Квадратура круга (Перельман)/Глава 6

Квадратура круга — Глава 6
автор Яков Исидорович Перельман (1882-1942)

Опубл.: 1941.

Десять задач

1. В старину при определении площади круглого участка землемеры часто поступали так: считали круг равновеликим квадрату, периметр которого равен длине окружности измеряемого участка. Какую относительную ошибку (в процентах) они при этом делали, если принять $\pi$ = 3,14? (Этот способ восходит к временам древнего Египта: он указан, наряду c другими, в папирусе Ринда. В средние века он был широко распространён также в Европе).

2. В древней египетской рукописи (в „папирусе Ринда“) находим следующее правило для определения площади круга: она равна площади квадрата, сторона которого составляет ${\frac {8}{9}}$ диаметра круга. Определите относительную ошибку такого расчёта в %%, принимая $\pi$ == 3,14.

3. У нас встарину употреблялся сходный с древнеегипетским (см. предыдущую задачу) приём вычисления площади круга, рекомендуемый старинными русскими руководствами по землемерному делу — площадь круга приравнивалась площади квадрата со сторонами, равными ${\frac {7}{8}}$ диаметра. Какой способ точнее — этот или древнеегипетский?

4. Валлис нашёл (1656 г.) для вычисления $\pi$ следующий ряд

${\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}$

и т.д.

Лейбниц вывел (1674) такое равенство:

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+...$ и т.д.

Почему этими равенствами нельзя воспользоваться для точной квадратуры круга?

5. Индусский математик Брамагупта (VII век) предложил для $\pi$ следующее приближённое выражение:

$\pi ={\sqrt {10}}$

Как помощью этого выражения приближённо решить задачу о квадратуре круга?

6. Проверьте следующее приближённое равенство:

$\pi ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$

Как воспользоваться этим соотношением для приближённой квадратуры круга?

7. Проверьте; приближенное равенство

$\pi =1,8+{\sqrt {1,8}}$

Как воспользоваться им для приближенной квадратуры круга?

8. Проверьте следующее соотношение: периметр прямоугольного треугольника с катетами в $1{\frac {1}{5}}$ и ${\frac {3}{5}}$ диаметра круга, приближённо равен длине окружности этого круга.

Как помощью этого соотношения приближённо решить задачу о квадратуре круга?

9. Голландский инженер Петр Меций нашёл (в 1585 г.) для $\pi$ легко запоминаемое выражение ${\frac {355}{113}}$. Представив его в виде десятичной дроби, установите, сколько в ней верных цифр.

10. придумайте самостоятельно какое-нибудь правило, практически удобное для быстрого приближенного вычисления площади круга.