Живая математика (Перельман)/Глава 1
| ← Оглавление | Живая математика — Глава 1 | Глава 2 → |
| Опубл.: 1934. Источник: Я. И. Перельман. Живая математика. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1967. — 160 с. |
ГЛАВА ПЕРВАЯ. Завтрак с головоломками[править]
1. Белка на поляне. — Сегодня утром я с белкой в прятки играл, — рассказывал во время завтрака один из собравшихся за столом дома отдыха. — Вы знаете в нашем лесу круглую полянку с одинокой берёзой посредине? За этим деревом и пряталась от меня белка. Выйдя из чащи на полянку, я сразу заметил беличью мордочку с живыми глазками, уставившуюся на меня из-за ствола. Осторожно, не приближаясь, стал я обходить по краю полянки, чтобы взглянуть на зверька. Раза четыре обошёл я дерево — но плутовка отступала по стволу в обратную сторону, по-прежнему показывая только мордочку. Так и не удалось мне обойти вокруг белки.
— Однако, — возразил кто-то, — сами же вы говорите, что четыре раза обошли вокруг дерева.
— Вокруг дерева, но не вокруг белки!
— Но белка-то на дереве?
— Что же из того?
— То, что вы кружились и вокруг белки.
— Хорошо кружился, если ни разу не видел её спинки.
— При чем тут спинка? Белка в центре, вы ходите по кругу, значит, ходите вокруг белки.
— Ничуть не значит. Вообразите, что я хожу около вас по кругу, а вы поворачиваетесь ко мне все время лицом, пряча спину. Скажете вы разве, что я кружусь вокруг вас?
— Конечно, скажу. Как же иначе?
— Кружусь, хотя не бываю позади вас, не вижу вашей спины?
— Далась вам спина! Вы замыкаете вокруг меня путь — вот в чем суть дела, а не в том, чтобы видеть спину.
— Позвольте: что значит кружиться вокруг чего-нибудь? По-моему, это означает только одно: становиться последовательно в такие места, чтобы видеть предмет со всех сторон. Ведь правильно, профессор? — обратился спорящий к сидевшему за столом старику.
— Спор идёт у вас в сущности о словах, — ответил учёный. — А в таких случаях надо начинать всегда с того, о чем вы сейчас только завели речь: надо договориться о значении слов. Как понимать слова: «двигаться вокруг предмета»? Смысл их может быть двоякий. Можно, во-первых, разуметь под ними перемещение по замкнутой линии, внутри которой находится предмет. Это одно понимание. Другое: двигаться по отношению к предмету так, чтобы видеть его со всех сторон. Держась первого понимания, вы должны признать, что четыре раза обошли вокруг белки. Придерживаясь же второго, — обязаны заключить, что не обошли вокруг неё ни разу. Поводов для спора здесь, как видите, нет, если обе стороны говорят на одном языке, понимают слова одинаково.
— Прекрасно, можно допустить двоякое понимание. Но какое все же правильнее?
— Так ставить вопрос не приходится. Уславливаться можно о чем угодно. Уместно только спросить, что более согласно с общепринятым пониманием. Я сказал бы, что лучше вяжется с духом языка первое понимание и вот почему. Солнце, как известно, делает полный оборот вокруг своей оси немного более, чем за 25 суток.
— Солнце вертится?
— Конечно, как и Земля вокруг оси. Вообразите, однако, что вращение Солнца совершается медленнее, а именно, что оно делает один оборот не в 25 суток, а в 365 ¼ суток, т. е. в год. Тогда Солнце было бы обращено к Земле всегда одной и той же своей стороной; противоположной половины, «спины» Солнца, мы никогда не видели бы. Но разве стал бы кто-нибудь утверждать из-за этого, что Земля не кружится вокруг Солнца?
— Да, теперь ясно, что я все-таки кружился вокруг белки.
— Есть предложение, товарищи! Не расходиться, — сказал один из слушавших спор. — Так как в дождь гулять никто не пойдёт, а перестанет дождик, видно, не скоро, то давайте проведём здесь время за головоломками. Начало сделано. Пусть каждый по очереди придумает или припомнит какую-нибудь головоломку. Вы же, профессор, явитесь нашим Верховным судьёй.
— Если головоломки будут с алгеброй или с геометрией, то я должна отказаться, — заявила молодая женщина.
— И я тоже, — присоединился кто-то.
— Нет, нет, участвовать должны все! А мы попросим присутствующих не привлекать ни алгебры, ни геометрии, разве только самые начатки. Возражений не имеется?
— Тогда я согласна и готова первая предложить головоломку.
— Прекрасно, просим! — донеслось с разных сторон. — Начинайте.
