Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Де Лагир

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску

Третья эпоха: Теория конических сечений (Де-Лагир, Ле-Пуавр и Ньютон)
автор Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингер
Язык оригинала: французский. Название в оригинале: Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Из цикла «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов». Дата создания: 1829-1835 гг., опубл.: 1837, перев. 1870-83 гг. Источник: Commons-logo.svg Сканы, размещённые на Викискладе Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Де Лагир в дореформенной орфографии


Третья эпоха: Теория конических сечений (Де-Лагир, Ле-Пуавр и Ньютон).


[132]22. Однако некоторые математики еще оставались верны способам древних. Между ними следует преимущественно отличить Де-Лагира. [133]

Де-Лагир (1640—1718). Этот геометр был хорошо знаком с геометриею Декарта, но сочинения, которыми он обогатил чистую геометрию и которые имели большой успех, были напйсаны им в духе древних.

Он был также достойным продолжателем учений Дезарга и Паскаля и ввел в геометрию многие нововведения, приближающиеся к современным приемам, преимущественно в его новом способе образования конических сечений на плоскости. Таким образом мы имеем два повода говорит здесь об этом знаменитом математике.

Вот важнейшие сочинения его, написанные в духе древней геометрии: большой трактат о конических сечениях, под заглавием: Sectiones conicae in novem libros distributae (in fol. Paris 1685); Mémoire sur les épicycloïdes, в котором содержится определение размеров этих кривых, их развертки и употребление в механике для построения зубчатых колес[1]; другой мемуар о том же предмете, но в обобщенном виде и в применении ко всякого рода кривым, под заглавием: Traité des roulettes, où l'on démontre la manière universelle de trouver leurs touchantes, leurs points d'inflexion et de rehaussement, leurs superficies et leurs longueurs, par la Géométrie ordinaire[2]; и, наконец, мемуар о конхоидах вообще, о их касательных, размерах, длине дуг, точках перегиба (напечатан в Mémoires de l'Académie des Sciences, 1708). [134]К этому перечню мы должны прибавить еще Traité de Gnomionique, 1682 — сочинение для того времени совершенно новое, где все вопросы решены Де-Лагиром графически, даже без прямолинейной тригонометрии, при помощи только циркуля, линейки и отвеса.

Прибавление. Из новых практических вопросов, находящихся в Гномонике Де-Лагира, нам следует упомянуть об одном, потому что он основывается на геометрических соображениях, относящихся к учениям новой геометрии.

Дело идет о построении часовых линий, пользуясь для этого некоторыми из них, уже начерченными. Де-Лагир решает три следующие задачи:

В первой предполагаются известными семь последовательных часовых линий.

Во второй — четыре последовательные и равноденственная линии.

В третьей — три последовательные, равноденственная и горизонтальная линии.

По этим данным определяются все прочие линии.

Положим, что в первом случае нам даны семь последовательных часовых линии: X, XI, XII, I, II, III, и IV. Вот построение, которое дает автор для определения пяти остальных.

Через точку линии IV проведем секущую, параллельную линии X; она встретится с линиями III, II, I, XII и XI в точках ; отложим на секущей по другую сторону от отрезки , соответственно равные ; точки будут принадлежать пяти искомым часовым линиям.

Действительно, две часовые плоскости X и ИV взаимно перпендикулярны; часовые плоскости III и V одинаково наклонены к плоскости IV и следовательно они гармонически сопряжены относительно первых двух плоскостей X и IV.

Из этого следует, что две часовые линии III и V гармонически сопряжены относительно часовых линий X и IV; поэтому всякая секущая встречает эти четыре линии в четырех гармонических точках и, следовательно, если секущая параллельна линии X, то две точки встречи её с линиями III и V будут на равных расстояниях от точки встречи её с линиею IV. Это и нужно было доказать[3]. [135]

Мы не будем приводить здесь решений Де-Лагира для других двух задач; они также просты, как и первое, и также основываются на началах элементарной геометрии, относящихся к теории трансверсалей.

Но эти три задачи естественным образом вызывают одно замечание и мы удивляемся, как оно не было сделано в разных сочиненияхь, заимствовавших y Де-Лагира решение этих задач. [136]Замечание это относится к избытку данных, которые принимает Де-Лагир при построении часовых линий. В первом случае он берет их семь, во втором — четыре и еще равноденственную линию; в третьем — три и кроме того равноденственную и горизонтальную линии; к этому надобно прибавить, что данные линии предполагаются последовательными.

Но необходимы ли все эти данные? И каково наименьшее число часовых линий, достаточных для построения всех других?

Отвечаем на это, что трех каких нибудь часовых линий достаточно, чтобы определить все остальные, и построение может быть сделано также просто, как было сделано Де-Лагиром в случае семи последовательных данных часовых линий.

Построение это представляет новое приложение теории ангармонического отношения, на которую мы уже во многих местах этого сочинения старались обратить внимание геометров.

Означим через три данные линии, соответствующие каким-нибудь определенным часам, или даже, если угодно, долям часа. Пусть будет какая нибудь из часовых линий, которую мы желаем построить при помощи трех первых. Ангармоническое отношение этих четырех прямых равно ангармоническому отношению четырех часовых плоскостей, имеющих эти прямые следами на плоскости солнечных часов. Означая четыре плоскости эти через , получим:

.

Углы между четырьмя плоскостями известны, так как эти плоскости соответствуют четырем данным часам; поэтому вторая часть уравнения есть известное количество .

Отсюда уже видно, что уравнение наше может служит для определения направления линии , и следовательно, для решения вопроса.

Чтобы вывести отсюда простое построение, проведем произвольную секущую, которая встретится с тремя линиями в точках , и означим через точку пересечения её с искомою линиею d. Ангармоническое отношение для четырех точек будет такое же, как и для четырех прямых ; вследствие этого предыдущее уравнение обратится в

, откуда .

[137]Вторая часть известна и, следовательно, уравнение определяет положение точки принадлежащей к искомой линии.

