Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Поверхности второго порядка

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску

Пятая эпоха:
Поверхности второго порядка

автор Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингер
Язык оригинала: французский. Название в оригинале: Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Из цикла «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов». Дата создания: 1829-1835 гг., опубл.: 1837, перев. 1870-83 гг. Источник: Commons-logo.svg Сканы, размещённые на Викискладе Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Поверхности второго порядка в дореформенной орфографии


Пятая эпоха, n° 46-54.


[274]46. Поверхности второго порядка. Чтобы заключить обзор развития и успехов новейшей геометрии, нам остается рассмотреть еще одну из отдельных теорий, наиболее важную и разработанную, именно теорию поверхностей второго порядка. [275]Древние знали из поверхностей второго порядка кажется только конус, цилиндр и поверхности вращения, которые они называли сфероидами и коноидами[1]: до Эйлера не усматривалось никакой другой аналогии между формами в пространстве и столь знаменитыми плоскими кривыми, названными коническими сечениями. Этот великий геометр распространил на кривые поверхности аналитический прием, служивший ему для исследования кривых линий на плоскости[2] и открыл в общем уравнении второй степени с тремя обыкновенными координатами пять различных видов поверхностей[3], между которыми сфероиды и коноиды древних являются не более как частными формами.

Эйлер ограничился только этою классификациею. Но этого было достаточно, чтобы открыть геометрам обширное поле исследований, представляемых теориею поверхностей второго порядка.

Монж и его сотоварищ Гашет поняли всю важность этой теории и, подвергнув поверхности второго порядка новому, более глубокому и подробному аналитическому исследованию, открыли многие важнейшие свойства их. Они показали двойное образование поверхностей второго порядка помощию перемещающегося круга, которое было известно со времени Дезарга[4] для конусов второго порядка и позднее было замечено только у эллипсоида Д'Аламбертом[5]; в первый раз было также обнаружено образование движением [276]прямой линии гиперболоида с одной полостью и гиперболического параболоида[6]. В примечании к трактату [277]о поверхностях второго порядка доказано в первый раз одно из самых важных их свойств, именно то, что три поверхности с центром, эллипсоид и два гиперболоида[7], имеют всегда систему трех взаимно-перпендикулярных сопряженных диаметров[8].

47. Впоследствии ученики Монжа с успехом разрабатывали теорию поверхностей второго порядка и пошли весьма далеко в изучении их свойств: сначала тех, которые касаются каждой поверхности в отдельности и в соотношении её с простейшими геометрическими формами, т. е. [278]с точкою, прямою и плоскостью, а потом — тех, которые вытекают из сравнения двух или нескольких поверхностей между собою. И в этих более сложных изысканиях первые шаги сделаны были Монжем. Мы не можем входить в подробности обо всех этих открытиях, как они нам ни кажутся привлекательны. Они так тесно связаны со всеми геометрическими исследованиями последних тридцати лет, что нам пришлось бы входить в излишние подробности, которых мы принуждены избегать. Чтобы дополнить недосказанное нами, укажем на то место, где Дюпен, разбирая труды Монжа по аналитической геометрии, припоминает заслуги его учеников и на введение к Traité des propriétés projectives, где Понселе весьма подробно и с похвальною заботливостью указал первенство, которое другие геометры могут предъявить по поводу открытия некоторых геометрических истин, вытекающих естественным образом из его нового учения.

48. Развитие, к которому способна теория поверхностей второго порядка. Не смотря на важность успехов; достигнутых в теории поверхностей второго порядка, должно заметить, что эти успехи составляют весьма малую долю тех, к которым по-видимому способна эта теория. Мы легко поймем это, бросив взгляд на важнейшие свойства конических сечений, которым соответственные еще далеко не все найдены в поверхностях второго порядка. Такие аналогичные свойства необходимо существуют, хотя бы только потому, что они должны давать, как следствия, свойства конических сечений, когда предположим, что поверхность теряет одно из своих измерений и обращается в кривую линию. Но поверхности второго порядка должны представлять не только все особенности конических сечений, но вследствие своей более полной формы, о трех измерениях, еще множество других, исчезающих с уничтожением одного из измерений; таковы например линии кривизны, которые были в первый [279]раз указаны Монжем и в которых Бине и Дюпен открыли потом замечательные свойства[9].