2. В общей кухне. — Головоломка моя зародилась в обстановке дачной квартиры. Задача, так сказать, бытовая. Жилица — назову её для удобства Тройкиной — положила в общую плиту 3 полена своих дров, жилица Пятеркина — 5 полен, жилец Бестопливный, у которого, как вы догадываетесь, не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседкам 8 копеек. Как должны они поделить между собой эту плату?
— Пополам, — поспешил заявить кто-то. Бестопливный пользовался их огнём в равной мере.
— Ну, нет, — возразил другой, — надо принять в соображение, как участвовали в этом огне дровяные вложения гражданок. Кто дал 3 полена, должен получить 3 копейки; кто дал 5 полен — получает 5 копеек. Вот это будет справедливый делёж.
— Товарищи, — взял слово тот, кто затеял игру и считался теперь председателем собрания. — Окончательные решения головоломок давайте пока не объявлять. Пусть каждый ещё подумает над ними. Правильные ответы судья огласит нам за ужином. Теперь следующий. Очередь за вами, товарищ пионер!
3. Работа школьных кружков.— В нашей школе, — начал пионер, — имеется 5 кружков: слесарный, столярный, фотографический, шахматный и хоровой. Слесарный кружок занимается через день, столярный — через 2 дня на 3-й, фотографический — каждый 4-й день, шахматный — каждый 5-й день и хоровой — каждый 6-й день. Первого января собрались в школе все 5 кружков, а затем занятия велись в назначенные по плану дни, без отступлений от расписания. Вопрос состоит в том, сколько в первом квартале было ещё вечеров, когда собирались в школе все 5 кружков.
— А год был простой или високосный? — осведомились у пионера.
Простой. — Значит, первый квартал, — январь, февраль, март, — надо считать за 90 дней?
— Очевидно.
— Позвольте к вопросу вашей головоломки присоединить ещё один, — сказал профессор.- А именно: сколько в том же квартале года было таких вечеров, когда кружковых занятий в школе вовсе не происходило?
— Ага, понимаю! — раздался возглас. — Задача с подвохом. Ни одного дня не будет больше с 5 кружками и ни одного дня без всяких кружков. Это уж ясно!
— Почему? — спросил председатель.
— Объяснить не могу, но чувствую, что отгадчика хотят поймать впросак.
— Ну, это не довод. Вечером выяснится, правильно ли ваше предчувствие. За вами очередь, товарищ!
4. Кто больше?— Двое считали в течение часа всех, кто проходил мимо них на тротуаре. Один стоял у ворот дома, другой прохаживался взад и вперёд по тротуару. Кто насчитал больше прохожих?
— Идя, больше насчитаешь, ясное дело, — донеслось с другого конца стола.
— Ответ узнаем за ужином, — объявил председатель. — Следующий!
5. Дед и внук. — То, о чем я скажу, происходило в 1932 г. Мне было тогда ровно столько лет, сколько выражают последние две цифры года моего рождения. Когда я об этом соотношении рассказал деду, он удивил меня заявлением, что с его возрастом выходит то же самое. Мне это показалось невозможным…
— Разумеется, невозможно, — вставил чей-то голос.
— Представьте, что вполне возможно. Дед доказал мне это. Сколько же лет было каждому из нас?
6. Железнодорожные билеты.— Я — железнодорожная кассирша, продаю билеты, — начала следующая участница игры. — Многим это кажется очень простым делом. Не подозревают, с каким большим числом билетов приходится иметь дело кассиру даже маленькой станции. Ведь необходимо, чтобы пассажиры могли получить билеты от данной станции до любой другой на той же дороге, притом в обоих направлениях. Я служу на дороге с 25 станциями. Сколько же, по-вашему, различных образцов билетов заготовлено железной дорогой для всех её касс?
— Ваша очередь, товарищ лётчик, — провозгласил председатель.
7. Полет вертолёта.— Из Ленинграда вылетел прямо на север вертолёт. Пролетев в северном направлении 500 км, он повернул на восток. Пролетев в эту сторону 500 км, вертолёт сделал новый поворот — на юг и прошёл в южном направлении 500 км. Затем он повернул на запад и, пролетев 500 км, опустился. Спрашивается: где расположено место спуска вертолёта относительно Ленинграда — к западу, к востоку, к северу или к югу?
— На простака рассчитываете, — сказал кто-то: — 500 шагов вперёд, 500 вправо, 500 назад да 500 влево — куда придём? Откуда вышли, туда и придём!
— Итак, где по-вашему спустился вертолёт?
— На том же ленинградском аэродроме, откуда поднялся. Не так разве?
— Именно не так.
— В таком случае я ничего не понимаю!
— В самом деле, здесь что-то неладно, — вступил в разговор сосед. — Разве вертолёт спустился не в Ленинграде?.. Нельзя ли повторить задачу?
Лётчик охотно исполнил просьбу. Его внимательно выслушали и с недоумением переглянулись.