Это построение делается в высшей степени просто, если секущую проведем параллельно одной из линий , например первой; потому что тогда и уравнение принимает вид:

.

Отрезок известен, a потому известен также и отрезок ; таким образом точка , a следовательно и линия , определены. Это общее построение какой угодно четвертой часовой линии помощью трех каких нибудь данных линий действительно, как мы уже говорили, столь же просто, как и построение Де-Лагира, в котором считается необходимым знать сем линий, вместо трех.

Что касается до количества , которое не дано прямо, но зависит от углов между четырьмя часовыми плоскостями , то величину его легко найти графически, без помощи тригонометрических линий, входящих в его выражение. Для этого через точку проведем четыре прямые , образующие между собою углы, равные соответственно углам между часовыми плоскостями; проведем какую нибудь секущую, которая пересечется с этими прямыми в точках , ангармоническое отношение этих четырех точек будет равно ангармоническому отношению четырех плоскостей и мы будем иметь:

.

Такова величина . Выражение её можно упростить, проводя секущую параллельно одной из четырех прямых , например первой; тогда и мы получим:

.

23. Трактат о конических сечениях имел большой успех во всей ученой Европе и, благодаря ему, на Де-Лагира смотрели, как на самостоятельного писателя об этом предмете. Действительно, его метод, хотя чисто синтетический, отличался существенно от метода древних. Древние рассматривали конические сечения на конусе, но [138]только для того, чтобы получить их, вывести некоторые основные свойства (из которых самое важное есть постоянное отношение между квадратом ординаты и произведением отрезков на оси[4]) и потом пользоваться ими для изыскания и доказательства всех других свойств: древние составляли таким образом свою теорию конических сечений, не зная ни одного свойства конуса и совершенно независимо от свойств круга, служащего конусу основанием; Аполлоний доказывает даже часто свойства круга в одно время с свойствами эллипса и одинаковым образом. Де-Лагир избрал путь более рациональный и методический, и поэтому более краткий и ясный. Он начал с установления свойств круга, которые должны представляться и в конических сечениях, преимущественно свойств, относящихся к гармоническому делению; потом, пользуясь ими, [139]он обнаружил и доказал подобные же свойства в сечениях конуса. Этот прием в свое время был замечателен тем, что не требовал употребления осевого треугольника и прилагался безразлично ко всяким сечениям конуса.

Прием этот, как мы видим, был в духе способов Дезарга и Паскаля, которые переносили свойства круга на конические сечения посредством перспективы. Из Brouillon projet des Coniques Дезарга Де-Лагир мог также заимствовать удачные применения гармонической пропорции и некоторых инволюционных соотношений. Вот две причины, по которым мы рассматриваем этого геометра, как продолжателя учений Дезарга и Паскаля.

24. Мы должны заметить, что новый способ выводить свойства конических сечений из свойства круга и из рассмотрения конуса, на котором получаются эти кривые, был уже употребляем двумя геометрами в предшествующем столетии. Во первых Вернером из Нюрнберга, который этим путем доказал многие элементарные свойства конических сечений[5]; во вторых в более обширном размере и более ученым образом, знаменитым Мавролико из Мессины, который сперва перевел многие сочинения древних, а потом в числе множества собственных сочинений издал Traité des Coniques; в этом последнем сочинении он следовал новому пути, приписывая приемам древних при исследованиях этого рода растянутость их доказательств[6].

По поводу того же предмета справедливо упомянуть еще о Гуарини, современнике Де-Лагира, который в 1671 году [140]издал также Трактат о конических сечениях, где часто пользовался свойствами конуса для доказательства свойств его сечений.

В этом сочинении особенно замечательно чрезвычайно простое и прилагающееся ко всем видам конических сечений доказательство теоремы о постоянном отношении между произведениями отрезков на параллельных хордах, — теоремы, которая требовала всегда многих предварительных предложений. Прием доказательства представлял шаг вперед в теория конических сечений, но Гуарини, хотя в высшей степени был сведущ во всех отделах геометрии, не развил его так систематически и с таким талантом, как Де-Лагир. (См. о Мавролико и Гуарини в Примечании XVII).

25. Скажем здесь мимоходом, что кроме способа древних и способа, избранного Де-Лагиром, можно представить себе еще третий способ, который до сих пор никем еще не употреблялся, но который мог бы, если не ошибаемся, до высшей степени упростить доказательства и обнаружить самым ясным образом основные начала и происхождение разнообразных свойств конических сечений. Надобно сознаться, что в этом отношении способ древних оставляет нас в совершенном мраке.

Способ, о котором мы говорим, мог бы состоять в изучении свойств самого конуса и в выражении их совершенно независимо от свойств его сечений; тогда последние свойства выводились бы из первых с необыкновенною легкостью и общностью. Это понятно уже из того, что везде, где древние, основываясь на особенностях трех видов конических сечений, должны были употреблять три различные доказательства для обнаружения одного и того же свойства в эллипсе, параболе и гиперболе, здесь было бы достаточно вывести соответствующее свойство самого конуса и отсюда, как из настоящего общего источника, проистекали бы тогда свойства всех сечений конуса. [141]

Таким путем объяснилось бы на конусе происхождение многих свойств в конических сечениях; таковы например свойства фокусов, которые, кажется, были угаданы Аполлонием и которые ни этим геометром, ни одним из следующих, не были поставлены в связь с свойствами круга, или конуса; так что первоначальное происхождение этих замечательных точек, в зависимости от конуса, на котором получаются кривые, оставалось совершенно неизвестным.

Другая выгода указываемого нами способа состояла бы в том, что вместе с теорией конических сечений образовалась бы теория круглых конусов, свойства которых до сих пор еще весьма мало известны. Это не представило бы никаких затруднений: в доказательство мы можем, кажстся, привести опыт, сделанный нами в одном мемуаре[7], где, допуская только некоторые большею частию очевидные свойства круга, мы получили множество новых свойств конусов второго порядка; некоторые из этих свойств соответствуют свойствам фокусов конических сечений и приводят к ним; таким образом существование и свойства фокусов могут быть приведены в зависимость от свойств конуса.

