Широкополосные лазерные усилители и соотношение МакКамбера (Кузнецов)

Материал из Викитеки — свободной библиотеки

Перейти к: навигация, поиск
'Широкополосные лазерные усилители и соотношение МакКамбера'
автор Дмитрий Юрьевич Кузнецов
Copyleft 2007 by Author


Abstract. Соотношение МакКамбера в физике твердотельных лазеров можно вывести, не используя предположение о том, что все активные центры имеют одинаковое распределение подуровней. Область применимости соотношения МакКамбера та же, что и концепции эффективного сечения испускания.

Содержание

[править] Введение

Эффективные сечения поглощения ~\sigma_{\rm a}~ и испускания ~\sigma_{\rm e}~, няряду с временем жизни τ возбужденного состояния, являются основными параметрами при расчете твердотельного лазера. Допущение об эффективных сечениях позволяет обращаться с активной средой так как если бы она была сделана на основе двухуровневых атомов. Эта концепция так широко используется, что эффективные сечения называют просто сечение: сечение поглощения (absorption cross-section) и сечение испускания (emission cross-section).

Соотношение МакКамбера [1][2] выражает сечение испускания ~\sigma_{\rm e}(\omega)~ через сечение поглощения ~\sigma_{\rm a}(\omega)~:


\sigma_{\rm e}(\omega)~=~\sigma_{\rm a}(\omega)\!~\exp\!\left(\hbar\frac {\omega_{\rm Z}\!-\!\omega}{k_{\rm B}T}  \right)~~,~~~~~
{~~~(\rm mc)}

где ~T~ есть температура, ~k_{\rm B}~ есть постоянная Вольцмана (Boltzmann constant) и ~\omega_{\rm Z}~ есть так называемая частота нулевой линии, при которой сечение испускания равно сечению поглощения. Соотношение (mc) подтверждено для различных лазерных сред [1][2][3][4][5].

Оригинальный вывод соотношения МакКамбера [1], как и его изложения в учебниках [2] предполагают, что все активные центры одинаковы. Этот вывод не может бытъ использован как естъ для материалов с широкой полосой усиления, в которых активные центры находясь в разных условиях, имеют различные энергии возбуждения. Это позволило интерпретировать результаты для Yb:Gd2SiO5 [6][7][8] как указание на то, что эффективные сечения для неоднородно–уширенных (речь идет о спектральных линиях) могут существенно отличатьсе от предсказаний, сделанных на основе соотношения МакКамбера. В частности, в трех независимых журналах представлены экспериментальные "свидетельства" того, что пик сечения поглощения ~\sigma_{\rm a}~ при длине волны 950 нм соответствует провалу сечения ~\sigma_{\rm e}~.

Разумеется, среда с таким странным поведением эффективных сечений [6][7][8] была бы хороша не только для эффективного лазера, но и для вечного двигателя Второго рода (Perpetual Motion of Second Kind). Минимальная коррекция сечения испускания, которая делает среду совместимой со Вторым Началом Термодинамики была предложена [9][10] обсуждена и портверждена [11].

Разумеется, это нелепо, придумывать мысленный эксперимент каждый раз, когда надо проанализировать достоверностъ экспериментальных данных. Чтобы избежать таких конфузов, следует обобщить доказательство соотношения МакКамбера.

После доклада [9], участники попросили меня построить доказательство соотношения МакКамбера, которое не использивали бы допущение об "одинаковости" активных центров, и могло бы заменить спекуляции "вечными двигателами" [10] и анализ соответствующих мысленных экспериемнтов.

В этой работе я предлагаю такое доказательство. Ниже, я показываю, что соотношение МакКамбера следует из фундаментальныс свойств коэффициентов Эинштейна [12][13][14][15], и приложимо к любому материалу с медленными переходами межды двумя лазерными уровнями и быстрыми переходами внутри каждого их их подуровней.

Fig.1. Подуровни в неоднородно–уширенной лазерной среде

[править] Активные центры

Схема уровней неоднородно–уширенной лазерной среды представлена на рисунке 1.

Рассмотрим два подмножества квантовых состояний: уровень 1 и уровень 2.

Предположим медленные оптические (излучательные) переходы между уровнями 1 и 2.

(Это свойство делает среду подходящей для эффективного лазера.)