— Ладно, — объявил председатель. — До ужина успеем подумать об этой задаче, а сейчас будем продолжать.
8. Тень.— Позвольте мне, — сказал очередной загадчик, — взять сюжетом головоломки тот же вертолёт. Что шире: вертолёт или его полная тень?
— В этом и вся головоломка?
— Вся.
Тень, конечно, шире вертолёта: ведь лучи солнца расходятся веером, — последовало сразу решение.
— Я бы сказал, — возразил кто-то, — что, напротив, лучи солнца параллельны; тень и вертолёт одной ширины.
— Что вы? Разве не случалось вам видеть расходящиеся лучи от спрятанного за облаком солнца? Тогда можно воочию убедиться, как сильно расходятся солнечные лучи. Тень вертолёта должна быть значительно больше вертолёта, как тень облака больше самого облака.
— Почему же обычно принимают, что лучи солнца параллельны? Моряки, астрономы — все так считают…
Председатель не дал спору разгореться и предоставил слово следующему загадчику.
9. Задача со спичками. Очередной оратор высыпал на стол все спички из коробка и стал распределять их в три кучки.
— Костёр собираетесь раскладывать? — шутили слушатели.
— Головоломка, — объяснил загадчик, — будет со спичками. Вот их три неравные кучки. Во всех вместе 48 штук. Сколько в каждой, я вам не сообщаю. Зато отметьте следующее: если из первой кучи я переложу во вторую столько спичек, сколько в этой второй куче имелось, затем из второй в третью переложу столько, сколько в этой третьей перед тем будет находиться, и, наконец, из третьей переложу в первую столько спичек, сколько в этой первой куче будет тогда иметься, — если, говорю, все это проделать, то число спичек во всех кучках станет одинаково. Сколько же было в каждой кучке первоначально?
10. Коварный пень. — Головоломка эта, — начал сосед последнего загадчика, — напоминает задачу, которую давно как-то задал мне деревенский математик. Это был целый рассказ, довольно забавный. Повстречал крестьянин в лесу незнакомого старика. Разговорились. Старик внимательно оглядел крестьянина и сказал:
— Известен мне в леску этом пенёчек один удивительный. Очень в нужде помогает.
— Как помогает? Вылечивает?
— Лечить не лечит, а деньги удваивает. Положишь под него кошель с деньгами, досчитаешь до ста — и готово: деньги, какие были в кошельке, удвоились. Такое свойство имеет. Замечательный пень!
— Вот бы мне испробовать, — мечтательно сказал крестьянин.
— Это можно. Отчего же? Заплатить только надо.
— Кому платить? И много ли?
— Тому платить, кто дорогу укажет. Мне, значит. А много ли, о том особый разговор.
Стали торговаться. Узнав, что у крестьянина в кошельке денег мало, старик согласился получать после каждого удвоения по 1 р. 20 к. На том и порешили.
Старик повёл крестьянина в глубь леса, долго бродил с ним и, наконец, разыскал в кустах старый, покрытый мохом еловый пень. Взяв из рук крестьянина кошелёк, он засунул его между корнями пня. Досчитали до ста. Старик снова стал шарить и возиться у основания пня, наконец извлёк оттуда кошелёк и подал крестьянину.
Заглянул крестьянин в кошелёк и что же? — деньги в самом деле удвоились! Отсчитал из них старику обещанные 1 р. 20 к. и попросил засунуть кошелёк вторично под чудодейственный пень. Снова досчитали до ста, снова старик стал возиться в кустах у пня, и снова совершилось диво: деньги в кошельке удвоились. Старик вторично получил из кошелька обусловленные 1 р. 20 к.
В третий раз спрятали кошель под пень. Деньги удвоились и на этот раз. Но когда крестьянин уплатил старику обещанное вознаграждение, в кошельке не осталось больше ни одной копейки. Бедняга потерял на этой комбинации все свои деньги. Удваивать дальше было уже нечего, и крестьянин уныло побрёл из лесу.
Секрет волшебного удвоения денег вам, конечно, ясен: старик не даром, отыскивая кошелёк, мешкал в зарослях у пня. Но можете ли вы ответить на другой вопрос: сколько было у крестьянина денег до злополучных опытов с коварным пнём?
11. Задача о декабре.— Я, товарищи, языковед, от всякой математики далёк, — начал пожилой человек, которому пришёл черёд задавать головоломку. — Не ждите от меня поэтому математической задачи. Могу только предложить вопрос из знакомой мне области. Разрешите задать календарную головоломку?
— Просим!
— Двенадцатый месяц называется у нас «декабрь». А вы знаете, что собственно значит «декабрь»? Слово это происходит от греческого слова «дека» — десять, отсюда также слово «декалитр» — десять литров, «декада» — десять дней и др. Выходит, что месяц декабрь носит название «десятый». Чем объяснить такое несоответствие?