Читая первые строки Трактата о конических сечениях Валлиса, можно подумать, что этот великий геометр следует именно тому способу, о котором мы теперь говорим. Он объявляет, что, убедившись в трудности теории конических сечений и желая ее упростить, он приступит сначала к ближайшему изучению самого конуса, чего не сделали древние, a отсюда уже, как из настоящего источника, выведет свойства этих кривых. Но Валлис спешит прибавить, что он ограничивается только важнейшими свойствами, которые могут вести к открытию всех других. И в самом деле, доказав, также как [142]Декарт, свойство, служащее для выражения кривых помощию двух координат, он избирает другой путь и дает аналитическую теорию этих кривых.

26.. Возвратимся к трактату Де-Лагира. Это сочинение разделено на девять книг. Первая представляет основу для всего последующего; в ней последовательно излагаются свойства гармонического деления прямой линии, свойства гармонических пучков, и наконец гармонические соотношения в круге. Тут же находятся некоторые частные случаи инволюционного соотношения шести точек, но нет подобного соотношения в совершенно общем виде. Эта книга представляет введение, из которого впоследствии будут почерпнуты простые и общие доказательства теорем, требовавших у древних долгих и трудных соображений. Именно в этом состояла новизна и заслуга метода Де-Лагира.

Кроме задачи ad tres et quatuor lineas [см. гл. I, n. 32] и прекрасных общих теорем, составлявших основание сочинений Дезарга и Паскаля, в трактате Де-Лагира соединены были в первый раз все другие известные свойства конических сечений и доказаны синтетически однообразным и изящным приемом. Многие из предложений принадлежат самому Де-Лагиру. Из них прежде всего укажем на теорию полюсов, состоящую из следующих трех теорем.

Фиг. к n° 26.

1°. «Если около неподвижной точки будем обращать секущую, встречающуюся с коническим сечением в двух точках, то касательные в этих точках всегда будут пересекаться на одной прямой». (Предложения 27 и 28 книги 1-й; 24 и 27 книги 2-й).

И обратно: «Если из каждой точки прямой линии будем проводить две касательные к коническому сечению, то прямые, соединяющие точки прикосновения, пройдут через одну точку». (Предложения 26 и 28 книги 1-й; 23 и 26 книги 2-й).

Точка эта в последнее время названа была полюсом прямой, а прямая — полярою точки. [143]

2°. «Если через неподвижную точку будем проводить различные секущие, пересекающие коническое сечение, то прямые соединяющие попарно точки пересечения двух каких-нибудь секущих, будут между собою пересекаться на поляре неподвижной точки». (Предложение 22 и 23 кн. 1-й; 30 кн. 2-й).

3°. Наконец «Точка встречи каждой секущей с полярою неподвижной точки есть гармонически сопряженная с этою неподвижной точкой относительно двух точек пересечения секущей с кривою». (Предл. 21 кн. 1-й и 23 и 26 кн. 2-й).

Последнее предложение было известно Аполлонию.

В трактате Де-Лагира оно есть основное и из него выводятся все другие. Из предложения 3-го книги 3-й видно, например, как естественно приводит оно к соотношению между квадратом ординаты и прямоугольником из отрезков оси.

Таким образом предложение это играет в обширном трактате Де-Лагира ту же роль, как теорема о latus rectum у Аполлония, как инволюция шести точек в Brouillon projet des Coniques Дезарга и как мистический шестиугольник вь сочинении Паскаля.

Легко видет, что из трех упомянутых нами здесь предложений два первые заключаются в теореме о четырехугольнике, вписанном в коническое сечение; — теореме, которую, как мы уже говорили [в прим. к n° 16 гл. II], Паскаль вероятно вывел из своего шестиугольника; третье же предложение есть следствие той же теоремы на основании 131 предложения 7-й книги Математического Собрания, — предложения, которое мы указали, говоря о Паппе.

Но так как сочинение Паскаля никогда не было издано, то Де-Лагиру принадлежит честь открытия этих прекрасных предложений. Впоследствии они были воспроизведены Маклореном в сочинениях о флюксиях и о геометрических кривых, Р. Симсоном в сочинении о конических [144]сечениях, Карно в Théorie des transversales и многими другими геометрами.

Первая теорема и её взаимная были доказаны посредством наглядного и весьма изящного приема в Начертательной Геометрии Монжа и распространены этим знаменитым геометром на поверхности второго порядка. С этого времени получает важность и обширное применение теория полюсов, заключавшаяся до этих пор в названных нами ученых сочинениях, но остававшаяся почти неизвестною для молодых геометров, изучавших конические сечения только по способу аналитический геометрии.

Между другими замечательными свойствами конических сечений, открытыми Де-Лагиром, мы упомянем только о геометрическом месте вершины прямого угла, описанного около конического сечения; это геометрическое место есть круг для эллипса и гиперболы и прямая линия для параболы (8-я книга, предл. 26, 27 и 28)[8]; Монж обобщил также и это предложение и показал, что точка пересечения трех взаимно перпендикулярных плоскостей, касающихся поверхности второго порядка, лежит всегда на сфере, которая обращается в плоскость для параболоида. [145]

Де-Лагир значительно обогатил также теорию фокусов и показал изящное и простое построение, посредством прямой линии и круга, конического сечения, имеющего данный фокус и проходящего через три данные точки. Задача эта имеет приложение в астрономии и для решения её знаменитый астроном и геометр Галлей, разрешивший ее в первый раз, употреблял гиперболу[9].

