Быстрый счёт (Перельман)

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск

Быстрый счёт (Тридцать простых приемов
 устного счета)
автор Яков Исидорович Перельман
Опубл.: 1941. Источник: Отсканированные страницы


[1]


ДОМ ЗАНИМАТЕЛЬНОЙ НАУКИ

БЫСТРЫЙ СЧЕТ
Тридцать простых приемов

устного счета
Составил

Я. И. ПЕРЕЛЬМАН
Ленинград.
1941


[2]
От составителя

В настоящее время в продаже нет
 руководств, содержащих наставления к
 быстрому выполнению счетных операций
 в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета. Они рассчитаны на
 средние способности и имеют в виду не
 публичные выступления на эстраде, а
 потребности повседневной жизни. Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями
 предполагает не механическое, а вполне
 сознательное распоряжение приемами
 и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив
 рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.



Отв. редактор В. А. Камский. Техн. ред. А. Я. Барвиш

М 18609 1/4 печ. листа. Тираж 5 000.
4-я тип. Лениздата им. Григорьева 4021
[3]
Умножение на однозначное число

§ 1. Чтобы устно умножить число на
 однозначный множитель (например, 27 × 8),
 выполняют действие, начиная с умножения
 не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20 × 8 = 160), затем единицы
 (7 × 8 = 56) и оба результата складывают.

Еще примеры:

34 × 7 = 30 × 7 + 4 × 7 = 210 + 28 = 238

47 × 6 = 40 × 6 + 7 × 6 = 240 + 42 = 282


§ 2. Полезно знать на память таблицу
 умножения до 19 × 9:

2 3 4 5 6 7 8 9
11 22 33 44 55 66 77 88 99
12 24 36 48 60 72 84 96 108
13 26 39 52 65 78 91 104 117
14 28 42 56 70 84 98 112 126
15 30 45 60 75 90 105 120 135
16 32 48 64 80 96 112 128 144
17 34 51 68 85 102 119 136 153
18 36 54 72 90 108 126 144 162
19 38 57 76 95 114 133 152 171

Зная эту таблицу, можно умножение
 например, 147 × 8 выполнить в уме так:


147 × 8 = 140 × 8 + 7 × 8 = 1120 + 56 = 1176


§ 3. Когда одно из умножаемых чисел
 разлагается на однозначные множители,
 удобно бывает последовательно умножать
 на эти множители. Например:

225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3 = 1350
[4]
Умножение на двузначное число

§ 4. Умножение на двузначное число
 стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.

Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют
 действие, как указано в § 1. Например:

6 × 28 = 28 × 6 = 120 + 48 = 168

§ 5. Если оба множителя двузначные,
 мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:

29 × 12 = 29 × 10 + 29 × 2 = 290 + 58 = 348
41 × 16 = 41 × 10 + 41 × 6 = 410 + 246 = 656
(или 41 × 16 = 16 × 41 = 16 × 40 + 16 =
 640 + 16 = 656)

Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.

§ 6. Если множимое или множитель
 легко разложить в уме на однозначные
 числа (напр., 14 = 2 × 7), то пользуются
 этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз
 (ср. § 3). Например:

45 × 14 = 90 × 7 = 630
[5]
Умножение на 4 и на 8

§ 7. Чтобы устно умножить число на
 4, его дважды удваивают. Например:

112 × 4 = 224 × 2 = 448

335 × 4 = 670 × 2 = 1340

§ 8. Чтобы устно умножить число на
 8, его трижды удваивают. Например:

217 × 8 = 434 × 4 = 868 × 2 = 1736

(Еще удобнее: 217 × 8 = 200 × 8 +
 17 × 8 = 1600 × 13 = 1736).