— Ну теперь осталась только одна головоломка, — произнёс председатель.
12. Арифметический фокус.— Мне приходится выступать последним, двенадцатым. Для разнообразия покажу вам арифметический фокус и попрошу раскрыть его секрет. Пусть кто-нибудь из вас, хотя бы вы, товарищ председатель, напишет на бумажке, тайно от меня, любое трёхзначное число.
— Могут быть и нули в этом числе?
— Не ставлю никаких ограничений. Любое трёхзначное число, какое пожелаете.
— Написал. Что теперь?
— Припишите к нему это же число ещё раз. У вас получится, конечно, шестизначное число.
— Есть. Шестизначное число.
— Передайте бумажку соседу, что сидит подальше от меня. А он пусть разделит это шестизначное число на семь.
— Легко сказать: разделить на семь! Может и не разделится.
— Не беспокойтесь, поделится без остатка.
— Числа не знаете, а уверены, что поделится.
— Сначала разделите, потом будем говорить.
— На ваше счастье разделилось.
— Результат вручите своему соседу, не сообщая мне. Он разделит его на 11.
— Думаете опять повезёт — разделится?
— Делите, остатка не получится.
— В самом деле без остатка! Теперь что?
— Передайте результат дальше. Разделим его… ну, скажем, на 13.
— Нехорошо выбрали. Без остатка на 13 мало чисел делится… Ан, нет, разделилось нацело. Везёт же вам!
— Дайте мне бумажку с результатом; только сложите её, чтобы я не видел числа.
Не развёртывая листа бумаги, «фокусник» вручил его председателю.
— Извольте получить задуманное вами число. Правильно?
— Совершенно верно! — с удивлением ответил тот, взглянув на бумажку. — Именно это я и задумал… теперь, так как список ораторов исчерпан, позвольте закрыть наше собрание, благо и дождь успел пройти. Разгадки всех головоломок будут оглашены сегодня же, после ужина. Записки с решениями можете подавать мне.
РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 1-12[править]
1. Головоломка с белкой на поляне рассмотрена была полностью раньше. Переходим к следующей.
2. Нельзя считать, как многие делают, что 8 копеек уплачено за 8 полен, по 1 копейке за полено. Деньги эти уплачены только за третью часть от 8 полен, потому что огнём пользовались трое в одинаковой мере. Отсюда следует, что все 8 полен оценены были в 8×3, т. е. в 24 к., и цена одного полена — 3 копейки.
Теперь легко сообразить, сколько причитается каждому. Пятеркиной за её 5 полен следует 15 копеек; но она сама воспользовалась плитой на 8 копеек; значит, ей остаётся дополучить ещё 15-8, т. е. 7 копеек. Тройкина за три свои полена должна получить 9 копеек, а если вычесть 8 копеек, причитающихся с неё за пользование плитой, то следовать ей будет всего только 9-8, т. е. 1 копейка.
Итак, при правильном дележе Пятеркина должна получить 7 копеек, Тройкина — 1 копейку.
3. На первый вопрос — через сколько дней в школе соберутся одновременно все 5 кружков — мы легко ответим, если сумеем разыскать наименьшее из всех чисел, которое делится без остатка на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6. Нетрудно сообразить, что число это 60. Значит, на 61-й день соберётся снова 5 кружков: слесарный — через 30 двухдневных промежутков, столярный — через 20 трёхдневных, фотокружок — через 15 четырёхдневных, шахматный — через 12 пятидневок и хоровой — через 10 шестидневок. Раньше чем через 60 дней такого вечера не будет. Следующий подобный же вечер будет ещё через 60 дней, т. е. уже во втором квартале.
Итак, в течение первого квартала окажется только один вечер, когда в клубе снова соберутся для занятий все 5 кружков.
Хлопотливее найти ответ на второй вопрос задачи: сколько будет вечеров, свободных от кружковых занятий? Чтобы разыскать такие дни, надо выписать по порядку все числа от 1 до 90 и зачеркнуть в этом ряду дни работы слесарного кружка, т. е. числа 1, 3, 5, 7, 9 и т. д. Потом зачеркнуть дни работы столярного кружка: 4-й, 7-й, 10-й, п т. д. После того как зачеркнём затем дни занятий фотокружка, шахматного и хорового, у нас останутся незачёркнутыми те дни первого квартала, когда ни один кружок не работал.
Кто проделает эту работу, тот убедится, что вечеров, свободных от занятий, в течение первого квартала будет довольно много: 24. В январе их 8, а именно: 2-го, 8-го, 12-го, 14-го, 18-го, 20-го, 24-го и 30-го. В феврале насчитывается 7 таких дней, в марте — 9.
4. Оба насчитали одинаковое число прохожих. Хотя тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе стороны, зато тот, кто ходил, видел вдвое больше встречных людей.