Ограничиваясь только теми свойствами поверхностей второго порядка, которые можно предвидеть из простой аналогии их с коническими сечениями, укажем например на фокусы этих кривых, представляющие источник самых красивых и важных их свойств. Эти точки находятся также в трех поверхностях вращения (в растянутом эллипсоиде, гиперболоиде с двумя полостями и параболоиде) и в них Дюпен открыл также драгоценные свойства как для теории, так и для объяснения некоторых физических явлений[10]. Без сомнения это есть указание на то, что нечто подобное и притом более общее должно иметь место для всякой поверхности второго порядка; но мы не знаем пытался ли до сих пор кто-нибудь исследовать этот вопрос.

Убежденные в том, что такая теория, соответствующая в поверхностях второго порядка теории фокусов конических сечений, будет новым источником свойств интересных и чрезвычайно полезных для более совершенного познания этих поверхностей, мы избрали ее предметом своих изысканий. Аналогия между фокусами конических сечений и известными прямыми в конусах второго порядка[11], проведенная нами довольно далеко, естественным образом навела нас на подобные же свойства поверхностей, указав, что в них кривые линии должны играть роль прямых в конусе и точек в конических сечениях. В Примечании XXXI предлагаем несколько выводов, которые позволяют предположить, что мы нашли такую аналогию. Впоследствии мы рассчитываем издать нашу [280]работу, теперь же сообщаем заранее первые результаты, выражая при этом искреннее желание, чтобы положенное нами начало привлекло внимание геометров и вызвало новые работы об этом предмете.

49. Есть еще другой вопрос, от которого также зависят будущие успехи теории поверхностей второго порядка и важность которого была оценена Брюссельскою Академией. Это — аналогия, которая должна существовать между некоторым еще неизвестным свойством этих поверхностей и знаменитою теоремою Паскаля в конических сечениях[12].

Эта теорема, независимо от различных преобразований, к которым она способна, и понимаемая единственно со стороны свойственных ей формы и изложения, может быть рассматриваема с двух различных точек зрения. На нее можно смотреть, как на общее и постоянное соотношение между шестью произвольными точками конического сечения, т. е. числом на единицу большим того, какое нужно для определения кривой; или же — как на общее свойство конического сечения относительно треугольника, произвольно помещенного в плоскости кривой[13].

Вследствие этого в пространстве можно двояким образом представлять себе аналогию с теоремой Паскаля.

С первой точки зрения это будет общее свойство десяти точек поверхности второго порядка, т. е. числа на единицу большего, чем то, которое нужно для определения поверхности; со второй же точки зрения это будет общее свойство, вытекающее из сопоставления поверхности второго порядка с тетраэдром как угодно помещенным в пространстве. [281]

Первый вопрос, который должен быть особенно полезен для теории поверхностей второго порядка, был предложен Брюссельскою Академиею в 1825 году, но остался не решенным. На следующем конкурсе Академия дала больший простор геометрам, приглашая просто найти для поверхностей второго порядка теорему аналогическую теореме Паскаля в конических сечениях; здесь заключался и прежний вопрос, но в то же время предоставлялась полная свобода во взглядах на теорему Паскаля и на ту аналогию, которая в этом отношении может существовать между линиями и поверхностями второго порядка.

В этом виде вопрос Академии не представляет таких трудностей, как прежде. Думаем, что он разрешается теоремой, которую мы предлагаем в Примечании XXXII. Действительно, эта теорема выражает общее свойство тетраэдра относительно поверхности второго порядка, аналогичное с свойством треугольника относительно конического сечения, выражаемым теоремою Паскаля. Но от этой теоремы еще далеко до общего соотношения между десятью произвольными точками поверхности второго порядка; изыскание такого свойства достойно внимания геометров. Нет сомнения, что мы не имеем еще всех элементов, необходимых для подобного изыскания; в этом мы видим повод изучать свойства поверхностей второго порядка со всевозможных сторон и во всевозможных отношениях. Нельзя пренебрегать никакою теорией, никаким открытием, как бы ни казалось оно на первый взгляд ничтожно; ибо всякая частная истина, если она и не имеет непосредственного применения, имеет значение как звено в непрерывной цели, связывающей многочисленные истины этой обширной теории; и может быть в этом именно звене лежит зародыш великих открытий, из которых быстро разовьются методы обобщения новейшей геометрии.