Предположим быстрый обмен энергией между соседями, который ведет к быстрой термализации распределения возбуждений внутри каждого уровня.

Тогда, эффективный показатель преломления [16] и инкремент [5] определяются средними заселенностами ~n_1 and ~n_2~ лазерных уровней и не зависят от способа возбуждения.

В этом случае, и только в этом случае, эффективные сечения поглощения ~\sigma_{\rm a}(\omega)~ и испускания ~\sigma_{\rm e}(\omega)~ имеют смысл.

[править] Термализация

Использование эффективных сечений предполагает термализацию кантовых состояний внутри каждого из лазерных уровней. Разумеется, заселеность лазерных уровней может быть далека от равновесной, что позволяет сделать лазер. Инкремент может быть представлен в виде


g(\omega) = n_2\!~\sigma_{\rm e}(\omega) - n_1\!~ \sigma_{\rm a}(\omega)~~,~~~~~~~
{\rm   (g)}

где ~n_1~ и ~n_2~ есть заселенности нижнего и верхнего лазерных уровней.

Вынужденное излучение можно характеризовать с помощью коэффициента Эйншейна [12][17][18][19]; плотность вероятности испускания спонтанного фотона на частоте ω может быть фыражена как

 a(\omega)n_2~~,~~~ {\rm (a)}

где ~a(\omega)~ есть вероятность спонтаного излучение случайным активым центром на время на частоты, в предположении, что этот центр возбужден.

~a(\omega)~ является эквивалентом коеффициента Эинштейн ~A_{21}~. Я использую обозначение ~a~, чтобы избежать путаницы сбязанной с тем, что ~A_{\rm 21}~ не имеет однозначного общепринятого смысла (см. замечания к Table 7.7 публикации [13]); не только значение, но и даже размерность коэффициентов Эинштейна зависят от использованной шкалы: частоты или длины волн.

[править] Скорость излучения

Скорость излучения (decay rate) ~1/\tau~ возбужденным уровнем может быть выражена в терминах коэффициента ~a~:


\frac{1}{\tau}=\int_{0}^{\infty} a(\omega)~ {\rm  d} \omega~~~~~~~~~~~~~~~~
{\rm (tau)}

Сечения ~\sigma_{\rm a}(\omega)~ и ~\sigma_{\rm e}(\omega)~ и коэффициент ~a(\omega)~ не зависят от заселеностей ~n_1~ и ~n_2~ и плотности ~D(\omega)~ фотонов частоты ~\omega~. В этом приблишении, свойства активной среды определяются тремя функциями ~\sigma_{\rm a}(\omega)~,~\sigma_{\rm e}(\omega)~ и ~a(\omega)~, то есть нет нужды рассматривать детали нелинейного процесса, который привел к возбуждению среды; [20][21]; как инкремент, так и показатель преломления определяютсяined заселенностами ~n_1~ и ~n_2~ . Функции ~a(\omega)~, ~\sigma_{\rm a}(\omega)~ и ~\sigma_{\rm e}(\omega)~ являются экивалентами коэффициентов Эйнштейна, но имеют преимущество: их значения не зависят от системы обозначений.

В дальнейшем, я переписываю соотношения между коэффициентами Эйнштейна [12][13][14][15], принимая во внимамие структуру подуровней (рисунок.1).

[править] Принцип Детального Равновесия

Функции ~\sigma_{\rm a}(\omega)~,~\sigma_{\rm e}(\omega)~ и ~a(\omega)~ частоты ~\omega~ связаны так же, как и коэффициенты Эйнштейна. Эти соотношения можно найти из Принципа Детального Равновесия.

Выражение (g) годится для неравновесного состояния, но в частном случае, оно справедливо и для термического состояния, когда вероятность испускания (спонтанного и вынужденного вместе) фотона на каждой частоте равна вероятности поглощения ~\omega~.

Рассмотрим равновесное состояние. Пусть ~v(\omega)~ есть груповая скорость света в среде.

Произедение ~n_2\sigma_{\rm e}(\omega) v(\omega)D(\omega)~ есть спектральная эффективность вынужденного излучения, а ~n_1\sigma_{\rm a}(\omega) v(\omega)D(\omega)~ эффективность поглощения. a(ω)n2 есть эффективность спонтанного излучения. (Отмечу, что в этом приближении нет такого понятия как спонтанное поглощение).