27. До Декарта существовал только один способ образования конических сечений, именно на теле, т. е. на конусе с круглым основанием. Но геометрия этого знаменитого преобразователя произвела в теории этих кривых, также как и во всех других частях математики, решительный переворот: она научила получать их прямо на плоскости, не пользуясь при этом нисколько рассмотрением конуса. Декарту было достаточно заметить, что в его системе координат все конические сечения выражаются общим уравнением второй степени. Такое аналитическое выражение вело к изысканию и развитию их многочисленных свойств. Этот способ исследования был принят прежде всего Валлисом, который первый дал аналитическую теорию конических сечений, а потом большинством геометров, писавших об этих кривых. Впрочем еще в продолжение целого столетия продолжали рассматривать конические сечения также и на конусе и в сочинениях, появившихся в течение этого времени, соединяли вместе оба способа: способ древних и способ Декарта.

Прием, служивший Дезаргу и Паскалю для образования конических сечений, относился к способу древних, потому что в нем эти кривые рассматриваются как перспективы круга. Но этот прием получил весьма важное преимущество, благодаря употреблению теории трансверсалей, которою древние пользовались только в системах прямых [146]линий, но не прилагали ни к кругу, ни к коническим сечениям.

Григорий С. Винцент, как мы уже говорили, придумал множество способов образовать конические сечения одни помощью других; Шутен дал несколько способов органического образования их; Де-Витт сделал еще шаг, образуя эти кривые различными весьма общими способами, которыми он искусно пользовался для вывода их важнейших свойств; но все эти способы не были одинаковы для всех трех видов конических сечений.

Де-Лагир, имея перед глазами совершенно общий, но аналитический, способ Декарта и попытки Де-Витта, старался также найти общий прием для образования конических сечений на плоскости, который мог бы вести, также как и в случае образования их на конусе, к доказательству свойств этих кривых.

28. В 1673 и 1679 годах он двояким образом выполнил это намерение в двух сочинениях, которые предшествовали его большому трактату 1685 года и с которых началась его известность, как геометра.

В сочинении 1679 года[10] Де-Лагир определяет конические сечения, как такие кривые, в которых сумма или разность расстояний каждой точки от двух неподвижных точек остается постоянная или каждая точка находится в одинаковом расстоянии от данной точки и данной прямой. Исходя из одного этого положения, он выводит множество свойств этих кривых.

Такая постановка теории конических сечений была принята многими геометрами, которые положили ее в основание своих сочинений; таковы маркиз Лопиталь, Р. Симсон, Guisnée, Mauduit и др.

В сочинении своем Де-Лагир присоединил к этому еще две особые части о геометрических местах, исследованных [147]по способу Декарта, и о применении их к построевию уравнений.

Последняя часть оканчивается построением посредством прямой линии и круга одной из самых знаменитых задач в теории конических сечений, именно задачи о проведении нормали через точку, взятую вне кривой. Андерсон[11], Слюз и Гюйгенс решили эту задачу только для параболы; это не представляло большой трудности, потому что задача допускает в этом случае только три решения и потому может быть решена при помощи одного круга. Но в случае эллипса и гиперболы задача, допуская четыре решения, представляет большие затруднения и достаточно доказывает искусство Де-Лагира в Декартовом анализе.

29. В сочинении 1673 года под заглавием: Nouvelle méthode en Géométrie, pour les sections des superficies coniques et cylindriques, Де-Лагир является писателем вполне оригинальным и новым, и оно-то заставляет нас включить этого геометра в число основателей новой геометрии.

Сочинение это состоит из двух частей, из которых каждая представляет особый новый метод и особые достоинства. Приведенное нами выше заглавие относится преимущественно к первой части, в которой автор рассматривает кривые на конусе; вторая же часть, где он образует их на плоскости, носит название Planiconiques.

Первую часть можно рассматривать, как опыт того способа, которому Де-Лагир, спустя двенадцать лет, следовал в своем большом трактате; действительно эта часть начинается двадцатью леммами, относящимися к тем же предметам как и 1-я книга трактата; потом Де-Лагир прилагает их к доказательству важнейших свойств конических сечений, с общностью для того времени новою и без помощи осевого треугольника. Но доказательства эти [148]далеко еще не представляют той степени изящества и простоты, как в трактате 1685 года.

В Planiconiques Де-Лагир излагает изобретенный им общий способ образования конических сечений на плоскости; здесь кривые, как и в пространстве, образуются при помощи круга и при этом не предполагаются известными никакие свойства их; впоследствии Де-Лагир доказывает, что образуемые таким образом кривые действительно одинаковы с теми, которые получаются в пространстве на конусе. Особенно хорошо в этом способе то, что свойства круга распространяются на planiconiques при помощи тех же лемм, которые служат для распространения свойств круг на сечения конуса, и доказательства при этом остаются те же, как в первой части.

30. Так как это первое сочинение Де-Лагира чрезвычайно редко и так как писатели, иногда упоминавшие об нем, не достаточто знакомят с его направлением[12], то мы считаем не лишним войти здесь в некоторые подробности об этой удивительной теории planiconiques, которая так долго оставалась неизвестною и забытою, но которая [149]представляет первый довольно общий способ преобразования фигур в другие такого же рода.

Представим себе на плоскости две параллельные между собою прямые, из которых одну автор называет образующей (formatrice), другую — направляющей (directrice), и кроме того точку, называемую полюсом. Из каждой точки кривой, данной на плоскости, проводим по произвольному направлению секущую; она встретится с направляющею в точке, которую соединяем прямою линиею с полюсом, и с образующей — в другой точке, из которой проводим параллельную к предыдущей прямой. Эта параллельная встретится с прямою, идущею от точки к полюсу, в точке , которая таким образом образована точкою .

Каждая точка данной кривой образует подобным же образом соответственную точку второй кривой. Точки прямой линии образуют точки другой прямой линии, обе эти линии пересекаются на образующей.

Наконец, точки круга образуют точки коническаю сечения.