Можно рассуждать и иначе. Когда тот из считавших, который прохаживался по тротуару, первый раз возвратился к своему стоявшему товарищу, они насчитали одинаковое число прохожих — всякий, прошедший мимо стоявшего, попался (на том или на обратном пути) и прохаживавшемуся (и наоборот). И каждый раз, возвращаясь к своему стоявшему товарищу, гулявший насчитывал такое же число прохожих. То же было и в конце часа, когда они последний раз встретились и сообщили друг другу результаты подсчётов.
5. С первого взгляда может действительно показаться, что задача неправильно составлена: выходит как будто, что внук и дед одного возраста. Однако, требование задачи, как сейчас увидим, легко удовлетворяется.
Внук, очевидно, родился в XX столетии. Первые две цифры года его рождения, следовательно, 19: таково число сотен. Число, выражаемое остальными цифрами, будучи сложено с самим собою, должно составить 32. Значит, это число 16: год рождения внука 1916, и ему в 1932 г. было 16 лет.
Дед его родился, конечно, в XIX столетии; первые две Цифры года его рождения 18. Удвоенное число, выражаемое остальными цифрами, должно составить 132. Значит, само это число равно половине 132, т. е. 66. Дед родился в 1866 г. и ему в 1932 году было 66 лет. Таким образом, и внуку и деду в 1932 г. было столько лет. сколько выражают последние две цифры годов их рождения.
6. На каждой из 25 станций пассажиры могут требовать билет до любой станции, т. е. на 24 пункта. Значит, разных билетов надо напечатать 25×24=600 образцов.
Если же пассажиры могут приобретать не только прямые билеты («туда»), но, при желании, и обратные («туда-обратно»), то число образцов билетов возрастёт ещё вдвое, т. е. их потребуется 1200.
7. Задача эта никакого противоречия не содержит. Не следует думать, что вертолёт летел по контуру квадрата:
надо принять в расчёт шарообразную форму Земли. Дело в том, что меридианы к северу сближаются (рис. 3); поэтому, пройдя 500 км по параллельному кругу, расположенному на 500 км севернее широты Ленинграда, вертолёт отошёл к востоку на большее число градусов, чем пролетел потом в обратном направлении, очутившись снова на широте Ленинграда. В результате вертолёт, закончив полет, оказался восточнее Ленинграда.
На сколько именно? Это можно рассчитать. На рис. 3 вы видите маршрут вертолёта: ABCDE. Точка N — северный полюс; в этой точке сходятся меридианы AB и BC. Вертолёт пролетел сначала 500 км на север, т. е. по меридиану AN. Так как длина градуса меридиана 111 км, то дуга меридиана в 500 км содержит 500 : 111 ≈ 4°,5. Ленинград лежит на 60-й параллели; значит, точка B находится на широте 60°+4°,5=64°,5. Затем вертолёт летел к востоку, т. е. по параллели BC, и прошёл по ней 500 км. Длину одного градуса на этой параллели можно вычислить (или узнать из таблиц); она равна примерно 48 км. Отсюда легко определить, сколько градусов пролетел вертолёт на восток: 500 : 48 ≈ 10°,4. Далее вертолёт летел в южном направлении, т. е. по меридиану CD и, пройдя 500 км, должен был очутиться снова на параллели Ленинграда. Теперь путь лежит на запад, т. е. по AB; 500 км этого пути явно короче расстояния AD. В расстоянии AB заключается столько же градусов, сколько и в BC, т. е. 10°,4. Но длина 1° на ширине 60° примерно равна 55,5 км. Следовательно, между A и B расстояние равно 55,5×10,4 ≈ 577 км. Мы видим, что вертолёт не мог спуститься в Ленинграде; он не долетел до него 77 км, т. е. оказался над Ладожским озером и мог опуститься только на воду.
8. Беседовавшие об этой задаче допустили ряд ошибок. Неверно, что лучи солнца, падающие на земной шар, заметно расходятся. Земля так мала по сравнению с расстоянием её от солнца, что солнечные лучи, падающие на какую-либо часть её поверхности, расходятся на неуловимо малый угол: практически лучи эти можно считать параллельными. То, что мы видим иногда (при так называемом «иззаоблачном сиянии») лучи солнца, расходящиеся веером, — не более, как следствие перспективы.
В перспективе параллельные линии представляются сходящимися; вспомните вид уходящих вдаль рельсов или вид длинной аллеи.
Однако, из того, что лучи солнца падают на землю параллельным пучком, вовсе не следует, что полная тень вертолёта равна по ширине самому вертолёту. Взглянув на рис. 4, вы поймёте, что полная тень вертолёта в пространстве суживается по направлению к земле, и что, следовательно, тень, отбрасываемая им на земную поверхность, должна быть уже самого вертолёта: CB меньше чем AB.