Баланс фотонов дает:


n_2\sigma_{\rm e}(\omega) v(\omega)D(\omega)+n_2 a(\omega)=
n_1\sigma_{\rm a}(\omega) v(\omega)D(\omega)
~~~~~~~~~~~~~~~{\rm (balance)}

Перепишем это выражение в виде


D(\omega)=
\frac{\frac{a(\omega)}{\sigma_{\rm e}(\omega) v(\omega)}
}
{\frac{n_1}{n_2} \frac{\sigma_{\rm a}(\omega)}{\sigma_{\rm e}(\omega)}-1}
~~~~~~~~~~~~~~{\rm (D1)}

Равновесное распределение фотонов подчинается законам черного излучения [13]:


D(\omega)~=~
\frac{\frac{1}{\pi^2} \frac{\omega^2}{c^3}}
{\exp\!\left(\frac{\hbar\omega}{k_{\rm B}T}\right)-1}
~~~~~
{\rm (D2)}

Выражения (D1) и (D2) справедливы для любых частот ~\omega~. Для идеализированных двухуровневых центров, ~\sigma_{\rm a}(\omega)=\sigma_{\rm e}(\omega)~, и ~n_1/n_2=\exp\!\left( \frac{\hbar\omega}{k_{\rm B}T} \right), что ведет к соотношению a(ω) and the emission cross-section ~\sigma_{\rm e}(\omega)~ [13]. (Обозначение "вероятность испускания" сохраняется для ~a(\omega){\rm d}\omega{\rm d}t~, что есть вероятность излученияия фотона в малом спектральном интервале ~(\omega,\omega+{\rm d}\omega)~ в течение малого временного интервала ~(t,t+{\rm d}t)~, при условии что в момент ~t~ атом возбужден.)

Соотношение (D2) является фундаментальным свойством спонтанного и вынужденного излучения. По–видимому, такое соотношение является единственным способом запретить спонтанное нарушение теплового равновесия в рамках простой модели процессов излучения.

[править] Приложение к различным центрам

Для каждого сайта с номером ~s~, для каждого подуровня j, парциальнаш эффективность излучения ~a_{s,j}(\omega)~ может быть выражена из рассмотрения идеализидованного двухуровнего атома [13]:


a_{s,j}(\omega)=\sigma_{s,j}(\omega)
\frac{\omega^2 v(\omega)}{\pi^2c^3}~~.
~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm comparison1}
~~{\rm partial}

В пренебреении кооперативными эффектами, эмиссии аддитивны: для каждой концентрации ~q_{s}~ сайтов и для каждой заселенности ~n_{s,j}~ подуровня, одно и то же соотношение нежду ~a~ и ~\sigma_{\rm e}~ держится для эффективных сечений:


\frac{a(\omega)}{\sigma_{\rm e}(\omega)}=
\frac{\omega^2 v(\omega)}{\pi^2c^3}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~(\rm comparison)(av)

Сравнение (D1) и (D2) дает соотношение


\frac{n_1}{n_2}
\frac{\sigma_{\rm a}(\omega)}
{\sigma_{\rm e}(\omega)}=
\exp\!\left( \frac{\hbar\omega}{k_{\rm B}T}\right)~~.
~~~~~~~~{\rm (n1n2) (mc1)}

Это соотношение эквивалентно соотношению МакКамбера (mc), если мы определим частоту ωZ "нулевой" линии как реюение уравнения

~\left(\frac{n_2}{n_1}\right)_{\!T}=
\exp\!\left(\frac{\hbar \omega_{\rm Z}}{k_{\rm B}T}\right)~~~~,~~~

где индекс ~T~ указывает, что отношение заселеностек оценивасется в равновесном состоянии с температурой ~T~.