Чтобы доказать это предложение, не предполагая известным никакого свойства конических сечений, Де-Лагир представляет себе конус с круговым основанием и на нем плоское сечение; затем он совмещает плоскость круга с плоскостью сечения, обращая ее около линии пересечения этих плоскостей; потом, приняв эту линию за образующую, другую (именно линию, которая в первоначальном положении плоскости круга есть пересечение с плоскостью, проведенною через вершину конуса параллельно плоскости конического сечения) — за направляющую и известным образом избранную точку за полюс, он доказывает, чрез сравнение подобных треугольников, что это сечение может быть образовано кругом[13]. [150]

Таков был способ Де-Лагира для получения конических сечений на плоскости без помощи всякого тела и всякой другой плоскости, кроме плоскости чертежа. Это он называл перевести конус и его сечения на плоскость. В предисловии к сочинению 1679 года он говорит: «я прилагал к этим плоским сечениям те же доказательства, какие даны мною для тела, и могу сказать, что сочинение мое имело счастье заслужить одобрение самых ученых геометров».

Но известность этого сочинения продолжалось недолго и оно, не смотря на свои несомненные достоинства, более века оставалось в забвении; это могло бы удивить нас, если бы мы не знали, что у всякой эпохи есть свои вопросы дня и что самые лучшие и полезные идеи, чтобы быть признанными, должны появляться в такое время, когда умы обращены к предметам с ними сродным. История наук на всяком шагу дает нам доказательства этой истины[14].

31. Ле-Пуавр. Впрочем способ Де-Лагира был в 1704 году воспроизведен, или лучше сказать изобретен вновь, Ле-Пуавром (Le Poivre de Mons), геометром в наше время неизвестным, но о котором было бы несправедливо не упомянуть вместе с Декартом, Паскалем и Де-Лагиром в истории происхождения и развития новой геометрии. Сочинение его носило такое заглавие: Traité des sections du cylindre et du cône, considérés dans le solide et dans le plan, avec des démonstrations simples et nouvelles (60 страниц in 8°). Часть, относящаяся к образованию конических сечений на плоскости, есть в сущности ничто иное, как метод Де-Лагира, но он представлен здесь [151]совершенно в другом виде и заслуживает, чтобы мы изложили его особенности и приемы[15].

Первоначальная мысль автора состояла, кажется, в том, чтобы провести на конусе кривую плоского сечения, не проводя самой плоскости; и автор делает это двумя способами: посредством пересечения каждой образующей конуса с другою известным образом проведенного прямою и посредством пропорции, последний член которой служит для определения на каждой образующей точки кривой сечения. Потом он замечает, что эти построения могут быть выполнены не только в пространстве, но и на самой плоскости круга, служащего основанием конуса, и что они ведут в этом случае к тем же самым кривым.

Представим себе конус с круглым основанием; произвольно проведенная плоскость образует на нем коническое сечение; требуется построит эту кривую без помощи плоскости, в которой она находится. Для этого нужно прежде всего взять в пространстве элементы, необходимые для определения положения этой плоскости; это можно сделать различным образом. Ле-Пуавр берет след секущей [152]плоскости на плоскости основания конуса и другую прямую, параллельную этому следу и получаемую от пересечения плоскости основания с плоскостью, проходящею через вершину конуса и параллельною плоскости сечения. Эти две прямые и вершина конуса вполне определяют положение плоскости сечения и потому они должны быть тремя данными, достаточными также и для построения кривой пересечения конуса с плоскостью, если только такая кривая действительно существует.

Но легко видеть, что это построение будет выполнено следующим образом: через точку круга основания, называемого образующим кругом (cercle générateur), проведем какую-нибудь секущую, которая встретится со следом плоскости сечения и с линиею ему параллельной в двух точках; соединим вторую точку с вершиною конуса прямою линиею и к этой прямой проведем параллельную через первую точку. Эта параллельная очевидно будет лежать в плоскости сечения и встретится с образующей конуса в точке , принадлежащей искомой кривой. Для всякой другой точки образующего круга получим другую точку кривой сечения.

Это построение совершенно общее; оно существует, каково бы ни было положение точки в пространстве; оно применимо и к тому случаю, когда эта точка находится в плоскости круга, когда следовательно нет более конуса. Кривая; образуемая точкой, и в этом случае будет коническое сечение[16]. [153]

Таким образом построение Ле-Пуавра прилагается к образованию конических сечений как в плоскости, так и в пространстве. В случае плоскости это построение, как мы видим, одинаково с построением Де-Лагира. Точка есть полюс, след секущей плоскости — образующая, a линия, параллельная ему —направляющая.

32. Вообще в геометрии есть два способа применять к делу решения, полученные теоретическим путем. Первый способ состоит в том, что искомые точки строятся посредством пересечения линий; второй — в том, что эти точки определяются помощью формул, которые путем вычисления приводят к числовым результатам. Всегда полезно искать решение в этих обоих видах, потому что каждый из них знакомит с свойствами фигур, которые не указываются другим; вопрос только тогда решен окончательно, когда он исследован со всех сторон, когда открыты и обнаружены все, как графические, так и метрические свойства, выраженные указанными вами двумя видами решения.

Изложенное нами построение конического сечения в пространстве или на плоскости, принадлежит к первому роду решений. Чтобы превратить его в числовую форму, сравним два подобные треугольника, имеющие общую вершину в ; отсюда получим пропорцию между сторонами их, прилежащими к этой вершине. Из этой пропорции найдется расстояние точки конического сечения от соответствующей точки круга; это и будет искомая формула[17]. [154]

33. Нельзя себе представить способа, который был бы богаче и удобнее способа Де-Лагира и Ле-Пуавра для открытия многочисленных свойств конических сечений при помощи круга; но выгоды этого способа не должны были ограничиваться только этим частным применением; способ этот имел лучшую участь впоследствии, так как в нем, также как в способе перспективы, заключалось общее средство для преобразования на плоскости одних фигур в другие того же рода.