Деление на 4 и на 8

§ 9. Чтобы устно разделить число на
 4, его дважды делят пополам. Например:

76 : 4 = 38 : 2 = 19

236 : 4 = 118 : 2 = 59

§ 10. Чтобы устно разделить число на
 8, его трижды делят пополам. Например:

464 : 8 = 232 : 4 = 116 : 2 = 58

516 : 8 = 258 : 4 = 129 : 2 = 641/2
[6]
Умножение на 5 и на 25

§ 11. Чтобы устно умножить число на
 5, умножают его на 10/2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:

74 × 5 = 740 : 2 = 370

243 × 5 = 2430 : 2 = 1215

При умножении на 5 числа четного
 удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:

74 × 5 = 74/2 × 10 = 370

§ 12. Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100/4, т. е. — если число кратно 4-х — делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:

72 × 25 = 72/4 × 100 = 1800

Если же число при делении на 4 дает
 остаток, то

при приписывают
остатке: к частному
1 25
2 50
3 75

Основание приема ясно из того, что


100 : 4 = 25; 200 : 4 = 50; 300 : 4 = 75
[7]
Умножение на 11/2, на 11/4, на 21/2, на 3/4

§ 13. Чтобы устно умножить число на
 11/2 прибавляют к множимому его половину. Например:

34 × 11/2 = 34 + 17 = 51

23 × 11/2 = 23 + 111/2 = 341/2 (или 34,5)

§ 14. Чтобы устно умножить число на
 11/4, прибавляют к множимому его четверть. Например:

48 × 11/4 = 48 + 12 = 60

58 × 11/4 = 58 + 141/2 = 721/2 или (72,5)

§ 15. Чтобы устно умножить число на
 21/2, к удвоенному числу прибавляют половину множимого. Например:

18 × 21/2 = 36 + 9 = 45

39 × 21/2 = 78 + 191/2 = 971/2 (или 97,5)


Другой способ состоит в умножении
 на 5 и делении пополам:

18 × 21/2 = 90 : 2 = 45

§ 16. Чтобы устно умножить число на
 3/4 (т. е. чтобы найти 3/4 этого числа),
 умножают число на 11/2 и делят пополам.
 Например:

30 × 3/4 = 30 + 15/2 = 221/2 (или 22,5)
Видоизменение способа состоит в том, что
 от множимого отнимают его четверть или
 к половине множимого прибавляют половину этой половины. [8]
Умножение на 15, на 125, на 75

§ 17. Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 11/2 (потому что
 10 × 11/2 = 15). Например:

18 × 15 = 18 × 11/2 × 10 = 270

45 × 15 = 450 + 225 = 675

§ 18. Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 11/4 (потому что
 100 × 11/4 = 125). Например:

26 × 125 = 26 × 100 × 11/4 = 2600 + 650 = 3250
47 × 125 = 47 × 100 × 11/4 = 4700 + 4700/4 = 4700 + 1175 = 5875

§ 19. Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/4 (потому что
 100 × 3/4 = 75). Например:

18 × 75 = 18 × 100 × 3/4 = 1800 × 3/4 = 1800 + 900/2 = 1350

Примечание. Некоторые из
 приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6:

18 × 15 = 90 × 3 = 270

26 × 125 = 130 × 25 = 3250
[9]
Умножение на 9 и на 11

§ 20. Чтобы устно умножить число на
 9, приписывают к нему ноль и отнимают
 множимое. Например:

62 × 9 = 620 — 62 = 600 — 42 = 558

73 × 9 = 730 — 73 = 700 — 43 = 657

§ 21. Чтобы устно умножить число на
 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:

87 × 11 = 870 + 87 = 957
Деление на 5, на 11/2, на 15

§ 22. Чтобы устно разделить число на
 5, отделяют запятой в удвоенном числе последнюю цифру. Например:

68 : 5 = 136/10 = 13,6

237 : 5 = 474/10 = 47,4

§ 23. Чтобы устно разделить число на
 11/2, делят удвоенное число на 3. Например:


36 : 11/2 = 72 : 3 = 24

53 : 11/2 = 106 : 3 = 351/3

§ 24. Чтобы устно разделить число на
 15, делят удвоенное число на 30. Например:


240 : 15 = 480 : 30 = 48 : 3 = 16

462 : 15 = 924 : 30 = 3024/30 = 304/5 = 30,8

(или 924 : 30 = 308 : 10 = 30,8)
[10]
Возвышение в квадрат

§ 25. Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например
 85), умножают число десятков (8) на него
 же плюс единица (8 × 9 = 72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225).
 Еще примеры:

252; 2 × 3 = 6; 625


452; 4 × 5 = 20; 2025


1452; 14 × 15 = 210; 21025


Прием этот вытекает из формулы


(10x + 5)2 = 100x2 + 100x + 25 = 100x (x + 1) + 25


§ 26. Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:

8,52 = 72,25 14,52 = 210,25


0,352 = 0,1225, и т. п.