Частота "нулевой" спектральной линии мошет быть предстаселна следующим образом:


\omega_{\rm Z}=\frac{k_{\rm B}T}{\hbar}
\ln \left(\frac{n_1}{n_2}\right)_{T}
~~~~~~~~~~~~~~~~.~~{(\rm oz)}

Тогда соотношение (n1n2) становится эквивалентным соотношению МакКамбера (mc).

Таким образом, никаких специальных свойств подуровней не требуется для соотноюения МакКамбера; жто соотношение следует из предполошения о быстрых переходах вбутри каждого уровня. Таким образом, соотношение МакКамбера (mc) имеет ту же область применимости, что и сама концепция эффективных сечений.

[править] Равновесное отношение заселенностей

Частота "нулевой линии" определяется уравнением (oz) в терминах отношения ~(n_2/n_1)_{T}~ заселенностей лазерных уровней в равновесном состоянии с температурой T. Вообще гооря, частота ~\omega_{\rm Z}~ может зависеть от температуры. Эта зависимость может быть выражена явно в терминах энергий подуровней.

Рисунок 2. Нумерация подуровней

Рассмотрим сперва среду с одиналовыми активными центрами (рисунок 2). Пусть ~U~ есть полное число подуровней.

Пусть ~j~ нумерует эти подуровни.

Пусть первые ~L~ подуровней принадлежат нижнему уровню, что соответствует значерниям ~0\le j\le L\!-\!1~.

Следующие ~U\!-\!L~ подуровней принадлежат верхнему уровню, соответствуя значениям

~L\le j\le U\!-\!1~.

Пусть ~\varepsilon_j~ будет энергия ~j~го подуровня. Тогда равновесное отношение заселенностей


\left(\frac{n_2}{n_1}\right)_{\!T}=
\frac
{\sum_{j=L}^{U-1}\exp\!\left(-\frac{\hbar\varepsilon_j}{K_{\rm B} T } \right)}
{\sum_{j=0}^{L-1}\exp\!\left(-\frac{\hbar\varepsilon_j}{K_{\rm B} T } \right)}
\approx \exp\!\left(-\frac{\hbar\varepsilon_L}{K_{\rm B} T } \right)~~,
~~~~~~~~~~~~{\rm (mono)}

что и заляется искмым явным представлением для среды с одинаковыми активными центрами.

[править] Сайты

Дла среды с расличными центрами или сайтами, (рисунок .1), пусть ~s~ нумерует эти сайты.

Пусть ~q_{s}~ будет концентрасия ~s~х сайтов, а ~\varepsilon_{q,j}~ будет энергия ~jго подуроня ~s~го сайта. Тогда


\left(\frac{n_1}{n_0}\right)_{\!T}=
\frac
{~\sum_{s} ~q_{s}~
\frac
{\sum_{j=L}^{U-1}\exp\!\left(-\frac{\hbar\varepsilon_{s,j}}{K_{\rm B} T } \right)}
{\sum_{j=0}^{U-1}\exp\!\left(-\frac{\hbar\varepsilon_{s,j}}{K_{\rm B} T } \right)}
~}
{~\sum_{s} ~q_{s}~
\frac
{\sum_{j=0}^{L-1}\exp\!\left(-\frac{\hbar\varepsilon_{s,j}}{K_{\rm B} T } \right)}
{\sum_{j=0}^{U-1}\exp\!\left(-\frac{\hbar\varepsilon_{s,j}}{K_{\rm B} T } \right)}
~}
~~~~~~~.~~(\rm multi)

При низких температурах, ~ \frac{\hbar\varepsilon_{q,L+1}-\hbar\varepsilon_{q,L}}{k_{\rm B}T}\gg 1~~,~~ ~ \frac{\hbar\varepsilon_{q,1}-\hbar\varepsilon_{q,0}}{k_{\rm B}T}\gg 1~~,~ и только нулевые слагаемые дают важный вклад. (Это типичный случай для Yb в качестве активного допанта.) Тогда частота "нулевой линии" соответствует энетгии между нижайшими подуровнами каждого уровня.

[править] Теория и эмпирика

Использование формальных выражений (mono) и, особенно (multi) требует знания этергий подуровней. Более практичным может быть определение сечения испускания из спектра спонтанного излучения, который легче измерить.

Использыя уравнение (comparison), получаем:


\sigma_{\rm e}(\omega)=\frac{\pi^2c^3}{\omega^2 v(\omega)}a(\omega)~~.

Интеграл от ~\sigma_{\rm e}(\omega)~ может быть преверен из уравнения (tau), поскольку время ~\tau~ соинтанного излугения известно. Тогда частота "нулевой линии" может быть определена из сравенния отношения сечений и элспоненты в правои части уравенения (n1n2). Отклонение от кинстанты правой части уравнения


\left(\frac{n_1}{n_2}\right)_T
=\frac{\sigma_{\rm e}(\omega)}{\sigma_{\rm a}(\omega)}\exp\!\left(\frac{\hbar\omega} {k_{\rm B}T}\right)
~~~~~~~~~~~~{\rm (check)}