Важность подобных способов, составляющих один из главных отделов новой геометрии, заставляет нас высказать еще несколько соображений о способе Де-Лагира и Ле-Пуавра, чтобы показать соотношение его с приемами перспективы, с подобным же приемом, изобретенным почти в то же время Ньютоном, и с многими другими способами более позднего происхождения, о которых мы будем говорить впоследствии.

В способе, который употребляли Де-Лагир и Ле-Пуавр для преобразования круга в коническое сечение на плоскости, обнаруживается следующее отличительное свойство: всякой точке и прямой, относящимся к образующему кругу, соответствует точка и прямая относительно конического сечения; и соотношения между положениями этих фигур таковы, что две соответственные точки лежат всегда на прямой, проходящей чрез постоянную точку , и [155]две соответственные прямые пересекаются всегда на постоянной оси, именно на прямой, которую мы назвали образующей в способе Де-Лагира и рассматривали как след плоскости сечения в способе Ле-Пуавра.

Эти постоянные точка и ось, если их рассматривать как принадлежащие к кругу, соответствуют сами себе относительно конического сечения; так что они играют одинаковую роль относительно той и другой кривой.

Если из этой постоянной точки можно провести к кругу две касательные, то они будут также касательными и к коническому сечению; если постоянная ось пересекает круг в двух точках, то через эти же точки пройдет и коническое сечение.

Можно доказать также, что, если две прямые параллельны, то соответственные их пересекаются в точке прямой, которую мы назвали направляющей; так что каждой бесконечно удаленной точке одной фигуры соответствует на другой точка направляющей. Но так как прямой линии может соответствовать только прямая же линия, то мы заключаем, что все бесконечно удаленные точки плоскости должно рассматривать, как расположенные на одной прямой.

34. По всем этим свойствам мы узнаем гомологические фигуры, теория которых дана была в первый раз Понселе в Traité des propriétés projectives. Полюс есть центр гомологии, а образующая — ось гомологии.

Лица, привыкшие к приложениям перспективы, узнают также в этом преобразовании те самые фигуры, которые чертятся на плоскости и должны быть одна перспективою другой.

Таким образом, если будем рассматривать образующую (или ось гомологии) как общий прорез, направляющую как линию горизонтальную, основание перпендикуляра; опущенного из полюса (или центра гомологии) на направляющую — как точку зрения; если потом для получения точки расстояний отложим на направляющей, начиная от точки [156]зрения, отрезок равный вышеупомянутому перпендикуляру, и если по этим данным построим перспективу конического сечения, получаемого по способу Де-Лагира, то получим ничто иное, как образующий круг. (См. Примечание XVIII).

И так, общее построение конических сечений на плоскости, к которому стремился Де-Лагир, собственно говоря, существовало уже с давних пор, но оно не было ему известно, потому что встречалось только в практических приложениях перспективы и употреблялось только художниками. Весьма важная заслуга Де-Лагира состоит в том, что он первый задумал воспользоваться этим преобразованием фигур, как пособием для рациональной геометрии, с целью переносить прямо свойства одной кривой в плоскости на другие кривые.

Способ этот был обобщением двух других преобразовании фигур. Первое из них состоит в том, что из постоянной точки проводятся ко всем точкам кривой радиусы, которые продолжаются в постоянном отношении; концы продолженных таким образом радиусов лежат на другой кривой, подобной прежней и подобно расположенной относительно постоянной точки; второе преобразование состоит в том, что из всех точек кривой проводятся ординаты на постоянную ось и изменяются в данном отношении; концы их принадлежат другой кривой одинаковой степени и одного рода с данною кривою; при этом касательные в двух соответственных точках обеих кривых пересекаются на постоянной оси. Этим способом Стевив, Григорий С. Винцент и еще прежде их знаменитый живописец Альбрехт Дюрер получали эллипс посредством круга. Оба эти способа преобразования получаются из способа Де-Лагира, если предположим в первом случае след и направляющую, а во втором случае точку — на бесконечном расстоянии.

В сочинении о кривых линиях известного геометра Джона Лесли [157][18] находим построение конических сечений посредством пересечения двух прямых, вращающихся около двух неподвижных полюсов; это построение также приводится к построению Де-Лагира. Лесли получил его при помощи перспективы, но не пользовался им, как Де-Лагир и Ле-Пуавр, для доказательства свойств конических сечений.

35. Ньютон (1642—1727). В то самое время, когда Де-Лагир нашел способ образования конических сечений помощью круга, Ньютон изобрел способ подобного же рода, имевший целью производить на плоскости такие преобразования фигур, чтобы точкам соответствовали точки, прямым линиям — прямые же линии и чтобы некоторые прямые, сходящиеся в одной точке, обращались в параллельные. Этот способ предложен в первой книге Principia, где показано также, как при помощи его можно превращать всякое коническое сечение в круг и таким образом упрощать многие трудные задачи.

Великий геометр показал чрезвычайно простое геометрическое построение и дал столь же простое аналитическое выражение для своих преобразованных фигур; но он не указал пути, который привел его к этому способу преобразования; может быть по этой причине его способ мало был разработан впоследствии; потому что наш ум всегда испытывает некоторое затруднение и устраняется от таких предметов, в которых хотя и встречает достаточно очевидности для убеждения, но не видит ничего, что уясняло бы и показывало причины самого существования предмета. Нам любопытно было сравнить способы Ньютона и Де-Лагира, узнать особенности, которыми они характеризуются, и найти поводы предпочесть один способ другому; чрез это мы надеялись отыскать нить, руководившую Ньютоном. Мы обнаружили, что фигуры у Ньютона те же, [158]как у Де-Лагира, но размещены различным образом одна относительно другой; их также можно получить посредством перспективы, совмещая после этого в одной плоскости, но и это иным образом, чем в способе Де-Лагира. Оказывается, что способ Ньютона представляет действительно один из приемов перспективы, указанный несколькими писателями, из которых назовем Vignole, Sirigati, Pozzo. (См. Примеч. XIX).