50. Полезным подготовительным трудом для получения соотношения между десятью точками поверхности было бы полное решение во всевозможных случаях задачи о построении [282]поверхности второго порядка, определяемой девятью условиями, именно проходящей через данные точки и касающейся данных плоскостей. Задача эта и сама по себе заслуживает внимания геометров. Однако до сих пор только Ламе занимался одним из общих, представляемых ею, случаев: этот искусный профессор определил элементы, достаточные для построения поверхности второго порядка, проходящей через девять данных точек[14]. Но исследование общего решения и разбор следствий и частных случаев при этом встречающихся требуют еще новых изысканий.

Прежде чем серьезно приниматься за вопрос о десяти точках поверхности второго порядка, может быть было бы также полезно исследовать общее соотношение между девятью точками кривой двоякой кривизны четвертого порядка, представляющей пересечение двух поверхностей второго порядка. Такая кривая определяется в пространстве восемью точками и, следовательно, между этими точками и девятою должно существовать постоянное соотношение, выражающее, что эта девятая точка лежит на кривой, определяемой восемью первыми точками.

Но еще ранее представляется вопрос о соотношении между семью точками кривой двоякой кривизны третьего порядка, представляющей пересечение двух гиперболоидов с одною полостью, имеющих общую образующую, — кривой, которая определяется в пространстве шестью произвольными точками. Этот вопрос не представляет таких трудностей, как вышеуказанные, и кажется вполне разрешен нами (См. Примечание XXXIII).

Может быть, наконец, за основу и образец сравнения следует принимать не теорему Паскаля, но сделать такие же попытки с другими теоремами, выражающими подобно ей свойство шести точек конического сечения и представляющими [283]ее следствия или видоизменения, как это показано в Примечании XV. Мы предполагали, что одна из этих теорем, представляющая как бы особое выражение ангармонического свойства точек конического сечения (Прим. XV, n° 21), может, при посредстве трех трансверсалей, произвольно проведенных в пространстве, повести к искомому соотношению между десятью точками поверхности второго порядка. Наши первые усилия оказались бесплодны; но мы еще сохраняем некоторую надежду на эту теорему и желали бы встретить попытки извлечь из неё, что можно.

51. Кривые двоякой кривизны третьего и четвертого порядка. Кривые двоякой кривизны четвертого и третьего порядка, которые естественным образом встречаются в важном вопросе о десяти точках поверхности второго порядка, заслуживают и по другим причинам изучения со стороны геометров. Сами эти кривые, подобно поверхностям второго порядка, могут представлять в пространстве различные аналогии с коническими сечениями и есть множество вопросов, в которых они встретятся, если, не ограничиваясь в геометрических исследованиях одними коническими сечениями, мы перейдем к более трудным вопросам, разрешаемым при помощи совокупности нескольких поверхностей второго порядка.

Кривые, о которых мы теперь говорим, изучены еще очень мало; мы знаем немногие общие свойства только кривых четвертого порядка, доказанные Гашеттом, Понселе и Кетле. Гашетт рассматривал эти кривые, как пересечение двух конусов второго порядка и исследовал формы тех плоских кривых четвертой степени, которые из них получаются в проложении или перспективе[15].

Понселе, в Traité des propriétés projectives (n° 616), доказал, что через кривую четвертого порядка, происходящую от пересечения двух поверхностей второй степени, можно вообще провести четыре конуса второго порядка. [284]

Наконец, Кетле показал, что, пролагая на плоскость кривую пересечения двух известным образом определенных поверхностей второго порядка, можно получить все плоские кривые третьего порядка[16]. Эта теорема, полезная для получения свойств плоских кривых третьего порядка при помощи известных свойств кривых двоякой кривизны четвертого порядка и обратно[17], может быть представлена в более общем виде, причем её применения часто становятся более удобными и обширными. Теорема эта может быть высказана так: кривая пересечения двух поверхностей второго порядка дает в перспективном проложении на плоскость из точки зрения, помещенной на самой кривой, — все кривые третьего порядка.

52. Прекрасное предложение Кетле вызвало предположение, что проекция, или вообще перспектива, линии пересечения двух поверхностей второго порядка может дать все плоские кривые четвертого порядка и что для этого достаточно поместить точку зрения вне этой линии. Но мы можем, кажется, отвечать на этот вопрос отрицательно и выразить в следующей теореме особенность кривых четвертого порядка, получаемых от перспективного проложения линии пересечения двух поверхностей второго порядка: такая кривая имеет всегда (и вообще, если исключим частные видоизменения) две двойные или сопряженные точки, которые могут быть и мнимыми.