Если знать высоту вертолёта, то можно вычислить и то, как велика эта разница. Пусть вертолёт летит на высоте 100 м над земной поверхностью. Угол, составляемый прямыми AC и BD между собою, равен тому углу, под которым усматривается солнце с земли; угол этот известен: около 1/2°. С другой стороны, известно, что всякий предмет, видимый под углом в 1/2°, удалён от глаза на 115 своих поперечников. Значит, отрезок MN (этот отрезок усматривается с земной поверхности под углом в 1/2°) должен составлять 115-ю долю от AC. Величина АС больше отвесного расстояния от A до земной поверхности. Если угол между направлением солнечных лучей и земной поверхностью равен 45°, то AC (при высоте вертолёта 100 м) составляет около 140 м, и, следовательно, отрезок MN равен 140/115 ≈ 1,2 м.
Но избыток ширины вертолёта над шириною тени, т. е. отрезок MB, больше MN, а именно больше в 1,4 раза, потому что угол MBD почти точно равен 45°. Следовательно, MB равно 1,2×1,4; это даёт почти 1,7 м.
Все сказанное относится к полной тени вертолёта — чёрной и резкой, и не имеет отношения к так называемой полутени, слабой и размытой.
Расчёт наш показывает, между прочим, что будь на месте вертолёта небольшой шар-зонд, диаметром меньше 1,7 м, он не отбрасывал бы вовсе полной тени; видна была бы только его смутная полутень.
9. Задачу решают с конца. Будем исходить из того, что после всех перекладываний число спичек в кучках сделалось одинаковым. Так как от этих перекладываний общее число спичек не изменилось, осталось прежнее (48), то в каждой кучке к концу всех перекладываний оказалось 16 штук.
Итак, имеем в самом конце:
| 1-я кучка | 2-я кучка | 3-я кучка |
| 16 | 16 | 16 |
Непосредственно перед этим в 1-ю кучку было прибавлено столько спичек, сколько в ней имелось; иначе говоря, число спичек в ней было удвоено. Значит, до последнего перекладывания в 1-й кучке было не 16, а только 8 спичек. В кучке же 3-й, из которой 8 спичек было взято, имелось перед тем 16+8=24 спички.
Теперь у нас такое распределение спичек по кучкам:
| 1-я кучка | 2-я кучка | 3-я кучка |
| 8 | 16 | 24 |
Далее: мы знаем, что перед этим из 2-й кучки было переложено в 3-то столько спичек, сколько имелось в 3-й кучке. Значит 24 — это удвоенное число спичек, бывших в 3-й кучке до этого перекладывания. Отсюда узнаем распределение спичек после первого перекладывания:
| 1-я кучка | 2-я кучка | 3-я кучка |
| 8 | 16+12=28 | 12 |
Легко сообразить, что раньше первого перекладывания (т. е. до того как из 1-й кучки переложено было во 2-ю столько спичек, сколько в этой 2-й имелось) — распределение спичек было таково:
| 1-я кучка | 2-я кучка | 3-я кучка |
| 22 | 14 | 12 |
Таковы первоначальные числа спичек в кучках.
10. Эту головоломку также проще решить с конца. Мы знаем, что после третьего удвоения в кошельке оказалось 1 р. 20 к. (деньги эти получил старик в последний раз). Сколько же было до этого удвоения? Конечно, 60 к. Остались эти 60 к. после уплаты старику вторых 1 р. 20 к., а до уплаты было в кошельке 1 р. 20 к. + 60 к. = 1 р. 80 к.
Далее: 1 р. 80 к. оказались в кошельке после в т о р о г о удвоения; до того было всего 90 к., оставшихся после уплаты старику первых 1 р. 20 к. Отсюда узнаем, что до уплаты находилось в кошельке 90 к. + 1 р. 20 к. = 2 р. 10 к. Столько денег имелось в кошельке после первого удвоения; раньше же было вдвое меньше — 1 р. 05 к. Это и есть те деньги, с которыми крестьянин приступил к своим неудачным финансовым операциям.
Проверим ответ.
| после 1-го удвоения | 1р. 5к. | × | 2 = 2р. 10к. |
| после 1-й уплаты | 2р. 10к. | — | 1р. 20к. = 90к. |
| после 2-го удвоения | 90к. | × | 2 = 1р. 80к. |
| после 2-й уплаты | 1р. 80к. | — | 1р. 20к. = 60к. |
| после 3-го удвоения | 60к. | × | 2 = 1р. 20к. |
| после 2-й уплаты | 1р. 20к. | — | 1р. 20к. = 0 |
11. Наш календарь ведёт своё начало от календаря древних римлян. Римляне же (до Юлия Цезаря) считали началом года не 1 января, а 1 марта. Декабрь тогда был, следовательно, десятый месяц. С перенесением начала года на 1 января, названия месяцев изменены не были. Отсюда и произошло то несоответствие между названием и порядковым номером, которое существует теперь для ряда месяцев.