36. Нам было бы легко показать, какие громадные средства могли бы извлечь геометры из сказанных способов преобразования кривых линий на плоскости еще полтора века тому назад, если бы роковое и несправедливое предубеждение не изгнало этих способов из области чистой геометрии. Достаточно уже сказанного нами о том, что способ Де-Лагира, по преимуществу, приводил к тем же преобразованиям и к той же цели, как и прекрасная теория гомологических фигур, из которой Понселе извлек столь многочисленные и замечательные результаты. Притом способ Де-Лагира, также как и Ньютона, есть простой вывод из нашего общего принципа гомографического преобразования (déformation homographique) и нам пришлось бы повторять два раза одно и тоже, если бы мы стали распространяться здесь о приложениях этого принципа.

37. Оканчивая исторический обзор первых способов преобразования кривых линий, заметим, что тот остроумный путь, которым Ле-Пуавр дошел до своего преобразования, также заслуживает внимания геометров; он основывается на идее, заключающей в себе целую начертательную геометрию, т. е. графическое изображение на плоскости тел, расположенных в пространстве. Эта идея в приложениях перспективы выражается тем, что плоскость, помещенная в пространстве, обозначается на картине (tableau) двумя параллельными прямыми, из которых одна есть след самой плоскости, a другая — след плоскости параллельной, проведенной через точку зрения. Прямая [159]линия будет поэтому изображаться двумя точками, в которых она сама и ей параллельная, проведенная через точку зрения, пересекают плоскость картины. Итак мы имеем здесь способ всякое тело, данное в пространстве, изображать на плоскости, употребляя при этом только одну постоянную точку, взятую произвольно вне этой плоскости. Этот новый род начертательной геометрии был в недавнее время придуман и приведен в исполнение Кузинери, инженером путей сообщения. К сочинению этого геометра мы возвратимся, когда будем говорить о начертательной геометрии Монжа.