§27. Так как 0,5 = 1/2, а 0,25 = 1/4, то
 приемом §25 можно пользоваться также и
 для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью 1/2:

(81/2)2 = 721/4
(141/2)2 = 2101/4 и т. п.

§ 28. При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (а ± b)2 = а2 + b2 ± 2аb. Например:


412 = 402 + 1 + 2 × 40 = 1601 + 80 = 1681

692 = 702 + 1 — 2 × 70 = 4901 — 140 = 4761

362 = (35 + 1)2 = 1225 + 1 + 2 × 35 = 1296

Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.
[11]
Вычисления по формуле
(а + b) (аb) = а2b2

§ 29. Пусть требуется выполнить устно умножение

52 × 48

Мысленно представляем эти множители в
 виде (50 + 2) × (50 — 2) и применяем приведенную в заголовке
 формулу:

(50 + 2) × (50 — 2) = 502 — 22 = 2496

Подобным же образом поступают во всех
 вообще случаях, когда один множитель
 удобно представить в виде суммы двух
 чисел, другой — в виде разности тех же
 чисел:

69 × 71 = (70 — 1) × (70 + 1) = 4899

33 × 27 = (30 + 3) × (30 — 3) = 891

53 × 57 = (55 — 2) × (55 + 2) = 3021

84 × 86 = (85 — 1) × (85 + 1) = 7224

§ 30. Указанным сейчас приемом удобно
 пользоваться и для вычислений следующего
 рода:

71/2 × 61/2 = (7 + 1/2) × (7 — 1/2) = 483/4
113/4 × 121/4 = (12 — 1/4) × (12 + 1/4) = 14315/16
[12]
Полезно запомнить:

37 × 3 = 111

Запомнив это, легко выполнять устно
 умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.

37 × 6 = 37 × 3 × 2 = 222

37 × 9 = 37 × 3 × 3 = 333

37 × 12 = 37 × 3 × 4 = 444

37 × 15 = 37 × 3 × 5 = 555 и т. д.
7 × 11 × 13 = 1001

Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77 × 13 = 1001 91 × 11 = 1001
77 × 26 = 2002 91 × 22 = 2002
77 × 39 = 3003 91 × 33 = 3003

и т. д. и т. д.
143 × 7 = 1001

143 × 14 = 2002

143 × 21 = 3003

и т. д.


В нашей книжечке указаны только
 простейшие, наиболее удобоприменимые
 способы устного выполнения действий
 умножения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов,
 облегчающих вычислительную работу.
[13]
УКАЗАТЕЛЬ
Умножение
на однозначное число
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§§  1— 3
на двузначное число
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§§  4— 6
разности на сумму
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§§ 29—30
на 0003/4
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 § 16—00
на 0011/4
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 14—00
на 0011/2
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 13—00
на 0021/2
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 15—00
на 004
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§  7—00
на 005
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 11—00
на 008
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§  8—00
на 009
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 20—00
на 011
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 21—00
на 015
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 17—00
на 025
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 12—00
на 075
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 19—00
на 125
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 18—00


Деление
на 0011/2
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 23—00
на 004
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§  9—00
на 005
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 22—00
на 008
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 10—00
на 015
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 24—00
Возвышение в квадрат
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§§ 25—28




PD-icon.svg Произведения этого автора, впервые опубликованные до 1 января 1947 года, находятся в общественном достоянии в России.
Произведения, впервые опубликованные при жизни автора и посмертно более 70-ти лет назад, перешли в общественное достояние на территории РФ в соответствии со статьёй 1281 ГК РФ за давностью лет. Опубликованные посмертно до 1 января 1947 года произведения этого автора перешли в общественное достояние на территории РФ за давностью лет в соответствии с Законом РФ от 9 июля 1993 года № 5351-1 «Об авторском праве и смежных правах», устанавливающий срок действия исключительного права на произведение в 50 лет, и статьёй 6 Федерального закона РФ от 18 декабря 2006 г. № 231-ФЗ «О введении в действие части четвёртой Гражданского кодекса Российской Федерации», ограничивающей применение статьи 1281 нового ГК РФ произведениями, не перешедшими к 1 января 1993 года в общественное достояние.