| Название месяца | Смысл названия | Порядковый номер |
| Сентябрь | седьмой | 9 |
| Октябрь | восьмой | 10 |
| Ноябрь | девятый | 11 |
| Декабрь | десятый | 12 |
12. Проследим за тем, что проделано было с задуманным числом. Прежде всего к нему приписали взятое трёхзначное число ещё раз. Это то же самое, что приписать три нуля и прибавить затем первоначальное число; например:
Теперь ясно, что собственно проделано было с числом: его увеличили в 1000 раз и, кроме того, прибавили его самого; короче сказать — умножили число на 1001.
Что же сделано было потом с этим произведением? Его разделили последовательно на 7, на 11 и на 13. В конечном итоге, значит, разделили его на 7×11×13, т. е. на 1001.
Итак, задуманное число сначала умножили на 1001, потом разделили на 1001. Надо ли удивляться, что в результате получилось то же самое число?
*
Прежде чем закончить главу о головоломках в доме отдыха, расскажу ещё о трёх арифметических фокусах, которыми вы можете занять досуг ваших товарищей. Два состоят в отгадывании чисел, третий — в отгадывании владельцев вещей.
Это — старые, быть может даже и известные вам фокусы, но едва ли все знают, на чем они основаны. А без знания теоретической основы фокуса нельзя сознательно и уверенно его выполнять. Обоснование первых двух фокусов потребует от нас весьма скромной и ничуть не утомительной экскурсии в область начальной алгебры.
13. Зачёркнутая цифра. Пусть товарищ ваш задумает какое-нибудь многозначное число, например, 847. Предложите ему найти сумму цифр этого числа 8+4+7)=19 и отнять её от задуманного числа. У загадчика окажется:
В том числе, которое получится, пусть он зачеркнёт одну цифру — безразлично какую, и сообщит вам все остальные. Вы немедленно называете ему зачёркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось.
Как можете вы это выполнить и в чем разгадка фокуса?
Выполняется это очень просто: подыскивается такая цифра, которая вместе с суммою вам сообщённых цифр составила бы ближайшее число, делящееся на 9 без остатка. Если, например, в числе 828 была зачёркнута первая цифра (8) и вам сообщены цифры 2 и 8, то, сложив 2+8, вы соображаете, что до ближайшего числа, делящегося на 9, т. е. до 18 — не хватает 8. Это и есть зачёркнутая цифра.
Почему так получается? Потому что если от какого-либо числа отнять сумму его цифр, то должно остаться число, делящееся на 9, — иначе говоря, такое, сумма цифр которого делится на 9. В самом деле, пусть в задуманном числе a — цифра сотен, b — цифра десятков и c — цифра единиц. Значит, всего в этом числе содержится единиц
Отнимаем от этого числа сумму его цифр a+b+c. Получим —
Но 9(11a + b), конечно, делится на 9; значит, при вычитании из числа суммы его цифр всегда должно получиться число, делящееся на 9 без остатка.
При выполнении фокуса может случиться, что сумма сообщённых вам цифр сама делится на 9 (например, 4 и 5). Это показывает, что зачёркнутая цифра есть либо 0, либо 9. Так вы и должны ответить: 0 или 9.
Вот видоизменение того же фокуса: вместо того чтобы из задуманного числа вычитать сумму его цифр, можно вычесть число, полученное из данного какой-либо перестановкой его цифр. Например, из числа 8247 можно вычесть 2748 (если получается число, большее задуманного, то вычитают меньшее из большего). Дальше поступают, как раньше сказано: 8247-2748=5499; если зачёркнута цифра 4, то, зная цифры 5, 9, 9, вы соображаете, что ближайшее к 5+9+9, т. е. 23, число, делящееся на 9, есть 27. Значит зачёркнутая цифра 27-23=4.
14. Отгадать число, ничего не спрашивая. Вы предлагаете товарищу задумать любое трёхзначное число, не оканчивающееся нулём (но такое, чтобы разница между крайними цифрами была не меньше 2), и просите затем переставить цифры в обратном порядке. Сделав это, он должен вычесть меньшее число из большего и полученную разность сложить с нею же, но написанною в обратной последовательности цифр. Ничего не спрашивая у загадчика, вы сообщаете ему число, которое у него получилось в конечном итоге.
Если, например, было задумано 467, то загадчик должен выполнить следующие действия:
764—467 = 279;
Этот окончательный результат — 1089 вы и объявляете загадчику. Как вы можете его узнать?