Примечания

  1. Мемуар этот явился в 1694 году вместе с другими мемуарами Де-Лагира по математике и физике. Он был напечатан вновь в IX томе прежних Mémoires de l'Académie des Sciences.
    Де-Лагир говорит здесь, что уже двадцать лет тому назад он открыл эпициклоиды и их употребление в механике. Впоследствии Лейбниц требовал, чтобы честь этого двойного открытия была приписана знаменитому астроному Ремеру, которым оно сделано было в 1674 году во время его пребывания в Париже. Но, как мы уже говорили выше, открытие это, или по крайней мере его механическая сторона, по словам самого Де-Лагира, восходит вероятно до Дезарга.
  2. Напечатано в Mémoires de l'Académie des Sciences, 1704.
  3. Это геометрическое доказательство, заимствованное нами из сочинения Де-Лагира, столь же строго, как и кратко; однако Деламбр не считает его вполне удовлетворительным; и так как рассматриваемый вопрос кажется ему полезным и любопытным и потому заслуживающим доказательства во всей форме, то он предлагает свое доказательство, которое считает самым общим и строгим (Histoire de l'astronomie au moyen âge, p. 634). Ho мы должны сказать, что доказательство Деламбра состоит почти из двух страниц вычислений и во всяком случае не точнее краткого рассуждения Де-Лагира.
    Мы делаем это замечание вовсе не с намерением критиковать; мы питаем уважение и удивление к имени и трудам Деламбра, к его преданности науке и к тем важным и трудным изысканиям, которые ему были необходимы, чтобы написать историю астрономии. Замечание это естественно проистекает из главной идеи, лежащей в основании нашего труда; оно показывает с одной стороны ясный пример тех преимуществ, которые иногда представляет путь геометрический, или путь прямого рассуждения, перед вычислением; с другой стороны, оно обнаруживает направление, принятое математическими науками, — направление, при котором ясных и убедительных доказательств для истин геометрических, доказательств по форме, ищут только в поверке путем алгебраического исчисления. Это направление противно всему, что делалось до сих пор: у Греков, где геометрия прославилась строгостью своих доказательств; у Индусов и Арабов, которые истолковывали результаты алгебры доказательствами геометрическими; у новых геометров до последнего века, между которыми Ньютон и Маклорен употребляли анализ весьма неохотно и только там, где он неизбежен.
    Где причина такого исключительного направления математических знаний? И каково будет влияние его на характер и успехи науки?
    Мы не будем пытаться отвечать на эти вопросы, так как многие, вероятно, едва ли согласились бы с нами. Но, каковы бы ни были мнения об этом предмете, нельзя по крайней мере не согласиться с тем, что было бы очень полезно поддерживать и разрабатывать на ряду с новыми способами также и способ древних, которому математики продолжали следовать до последнего столетия.
  4. На вопрос, отчего зависит плодотворность этого свойства конических сечений, в аналитической геометрии ответили бы, что свойство это есть ничто иное, как уравнение кривой, и неудивительно поэтому, что к нему применяются удобно все преобразования, каким можно подвергнуть уравнение. Но чистая геометрия требует более прямой причины, заимствованной только из свойств самого предмета и не носящей отпечатка произвольной и искусственной системы координат; и легко видеть, что причина заключается в том, что свойство это выражает соотношение между шестью точками конического сечения. Здесь впрочем шесть точек не имеют положения совершенно произвольного и общего: четыре из них берутся на двух параллельных прямых.
    Но, не смотря на это ограничение, упомянутое соотношение достаточно для построения кривой при помощи пяти произвольно данных точек. Отсюда понятно, что оно может вести ко всем свойствам конических сечений. При этом пришлось бы только следовать иногда не совершенно прямому пути и употреблять более искусственных оборотов, чем в том случае, когда бы нам было известно совершенно общее соотношение между шестью какими нибудь точками конического сечения. Этим замечанием объясняется, почему прекрасные теоремы Дезарга и Паскаля, выражающие собою именно совершенно общее соотношение между шестью точками конического сечения, внесли в теорию этих кривых такую неизвестную древним простоту.
  5. J. Verneri Libellus super vigintiduobus elementis conicis, etc. in. 4°, 1522.
  6. Quoniam Apollonius omnia fere conicorum demonstrata conatus est in planum redigere, antiquioribus insignior; neglecta conorum descriptione, et aliunde quaerens argumenta, cogitur persaepe obscurius ei indirecte demonstrare id, quod contemplando solidae figurae soctionem, apertius et brevius demonstratur. D. Francisci Maurolici Opuscula mathematica. In-4°; Venetiis, 1575; p. 280.
  7. Mémoire de Géométrie pure sur les propriétés générales des cônes du second degré. In—4°, 1830.
  8. Де-Лагир показал также (Mémoires de l'Académie de Sciences, 1704) геометрическое место равных между собою, острых или тупых, углов, описанных около конического сечения; это есть кривая четвертого порядка, обращающаяся в гиперболу, когда данное коническое сечение есть парабола.
    В том же мемуаре Де-Лагир исследует этот вопрос также для циклоиды и приходит к следующему любопытному результату: вершины равных углов, прямых, острых, или тупых, описанных около этой кривой лежат на другой циклоиде, сжатой или растянутой.
    Мы нашли, что круговые эпициклоиды обладают тем же свойством, именно:
    Если около эпициклоиды, образуемой точкою окружности круга, катящегося по другому кругу, будем описывать равные между собою углы, то верщины их будут лежать на растянутой, или сжатой, эпициклоиде.
  9. Methodus directa et geometrica cujus ope investigantur Aphelia etc. Planetarum. Philosophical Transactions, 1676, n° 128.
  10. Nouveaux élémens des sections coniques. Les lieux géométriques. La construction ou effection des équations. (In—12; 1679).
  11. A. Andersoni Exercitationum mathematicarum Decas prima, etc. Paris. 1619, in—4°.
  12. В Philosophical Transactions 1676, n° 129, помещен благоприятный отзыв о сочинении Де-Лагира, но ничего не говорится о его Planiconiques.
    В Journal des Savans (1676, 17 Décembre) после разбора первой части сочинения сказаны о planiconiques только следующие слова, которых было бы достаточно, чтобы предохранить эту теорию от забвения: «Автор прибавил к своему новому методу трактат о planiconiques, который чрезвычайно хорош и очень удобен, так как в нем нет надобности воображать ни какого-нибудь тела, ни плоскости, кроме той, на которой рассматривается фигура».
    Вольф в своем комментарие к важнейшим сочинениям геометров приводит все другие сочинения Де-Лагира, но совершенно опускает то, о котором мы говорим. Монтукла не говорит о нем ни слова. Впрочем Cornélius à Beughem упомянул о нем в Bibliographica mathematica и потом Murrhard также записал его в Bibliotheca mathematica.
  13. Это доказательство довольно трудно; начало перспективы, которое мы вывели из теоремы Дезарга, доставляет доказательство самое естественное и в в вышей степени простое.
  14. Вместе с Монтуклой мы могли бы прибавить, что «предрассудки бывают даже в геометрии, и редко люди, привыкшие долгое время к рассуждениям известного рода, бывают расположены оставить старые привычки и усвоить себе новые суждения». (Histoire des mathématiques, t. II, p. 144.)
  15. Отзывы об этом сочинении были помещены в Journal des Savans 1704 и в Acta eruditorum 1707 года.
    В довольно обширной статье Journal des Savans предполагается кажется, что способ Ле-Пуавра заимствован у Де-Лагира. Но мы не можем согласиться с этим мнением, потому что пути изобретения слишком различны в этих двух способах. Прибавим к этому, что сочинение Ле-Пуавра содержит еще открытие, которого нет в сочинении Де-Лагира и которое не было замечено автором статьи Journal des Savans; там находим именно другой способ образования этих фигур, основанный на их метрических соотношениях; способ этот мог бы повести Ле-Пуавра к весьма важным следствиям, если бы автор развил далее свою счастливую мысль.
    Лейпцигский журнал отзывается очень благосклонно о сочинении Ле-Пуавра; там говорится: «Non solum intra paucas pagellas palmarias sectionum conicarum proprietates mira facilitate ac perspicuitate explicat; sed inter eas quoque aliquot proponit antea parum cognitas».
  16. Чтобы убедиться в этом, проложим кривую, которую мы построили в пространстве, на плоскость круга со всеми линиями, служившими для построения. В проложении получим кривую и прямые, служащие именно для её построения, точно также как прямые в пространстве служили для построения сечения конуса; другими словами, построение кривой в проложении будет совершенно сходно с построением кривой в пространстве; если при этом возьмем проектирующие линии перпендикулярные, к следу плоскости сечения на плоскости основания и одинаково наклоненные к этим двум плоскостям, то в проложении получится кривая совершенно одинаковая с кривой сечения; следовательно это будет коническое сечение.
    Отсюда же видно, что при распространении на конические сечения свойств круга нужны одни и те же доказательства, будем ли мы рассматривать коническое сечение в плоскости круга, или в пространстве.
  17. За неизвестное лучше принять расстояние точки от ; в этом случае формула естественным образом ведет к различным свойствам конических сечений, между прочим к свойствам фокусов, о которых автор не говорит ничего. Для этого достаточно поместить точку в центр образующего круга.
    Последнее замечание касательно положения точки относится также и к Трактату Де-Лагира, в котором он доказывает свойства фокусов, но не приходит к этим точкам путем открытия, a предполагает их известными a priori, так как же и Аполлоний в «конических сечениях». Помещая полюс в центре круга, но при каком угодно положении образующей и направляющей (лишь бы они были параллельны между собой), мы получаем коническое сечение, для которого полюс служит фокусом: при этом различные свойства круга непосредственно приводят к свойствам фокусов конического сечения.
  18. Geometrical analysis and Geometry of curve lines, etc., Edinburgh 1821, in -8°.