Эта теорема заслуживает некоторого внимания, потому что из неё вытекают новые следствия, находящиеся в близком отношении к вопросам, занимающим геометров в последнее время. [285]

Из неё прежде всего заключаем, что кривая четвертого порядка, происходящая от перспективы пересечения двух поверхностей второго порядка, допускает не более восьми касательных, проходящих через одну произвольно взятую точку плоскости, тогда как в общей кривой четвертого порядка через одну точку могут проходить двенадцать касательных.

Из неё же следует, что развертывающаяся поверхность, описанная около двух поверхностей второго порядка, будет не выше восьмого порядка. Порядок такой поверхности в точности еще не указан; Понселе заметил только что он не превосходит числа двенадцать[18].

Приложения теоремы, о которой мы говорим, могут быть очень многочисленны, потому что часто встречаются такие кривые линии, которые могут происходить от перспективы или проекции пересечения двух поверхностей второго порядка[19]. [286]

53. Имея в виду говорить о кривых двойкой кривизны третьего и четвертого порядка, мы начали со вторых, потому что до сих пор только ими, кажется, и занимались.

Между тем кривые третьего порядка более просты и более доступны для изучения. Мы нашли, что они обладают многими интересными свойствами и представляются в очень многих вопросах. Здесь мы не можем излагать этот предмет во всем подробным развитии, какое он допускает.

Ограничимся замечанием, что перспектива кривых линий двоякой кривизны третьего порядка не дает всех плоских кривых третьей степени, но только тех, которые имеют двойную, или сопряженную, или возвратную точку.

54. Польза теории поверхностей второго порядка. Не будем более распространяться о теории поверхностей второго порядка и линий двоякой кривизны, происходящих от их пересечения. Из сказанного нами достаточно видно, к какому развитию способны эти учения и какое обширное поле для исследований еще представляют они для геометров. Эти исследования мы считаем необходимыми для того, чтобы упрочено было дальнейшее развитие геометрии и наук, порождаемых применением геометрии к физике.

В самом деле, геометрия, как и все другие положительные знания, подчинена условию, понуждающему ум человеческий твердо идти вперед не иначе, как постепенно, и непременно от простого к сложному; и, подобно тому, как конические сечения, простейшие кривые в геометрии на [287]плоскости, следовало изучить подробно и глубоко, прежде чем переходить к высшим задачам, так и в геометрии трех измерений поверхности второго порядка являются простейшими формами, изучение которых есть необходимое средство для дальнейшего движения в познании свойств пространства.

Что касается наук о явлениях природы, то поверхности второго порядка несомненно должны встречаться здесь во множестве вопросов и играть такую же важную роль, как в планетной системе — конические сечения. В наиболее ученых физико-математических изысканиях анализ уже обнаружил значение этих поверхностей; но на это столь благоприятное обстоятельство смотрят большею частью, как на случайное и второстепенное, не допуская, что оно может быть стоит в прямой зависимости от первоначальной причины явления и представляет действительное, а не случайное, основание всех обстоятельств явления.

Теперь, — когда чистая геометрия в себе самой содержит средства для вывода рациональным путем, без пособия трудных вычислений и преобразований анализа, многочисленных свойств поверхностей второго порядка и для решения относящихся сюда вопросов — естественно думать, что и в общих явлениях из области физики, где эти поверхности должны играть весьма важную роль, можно будет достигать изъяснения и даже полной теории явлений путем прямого рассуждения при помощи чистой геометрии, основываясь единственно на свойствах и общих законах явления. Другими словами, можно думать, что приложение геометрии к физическим явлениям — эта наука Кеплера, Гюйгенса, Ньютона, Маклорена, Стюарта, Ламберта, — приобретет в усовершенствованной теории поверхностей второго порядка полезное и плодотворное учение, которое даст ей новую силу после почти вековой остановки. Мы не сомневаемся, что такой путь, всегда прямой и естественный, столь удовлетворяющий нашему уму, будет могущественно [288]содействовать науке, освящая ей путь и умножая открытия во всех областях натуральной философии. [20]