Рассмотрим задачу в общем виде. Возьмём число с цифрами a, b, c, причём a больше чем c по крайней мере на две единицы. Оно изобразится так:
Число с обратным расположением цифр имеет вид:
Разность между первым и вторым равна:
Делаем следующие преобразования:
Значит, разность состоит из следующих трёх цифр:
| цифра сотен: a — c — 1, |
| цифра десятков: 9, |
| цифра единиц: 10 + c — a. |
Число с обратным расположением цифр изображается так:
Сложив оба выражения
| + | 100 (a-c-1) | + | 90 | + | (10-a+c) |
| 100 (10+c-a) | + | 90 | + | (а-с-1) |
получаем
Итак, независимо от выбора цифр a, b и c всегда получается одно и то же число: 1089. Нетрудно поэтому отгадать результат этих вычислений: вы знали его заранее.
Понятно, что показывать этот фокус одному лицу дважды нельзя — секрет будет раскрыт.
15. Кто что взял? Для выполнения этого остроумного фокуса необходимо приготовить три какие-нибудь мелкие вещицы, удобно помещающиеся в кармане, например — карандаш, ключ и перочинный ножик. Кроме того, поставьте на стол тарелку с 24 орехами; за неимением орехов годятся шашки, кости домино, спички и т. п. Троим товарищам вы предлагаете во время вашего отсутствия спрятать в карман карандаш, ключ или ножик, кто какую вещь хочет. Вы берётесь отгадать, в чьём кармане какая вещь.
Процедура отгадывания проводится так. Возвратившись в комнату после того, как вещи спрятаны по карманам товарищей, вы начинаете с того, что вручаете им на сохранение орехи из тарелки. Первому даёте один орех, второму — два, третьему — три. Затем снова удаляетесь из комнаты, оставив товарищам следующую инструкцию. Каждый должен взять себе из тарелки ещё орехов, а именно: обладатель карандаша берет столько орехов, сколько ему было вручено; обладатель ключа берёт вдвое больше того числа орехов, какое ему было вручено; обладатель ножа берет вчетверо больше того числа орехов, какое ему было вручено.
Прочие орехи остаются на тарелке.
Когда все это проделано и вам дан сигнал возвратиться, вы, входя в комнату, бросаете взгляд на тарелку и объявляете, у кого в кармане какая вещь.
Фокус тем более озадачивает, что выполняется без участия тайного сообщника, подающего вам незаметные сигналы. В нем нет никакого обмана: он целиком основан на арифметическом расчёте. Вы разыскиваете обладателя каждой вещи единственно лишь по числу оставшихся орехов. Остаётся их на тарелке немного — от 1 до 7, и счесть их можно одним взглядом. Как же, однако, узнать по остатку орехов, кто взял какую вещь?
Очень просто: каждому случаю распределения вещей между товарищами отвечает иное число остающихся орехов. Мы сейчас в этом убедимся.
Пусть имена ваших товарищей, получивших один, два, три ореха, соответственно Владимир, Георгий, Константин; обозначим их начальными буквами: В, Г, К. Вещи также обозначим буквами: карандаш — a, ключ — b, нож — c. Как могут три вещи распределиться между тремя обладателями? Шестью способами.
| В | Г | К |
|---|---|---|
| a | b | c |
| a | c | b |
| b | a | c |
| b | c | a |
| c | a | b |
| c | b | a |
Других случаев, очевидно, быть не может; наша табличка систематически исчерпывает все комбинации.
Посмотрим теперь, какие остатки из этих 6 случаев:
| ВГК | Число взятых орехов | Итого | Остаток | ||
|---|---|---|---|---|---|
| abc | 1+1=2; | 2+4=6; | 3+12=15; | 23 | 1 |
| acb | 1+1=2; | 2+8=10; | 3+6=9; | 21 | 3 |
| bac | 1+2=3; | 2+2=4; | 3+12=15; | 22 | 2 |
| bca | 1+2=3; | 2+8=10; | 3+3=6; | 19 | 5 |
| cab | 1+4=5; | 2+2=4; | 3+6=9; | 18 | 6 |
| cba | 1+4=5; | 2+4=6; | 3+3=6; | 17 | 7 |
Вы видите, что остаток орехов во всех случаях различен. Поэтому, зная остаток, вы легко устанавливаете, каково распределение вещей между вашими товарищами. Вы снова — в третий раз — удаляетесь из комнаты и заглядываете там в свою записную книжку, где записана сейчас воспроизведённая табличка (собственно нужны вам только первая и последняя графы); запомнить её наизусть трудно, да и нет надобности. Табличка скажет вам, в чьём кармане какая вещь. Если, например, на тарелке осталось 5 орехов, то это означает (случай b, c, a) что
- ключ — у Владимира,
- нож — у Георгия,
- карандаш — у Константина.
Чтобы фокус удался, вы должны твёрдо помнить, сколько орехов вы дали каждому товарищу (раздавайте орехи поэтому всегда по алфавиту, как и было сделано в нашем случае).