg} \, \left ( \sqrt{2} \, \operatorname{tg}\,x \right ).$

Другое выражение, отличающееся на константу, дано в 434.05.

436.7

$\int \frac{dx}{a^2 - b^2 \sin^2 x} = \frac{1}{a \, \sqrt{a^2 - b^2}} \, \operatorname{arctg} \, \frac{\sqrt{a^2 - b^2} \, \operatorname{tg} \, x}{a}$	$\left [ a^2 > b^2 \right ],$
$= \frac{1}{2a \, \sqrt{b^2 - a^2}} \ln \left | \frac{\sqrt{b^2 - a^2} \, \operatorname{tg} \, x + a}{\sqrt{b^2 - a^2} \, \operatorname{tg} \, x - a} \right |$	$\left [ b^2 > a^2 \right ].$

Если $b^2 = a^2,\,$ см. 434.06.

437.1

$\int \frac{\sin x \, dx}{\sqrt{1 + m^2 \sin^2 x }} = - \frac{1}{m} \, \operatorname{arcsin} \, \frac{m \cos x}{\sqrt{1+m^2}}$

437.2

$\int \frac{\sin x \, dx}{\sqrt{1 - m^2 \sin^2 x }} = - \frac{1}{m} \ln \left | m \cos x + \sqrt{1 - m^2 \sin^2 x} \, \right |$

437.3

$\int (\sin x) \sqrt{1+ m^2 \sin^2 x} \, dx = -\frac{\cos x}{2} \sqrt {1 + m^2 \sin^2 x} - \frac{1 + m^2}{2m} \, \operatorname{arcsin} \, \frac{m \cos x}{\sqrt{1+m^2}}$

437.4

$\int (\sin x) \sqrt{1- m^2 \sin^2 x} \, dx = -\frac{\cos x}{2} \sqrt {1 - m^2 \sin^2 x} - \frac{1- m^2}{2m} \ln \left | m \cos x + \sqrt{1 - m^2 \sin^2 x} \, \right |$

Интегралы, содержащие $\cos x\,$

440.10

$\int \cos x \, dx = \sin x$

440.101

$\int \cos (a + bx) \, dx = \frac{1}{b} \sin (a + bx)$

440.102

$\int \cos \frac{x}{a} \, dx = a \sin \frac{x}{a}$

440.11

$\int x \cos x \, dx = \cos x + x \sin x$

440.12

$\int x^2 \cos x \, dx = 2x \cos x + \left ( x^2 - 2 \right ) \sin x$

440.13

$\int x^3 \cos x \, dx = \left ( 3x^2 - 6 \right ) \cos x + \left ( x^3 - 6x \right ) \sin x$

440.14

$\int x^4 \cos x \, dx = \left ( 4x^3 - 24x \right ) \cos x + \left ( x^4 - 12x^2 + 24 \right ) \sin x$

440.15

$\int x^5 \cos x \, dx = \left ( 5x^4 - 60x^2 +120 \right ) \cos x + \left ( x^5 - 20x^3 + 120x \right ) \sin x$

440.16

$\int x^6 \cos x \, dx = \left ( 6x^5 - 120x^3 +720x \right ) \cos x + \left ( x^6 - 30x^4 + 360x^2 - 720 \right ) \sin x$

440.19

$\int x^m \cos x \, dx = x^m \sin x - m \int x^{m-1} \sin x \, dx$

[См. 430.]

440.20

$\int \cos^2 x\, dx = \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4} = \frac{x}{2} + \frac{\sin x\cos x}{2}$

440.21

$\int x \cos^2 x\, dx = \frac{x^2}{4}+\frac{x\sin 2x}{4} + \frac{\cos 2x}{8}$

440.22

$\int x^2 \cos^2 x\, dx = \frac{x^3}{6}+\left (\frac{x^2}{4}-\frac{1}{8}\right )\sin 2x + \frac{x\cos 2x}{4}$

440.23

$\int x^3 \cos^2 x\, dx = \frac{x^4}{8}+\left (\frac{x^3}{4}-\frac{3 x}{8}\right )\sin 2x + \left (\frac{3 x^2}{8}-\frac{3}{16}\right )\cos 2x$

440.30

$\int \cos^3 x dx = \sin x-\frac{\sin^3 x}{3}$

440.31

$\int x \cos^3 x dx = \frac{x \sin 3x}{12} + \frac{\cos 3x}{36} +\frac 3 4 x\sin x+\frac 3 4 x\cos x$

($\scriptstyle\cos^3 x$ выражается согласно 404.23)

440.40

$\int \cos^4 x dx = \frac{3x}{8} + \frac{\sin 2x}{4} +\frac{\sin4x}{32}$

440.50

$\int \cos^5 x dx = \frac{3\sin x}{8} + \frac{5\sin 3x}{48} +\frac{\sin5x}{80}$

440.60

$\int \cos^6 x dx = \frac{5x}{16} + \frac{15\sin 2x}{64} +\frac{3\sin4x}{64}+\frac{\sin6x}{192}$

440.70

$\int \cos^7 x dx = \frac{35\sin x}{64} + \frac{7\sin 3x}{64} +\frac{7\sin5x}{320}+\frac{\sin7x}{448}$

(Интегрируется выражение из 404.)

441.11

$\int \frac{\cos x dx}{x} = \ln \left |x\right |- \frac{x^2}{2\cdot2!} +\frac{x^4}{4\cdot4!}-\frac{x^6}{6\cdot6!}+\ldots$

441.12

$\int \frac{\cos x dx}{x^2} = -\frac{\cos x}{x} -\int \frac{\sin x dx}{x}$

(См. 431.11.)

441.13

$\int \frac{\cos x dx}{x^3} = -\frac{\cos x}{2x^2} +\frac{\sin x}{2x}-\frac{1}{2}\int \frac{\cos x dx}{x}$

(См. 441.11.)

441.14

$\int \frac{\cos x dx}{x^4} = -\frac{\cos x}{3x^3} +\frac{\sin x}{6x^2}+\frac{\cos x}{6x}+\frac{1}{6}\int \frac{\sin x dx}{x}$

(См. 431.11.)