Примечания

  1. За исключением гиперболоида вращения с одною полостью, которого древние не рассматривали.
  2. Introductio in analysin infinitorum, in—4°, 1748: Appendix, cap. V. [Имеется русск. пер.: Введение в анализ бесконечных. Т. 2. М.: ГИФМЛ, 1961.]
  3. Эйлер рассматривал параболический цилиндр как шестой род поверхностей второго порядка; впоследствии эту поверхность, также как цилиндр с эллиптическим и гиперболическим основанием, стали рассматривать как разновидности пяти главных родов.
  4. Мы упомянули, говоря о Дезарге, что этот геометр предложил вопрос о сечении конуса второго порядка по кругу; вопрос этот был решен им и Декартом.
  5. Opuscules mathématiques, t. VII, p. 163.
  6. Честь этого открытия, одного из важнейших в теории поверхностей второго порядка, умножившего её приложения к начертательной геометрии и к искуствам, принадлежит первым лучшим ученикам (aux élèves chefs de brigade) политехнической школы (См. Journal de l'école polytechnique, t. I, p. 5).
    Указываемое свойство гиперболоида долгое время доказывалось только путем анализа. Будучи учеником политехнической школы, я нашел чисто геометрическое доказательство, которое перешло в преподавание в школе и помещалось во многих сочинениях (См. Traité de Géométrie descriptive de Vallée, p. 86 и Leroy, p. 267).
    Доказательство это основывается на следующей теореме: Если прямая перемещается, пересекая противоположные стороны , косого четырёхугольника в таких точках , что
    ,
    где постоянное, то она огибает гиперболоид с одною полостью.
    Это потому, что она будет опираться во всех своих положениях на всякую другую прямую, пересекающуюся с двумя другими противоположными сторонами четырёхугольника, в двух точках , для которых будет
    (См. Correspondance polytechnique, t. II, p. 446).
    Доказательство этой теоремы очень просто и требует только знания Птоломеевой теоремы о треугольнике, пересеченном трансверсалью (Correspondance polytechnique, t. III, p. 6). Впоследствии теория ангармонического отношения представила нам другое, еще более простое и элементарное доказательство, основывающееся только на понятии об ангармоннческом отношении (См. Примечание IX).
    Эта теорема прилагается также к образованию конических сечений и выражает прекрасное общее свойство этих кривых (См. Correspondance mathématique de Quetelet, t. IV, p. 363).
    Сказав, что двоякое образование гиперболоида с одною полостью получило начало в политехнической школе, мы разумеем только гиперболоид с неравными осями и должны прибавить, что двоякое образование с помощью прямой линии гиперболоида вращения с одною полостью было уже известно, хотя может быть забыто; оно было открыто уже очень давно и редко воспроизводилось. По нашему мнению оно было сделано Вреном, который поместил об этом в Philosophical Transactions (1669, p. 961) весьма короткую заметку под заглавием: Generatio corporis cylindroidis hyperbolici, elaborandis lentibus hypcrbolicis accomodati. Врен указывает на применение, которое можно сделать из такого образования посредством прямой, к выделке гиперболических стекол.
    В 1698 году Паран также нашел это свойство гиперболоида вращения и доказал его аналитически и посредством простых геометрических соображений в двух различных мемуарах (Essais et recherches de mathématique et de physique, t. II, p. 645 et t. III, p. 570). Этого свойства не имеют другия поверхности, происходящие от обращения конического сечения около главной оси, и Паран называет гиперболоид с одною полостью самою полною из этих поверхностей, потому что на нем имеют место сечения шести различных видов, именно: две параллельные прямые, две линии пересекающиеся, круг, парабола, эллипс и гипербола. Паран называет эту поверхность, также как Врен, гиперболическим цилиндроидом и также пользуется образованием посредством прямой линии для выделки на токарном стане гиперболических стекол, пригодных в диоптрике.
    Sauveur доказал также это свойство гиперболоида вращения и еще несколько других предложений о объемах и поверхностях коноидов; содержание предложений было ему указано Параном (Essais et recherches de mathématiques et de physique, t. III, p. 526)
  7. Конус второго порядка мы рассматриваем как частный случай гиперболоидов, подобно тому как в геометрии на плоскости две пересекающиеся прямые рассматриваются как частная или предельная форма гиперболы. Поэтому мы и не поместили конуса в числе главных поверхностей с центром.
  8. См. 11-ю тетрадь Journal de l'école polytechnique, p. 107.
