Откуда: (Q-Q)R2=Q(R2-V),
или . (Q—q)R2=Q(R+d)(R—a).
При неограниченномъ удвоеніи числа сторонъ многоугольниковъ разность R—а, по доказанному въ предыдухцей леммѣ, стремится къ нулю, сомножитель Q уменьшается[1] , а, сомножитель R+a всегда остается меньше R+R; вслѣдствіе этого правая часть послѣдняго равенства (слѣд., и лѣвая его часть), при неограниченномъ удвоеніи числа сторонъ мн-ковъ, стремится къ нулю. Ho лѣвая часть равепстга, представляя собою произведеніе, въ которомъ множитель R2-число постоянное, можеть стремиться къ нулю только тогда, когда его множимое стремится къ нулю; множимое же Q—g и есть разность площадей правильныхъ мйогоугольниковъ, описаннаго и вписаннаго.
331. Замѣчаніе. Такимъ же путемъ мы можѳмъ доказать,что разность между периметромъ описаннаго и периметромъ одноименнаго вписаннаго правильнаго мн-ка, при неограниченномъ удвоеніи числа ихъ сторонъ, стремится къ нулю.
Дѣйствительно, если P и р будутъ периметры одноименныхъ правильтіыхъ мн-ковъ, описаннаго и вписаннаго, то (268):
^ P : р = Е : а.
Откуда:
(Р—р) Р = (Р—а) : Ry
и, слѣд.,
(Р—-р) R = CR—а) Р.
При неограниченномъ удвоеніи ѵчисла сторонъ мн-ковъ правая часть послѣдняго равенства (слѣд., и его лѣвая часть) стремится кд» нулю, такъ какъ множимое R—а, по доказанному, етремится къ нулю, а множитель P уменьшается. Ho лѣвая часть равенства, представляя собою произведеніе, въ которомъ множитель R—число постоянное, можетъ стремиться къ нул“ю только тогда, когда его множимое стремится къ нулю;- а .множимое и есть разность пери- метровъ P и р. ;
332. Теорема. Площадь круга есть oбщій предѣлъ площадей правидьныхъ вписанныхъ въ этотъ кругъ и описанныхъ онвло него многоугольниковъ при неограниченномъ удвоеніи числа ихъ сторонъ.
Пусть около круга, площадь котораго мы обозначимъ К, описанъ какой-нибудь правильний мн-къ и въ него вписанъ
- ↑ такъ какъ при каждомъ удвоеніи числа сторонъ правильнаго опиеаннаго мн-ка отъ его угловъ ерѣзываютсй небольшіе тр-ки, отчего, конечно, площадь мн-ка уменьшается.