явлается мерой погрешности описания процесса в терминах эффективных сечений. Значимое отклонение, доложенное в нескольких независиных журналах[6][7][8][10][9] может указывать на то, что единое эффективное сечение испускания ~\sigma_{\rm e}(\omega)~ для данной среды не существует, и требуется более детальный анализ кинетики возбусдений тазличных сайтов.

Пока нет очевидных подтветшдений, что такое нарушение соотнопения МакКамбера имеер место для Yb:Gd2SiO5. Вопиющее нарушение соотношения Маккамбера на чрафиках [6][7][8] ацлается, по–видимому, следстием методической ошибки при измерениях σe, связанной с неправильным учетом переизлучения на частотах, близких к "нулевой частоте".

[править] Заключение

Соотношение МакКамбера (mc) следует из быстрого перераспределения возбуждения между подуровнями. Только в этом случае можно пользоваться эффективными сечениями.

Предложенное доказательство соотношения МакКамбера применимо к средам с разлийными "сайтами".

Это приближение может быть нарушено при низких концентрациях активных центров, а также в случае возбуждения очень короткими импульсами. В обоих случаях, различные "сайты" взаимодействуют с электромагнитным полем быстрее, чем друг с другом; и среда не может быть харектерихована однозначно с помощю эффективного сечения ~\sigma_{\rm e}(\omega)~ излучения; Такие сечения должны быть рассмотрены для каждого "сайта", и должна быть рассмотрена кинетика переноса возбуждений между сайтами,

Эффективнуе сечения и соотношение МакКамбера имеют одну и ту же область применимости. Отклонение от константы правой части уравенния (check) указывает на ошибку измерения эффективных сечений.

[править] Благoдарность

Спасибо Жану–Франсуа Бисону (Jean-François Bisson), Сузанне Фридрих–Торнтон (Susanne T. Fredrich-Thornton), Кену Уеде (Ken-ichi Ueda), Акире Ширакаве (Akira Shirakawa) и Александру Каминскому (Alexander Kaminskii) за помощь и обсуждения.