  9. Дюпену удалось, кроме других прекрасных результатов получить путем чисто геометрических соображений механическое черчение диний кривизны поверхностей второго порядка. (Journal de l'école polytechnique, 14-e cahier).
  10. Applications de Géométrie, in—4°, 1818.
  11. Mémoire de Géométrie, sur les cônes du second degré.
  12. То, что мы говором о теореме Паскаля, относится также и к теореме Брианшона, которая в теории конических сечений играет точно такую же роль.
  13. Такой треугольник образуется например сторонами нечетного порядка в треугольнике Паскалевой теоремы и тогда теорема эта выражает, что три хорды конического сечения, определяемые тремя углами треугольника, встречают соответственно три противоположные стороны в трех точках, лежащих на одной прямой.
  14. Examen des différents méthodes employées pour résoudre les problèmes de Géométrie, in—8°, 1818.
  15. Correspondance sur l'école polytechnique, t. I, p. 368.
  16. Correspondance mathématique de Bruxelles, t. V, p. 195.
  17. Из того например, что плоская кривая третьего порядка имеет вообще три точки перегиба, лежащие на одной прямой, заключаем: 1° что через любую точку кривой двоякой кривизны четвертого порядка можно вообще провести три плоскости, прикасающиеся к этой кривой в трех других точках и 2° что три последние точки лежат в одной плоскости с той, через которую были проведены три плоскости.
  18. Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques, n° 103. Crelle's Journal, t. IV.
  19. Так например, овалы Декарта, или апланетические линии, суть стереографические проекции линии пересечения сферы с конусом вращения (теорема Кетле, см. Прим. XXI). Отсюда заключаем, что эти знаменитые овалы всегда имеют две сопряженные мнимые точки в бесконечности. Может быть другим путем этого и нельзя бы было обнаружить, потому что до сих пор при изыскании особых точек не обращалось внимания на мнимые решения, также как и на точки бесконечно удаленные, которые часто ускользают от анализа. Те и другие однако принадлежат к особенностям кривых линий и должны играть важную роль в их теории.
    Точно также лемнискаты, образуемые основаниями перпендикуляров, опускаемых из неподвижной точки на касательные конического сечения, суть стереографические проекции пересечения сферы с конусом второго порядка (теорема Данделена, см. Nouveau mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. 4); из этого следует, что эти кривые имеют две сопряженные мнимые точки в бесконечности. Известно, что они кроме того имеют всегда третью, всегда действительную двойную, или сопряженную точку, именно — точку, из которой опускаются перпендикуляры на касательные, и что кривые эти допускают не более шести касательных из одной точки. К этому заключению я был приведен также и другими соображениями, не выходящими из области плоской геометрии.
    Многие другие кривые четвертого порядка имеют также сопряженные мнимые точки в бесконечности; таковы спирические линии, т. е. плоские сечения кольцеобразной поверхности, кассиноида и другия.
  20. Только что вышедший мемуар Пуансо о вращательном движении тел представляет разительный пример удобства и выгод геометрического метода, о котором мы говорим. Трудный вопрос, стоивший в течении целого века стольких усилий самым знаменитым аналистам, исследован здесь с такою удивительною ясностью и простотою, что ими лучше всего может быть уничтожен предрассудок, в силу которого за геометрией признается только древность происхождения, а не характер её заслуг и её научного назначения, — отрицается её способность к развитию, причем геометрию уподобляют мертвому языку, бесполезному и неспособному более служить потребностям человеческого ума. Этому ошибочному взгляду, который может только препятствовать прогрессу науки, мы позволим себе противопоставить следующее мнение знаменитого автора Mécanique analytique, высказанное шестьдесят лет тому назад по поводу великих задач системы мира, — задач, в которых геометрия опередила анализ: «Какие бы преимущества не представлял алгебраический анализ перед геометрическими приемами древних, обыкновенно называемыми, хотя весьма не соответственно с сущностью дела синтезом, тем не менее существуют задачи, в которых эти приемы предпочтительны как по особой ясности, так и по простоте и изяществу доставляемых ими решений. Есть даже такие вопросы, в которых алгебраический анализ кажется совсем недостаточным и решение которых по-видимому может быть достигнуто только синтетическим путем», (Sur l’attraction des sphéroïdes elliptiques. Nouveaux Mémoires de l’Académie de Berlin, 1773).