Въ концѣ главы о параллельныхъ прямыхъ мы помѣстили теперь (мелкимъ шрифтомъ) добавленіе, могущее, какъ намъ кажется, заинтересовать многихъ любознательныхъ учениковъ: «0 постулатѣ параллельныхъ линій»; въ этомъ добавленіи мы даемъ понятіе о важной роли этого постулата, а также и о «не-Эвклидовыхъ» геометріяхъ.
2°. Въ главѣ «Параллелограммы и трапеціи» мы теперь излагаемъ и тѣ теоремы, доказательство которыхъ въ предыдущихъ изданіяхъ предоставлялось самимъ учащимся; таковы, напр., обратныя теоремы: «всякій четыреугольникъ, котораго діагонали дѣлятся пополамъ, есть параллелограммъ» (§ 101), «всякій параллелограммъ, у котораго діагонали равны, есть прямоугольникъ» (§ 105), и т. п.
3°. Въ главѣ «Свойства касательной» болѣе подробно и систематично; чѣмъ прежде, разсматривается относительное положеніе прямой и окружности (§ 135), вслѣдствіе чего дальнѣйшее изложеніе свойствъ касательной упрощается. Въ той же главѣ теперь мы подробно излагаемъ (§ 142) доказательство (которое прежде предоставлялось самимъ ученикамъ) правильности рѣшенія задачи о проведеніи касательныхъ,. общихъ двумъ даннымъ окружностямъ.
4°. Въ главѣ «Измѣреніе величинъ» нѣсколько упрощено (§ 156) доказательство теоремы о несоизмѣримости основанія и боковой стороны равнобедреннаго треугольника, у котораго уголъ при основаніи равенъ ⅖d, а также добавлена (мелкимъ шрифтомъ, § 157) классическая теорема о несоизмѣримости діагонали квадрата съ его стороной.
5°. Въ книгѣ III подобіе треугольниковъ отдѣлено отъ подобія многоугольниковъ болѣе, чѣмъ это дѣлалось прежде, причемъ, ранѣе опредѣленій подобія тѣхъ и другихъ, предварительно устанавливается (въ леммахъ §§ 196 и 205), возможность существованія тѣхъ фигуръ, о которыхъ будетъ затѣмъ говориться въ опредѣленіяхъ.
6°. Существенному измѣненію подверглось доказательство теоремы Птоломея. Въ прежнихъ изданіяхъ эта теорема (§ 215 прежнихъ изданій) излагалась мелкимъ шрифтомъ, какъ слѣдствіе изъ формулъ, найденныхъ раньше, путемъ довольно сложныхъ вычисленій, для діагоналей вписаннаго четыреугольника; теперь мы даемъ классическое доказательство (§ 242) этой весьма важной теоремы и излагаемъ ее обыкновеннымъ шрифтомъ. Вычисленіе же діагоналей описаннаго четыреугольника (оставляя его въ мелкомъ шрифтѣ) мы основы-