[править] References

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 D.E.McCumber. Einstein relations connecting broadband emission and absorption spectra. PRB 136 (4A), 954-957 (1964)
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 P.C.Becker, N.A.Olson, J.R.Simpson. Erbium-doped fiber amplifiers: fundamentals and theory (Academic, 1999).
  3. ↑ R.S.Quimby. Range of validity of McCumber theory in relating absorption and emission cross sections,J. Appl. Phys.92, 180-187 (2002) doi:10.1063/1.1485112 ; http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=JAPIAU000092000001000180000001
  4. ↑ R.M.Martin, R.S.Quimby. Experimental evidence of the validity of the McCumber theory relating emission and absorption for rare-earth glasses", JOSAB, 23, (9): 1770-1775 (2006)
  5. ↑ 5,0 5,1 D. Kouznetsov, J. -F. Bisson, K. Takaichi, K. Ueda. High-power single mode solid state laser with short unstable cavity. JOSAB 22, 1605-1619 (2005), http://josab.osa.org/abstract.cfm?id=84730
  6. ↑ 6,0 6,1 6,2 6,3 W. Li, H. Pan, L. Ding, H. Zeng, W. Lu, G. Zhao, C. Yan, L. Su, J. Xu. Efficient diode-pumped Yb:Gd2SiO5 laser. APL 88, 221117 (2006), http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=APPLAB000088000022221117000001
  7. ↑ 7,0 7,1 7,2 7,3 W. Li, H. Pan, L. Ding, H. Zeng, G. Zhao, C. Yan, L. Su, J. Xu. Diode-pumped continuous-wave and passively mode-locked Yb:Gd2SiO5laser. Optics Express 14, 686-695 (2006) http://www.opticsexpress.org/search.cfm
  8. ↑ 8,0 8,1 8,2 8,3 C. Yan, G. Zhao, L. Zhang, J. Xu, X. Liang, D. Juan, W. Li, H. Pan, L. Ding, H. Zeng. A new Yb-doped oxyorthosilicate laser crystal: Yb:Gd2SiO5. Solid State Communications 137, 451-455 (2006), doi:10.1016/j.ssc.2005.12.023, http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TVW-4HYTYFW-3&_user=10&_coverDate=02%2F28%2F2006&_alid=615430684&_rdoc=1&_fmt=summary&_orig=search&_cdi=5545&_sort=d&_docanchor=&view=c&_ct=1&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=b6673cac47762a0184b56a206d31ccd6
  9. ↑ 9,0 9,1 9,2 D. Kouznetsov. Broadband laser materials and the McCumber relation. 5th Asia Pacific Laser Symposium, presentation VI-12 (Guillin, China, Nov.23-27, 2006);
  10. ↑ 10,0 10,1 10,2 D. Kouznetsov. Comment on Efficient diode-pumped Yb:Gd2SiO5 laser. APL 90, 066101 (2007), http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=APPLAB000090000006066101000001&idtype=cvips&gifs=yes
  11. ↑ G.Zhao, L.Su, J.Xua, and H.Zeng. Response to Comment on Efficient diode-pumped Yb:Gd2SiO5 laser (Appl. Phys. Lett. 90, 066101 2007). - APL 90, 066103 (2007), http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=APPLAB000090000006066103000001&idtype=cvips&gifs=yes
  12. ↑ 12,0 12,1 12,2 R. C. Hilborn. ``Einstein coefficients, cross sections, f values, dipole moments, and all that". Am. J. Phys. 50, 982-946 (1982), http://scitation.aip.org/vsearch/servlet/VerityServlet?KEY=AJPIAS&CURRENT=NO&ONLINE=YES&smode=strresults&sort=rel&maxdisp=25&threshold=0&pjournals=AJPIAS&pyears=2001%2C2000%2C1999&possible1=982&possible1zone=fpage&fromvolume=50&SMODE=strsearch&OUTLOG=NO&viewabs=AJPIAS&key=DISPLAY&docID=1&page=1&chapter=0
  13. ↑ 13,0 13,1 13,2 13,3 13,4 13,5 \bibitem{e2} A. Thorne, U. Litzen, S. Johansson. {\em Spectrophysics: principles and applications.} (Springer-Verlag, 1999)
  14. ↑ 14,0 14,1 H. Haken. {\em Laser Theory}. (Springer-Verlag, 1984)
  15. ↑ 15,0 15,1 P. W. Millobi, J. H. Eberly. {\em Lasers}. (John Wiley & Sons, 1988)
  16. ↑ J.-F. Bisson and D. Kouznetsov. Saturation Broadening and Kramers-Kronig Relations in Quasi-Three-Level Lasers". J. of Lightwave Techn.
  17. ↑ A.Thorne, U.Litzen, S.Johansson. Spectrophysics: principles and applications. (Springer-Verlag, 1999)
  18. ↑ H.Haken. {\em Laser Theory}. (Springer-Verlag, 1984)
  19. ↑ P.W.Millobi, J.H.Eberly. {\em Lasers}. (John Wiley \& Sons, 1988)
  20. ↑ J.-F.Bisson, D.Kouznetesov. Comments on "Study of the Complex Atomic Susceptibility of Erbium-Doped Fiber Amplifiers". Journal of Lightwave Technology, v. 26, No.4, p. 457-459 (2008) http://ieeexplore.ieee.org/search/wrapper.jsp?arnumber=4451260
  21. ↑ D.Kouznetsov. Broadband laser materials and the McCumber relation. Chinese Optics Letters, 2007, v.5, p.S240-S242 http://col.org.cn/abstract.aspx?id=COL05S1S240-3
Источник — «http://ru.wikisource.org/wiki/%D0%A8%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BB%D0%B0%D0%B7%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B8_%D0%B8_%D1%81%D0%BE%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D0%9A%D0%B0%D0%BC%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%B0_(%D0%9A%D1%83%D0%B7%D0%BD%D0%B5%D1%86%D0%BE%D0%B2)»
На других языках