398. Теорема. Bo всякомъ выпукломъ многогранномъ углѣ сумма всѣхъ плоскихъ угловъ меньше 4d.
Пересѣчемъ грани (черт. 347) выпуклаго угла SABCDE какою-нибудь плоскостью; отъ этого въ сѣченіи нолучимъ выпуклый n-угольникъ ABCDE. Примѣняя теорему нредыдущаго параграфа къ каждому изъ трегранныхъ угловъ, образовавшихся при точ- кахъ А, В, С, D II Е, находимъ: ABCKABSISBC; ВСВ<ВСЗЕ SCD,... Сложимъ почленно всѣ эти неравенства. Тогда въ лѣвой части получимъ сумму всѣхъ угловъ многоугольника ABCDE, которая равна 2(Zn—4с? (89), а въ правой—сумму угловъ тр-ковъ ASB, BSC... кромѣ тѣхъ угловъ, которые лежатъ при вершинѣ S. Обозначивъ сумму этихъ послѣднихъ угловъ буквою х, мы получимъ послѣ сложенія: 2 dn—AdKUn—х Откѵда: aKAd.
Равенство трехгранныхъ угловъ.
З99. Дополнительный уголъ. Изъ вершины S (чёрт. 348) треграннаго угла SABC возставимъ къ грани ASB перпендикуляръ SC_1 направляя его въ ту сторону отъ этой грани, въ которой расположено противоположное ребро SC. Подобно этому проведемъ перпендикуляръ SA_1 къ грани BSC и SB_1 къ грани ASC. Трегранный уголъ, у котораго ребрами служатъ полупрямыя SA_1, SB_1 и FC_1, наз. дополнительнымъ для угла SABC.
Замѣтимъ, что если для угла SABC дополнительнымъ угломъ служитъ уголъ SA_1B_1C_1, то и наоборотъ: для уг. SA_1B_1C_1 дополнительнымъ угломъ будетъ SABC. Дѣйствительно, плоскость SA_1B_1, проходя черезъ перпендикуляры къ плоскостямъ BSC и ASC, перпендикулярна
