в каждом из произведений таблицы умножения от 1x1 до 9x9 десятки отделяются от единиц и записываются так, чтобы при комбинации этих произведений, при умножении многозначного числа на однозначное, можно было десятки одного произведения непосредственно прочесть под единицами произведения следующего разряда и, следовательно, свести все умножение к одному сложению.
Для схематического изображения этого приспособления положим, что для цифр 0, 1, 2,..., 9 заготовлены «палочки», на к-рых нанесены произведения этих цифр на 0, 1, 2, 3,..., 9; каждое из этих произведений записано в соответствующую клетку (рис. 1); при этом десятки записаны в нижнем левом углу клетки, единицы — в верхнем правом. Например, на палочке «9» последовательно нанесено: 0/°; 0/9; х/8; г/’ и т. д. до в/1. Положим теперь, что требуется произвести умножение числа 434.294 (выставленного с помощью палочек на рисунке) на какой-либо однозначный множитель, напр., 7. Для этого достаточно прочесть на палочках против множителя 7 все цифры верхнего ряда: 818.438 (единицы) и нижнего ряда: 222.162 (десятки) и сложить их, сдвинув второй ряд на одно место влево в отношении первого ряда: 818438 222162 3040058
На палочках это сводится к тому, что все произведение можно непосредственно прочесть, начиная с правого конца, складывая в*уме цифры, стоящие в клетках данного ряда в направлении их диагоналей (в нашем примере: 8; 3 + 2; 4 + 6, ит. д.), перенося, конечно, десятки в суммах к единицам следующего разряда. Так, по последней строке рисунка находим: 434.294x9 = 3.908.646. Весьма любопытно, что идея умножения по этому способу осуществлена в одной из наиболее совершенных современных множительных машин («Миллионер», см. ниже).
История В. м. в тесном смысле этого слова начинается с попыток Паскаля, к-рый в 1641, не имея предшественников, сконструировал первую машину; правда, она имела назначением производить только сложения и вычитания путем последовательного прибавления или отнятия единиц отдельных разрядов, но механическая передача десятков была в ней принципиально осуществлена. Сохранилось 7 экземпляров машины Паскаля; один из них в Conservatoire des Arts et Metiers (Музей искусств и ремесл) в Париже, где имеется полная коллекция математических инструментов и где, между прочим, хранится единственная модель арифмометра П. Л. Чебышева. Технически в машине Паскаля имелось много недостатков.
Гораздо значительнее и глубже были в этом направлении работы Лейбница, одного из самых разносторонних мыслителей всех времен; Лейбниц работал над идеей универсальной машины для всех четырех действий и изобрел ряд важнейших ее органов, применяемых и посейчас в нек-рых типах вычислительных машин («Томас», «Саксония», «Архимед»). На изготовление моделей Лейбницем были затрачены весьма значительные суммы, но из-за нек-рых случайных дефектов машины его не могли быть приведены в действие. В наст, время к типу В. м. Лейбница могут быть отнесены все машины, «работающие по принципу сложения», т. е. производящие умножение как повторное сложение, деление как многократное вычитание. Существенными частями их являются: установочное приспособление и подвижная каретка, в которой заключена счетная часть машины (так наз. результирующий счетчик исчетчик числа оборотов). При умножении множимое устанавливается в установочном приспособлении (на спицах или кнопках), множитель постепенно «накручивается» в счетчике оборотов; произведение появляется в результирующем счетчике. Основных типов машин этого рода два: Томас-машины и Однер-машины, со всеми их позднейшими усовершенствованиями.
Конструкция машин типа Томаса (1820) ясна из рис. 2. Одним из основных ее органов, изобретение которого и составляет важнейшую заслугу Лейбница в истории В. м., являются т. н. ступенчатые валики W (Staffelwalzen, tambours dent6s); это — цилиндрические вальцы, на поверхности которых имеется по девяти зубьев неодинаковой длины; этими зубьями занята приблизительно треть поверхности валика (обращенная к читателю на рис. 2). Над этими валиками двигаются 10 — зубчатые шестеренки В, насаженные на оси А четырехгранного сечения. Это передвижение шестеренок по осям А производится помощью кнопок, двигающихся в прорезях крышки машины; т. о., вычислитель может каждую из них поставить на любую цифру по указателю на крышке; при этом, если шестеренка В поставлена, напр., на цифру 5, то при вращении валика W она может войти в сцепление только с 5 зубцами этого валика. Поэтому, когда при повороте главного вала машины внешней рукояткой К все ступенчатые валики совершают один полный оборот, данная шестеренка пройдет только 5 десятых своего оборота, и потому повернет на такой же угол четырехгранную ось А (ибо при такой форме сечения оси шестеренка может вращаться только вместе с ней); на левом конце оси А
Рис. 2. Машина Лейбница (конструкция Томаса).
имеется коническое зубчатое колесо F, к-рое тоже повернется на пять делений, передавая это вращение шестеренке G, связанной с цифровым колесом I; поэтому, если до поворота валика данное колесо показывало в окошке цифру 0, то после поворота оно покажет цифру 5. Аналогичное движение произойдет и на прочих цифровых колесах, сообразно тем положениям, на которые установлены прочие зубчатки В над соответствующими валиками W. Остается дополнить конструкцию «передачей десятков». Простейший способ, именно снабжение каждого цифрового колеса одним зубом, к-рый проталкивал бы цифровое колесо следующего разряда на одно деление, когда данное колесо переходит с 9 на 0, оказывается применимым лишь в машинах, предназначенных только для сложения, если в них цифры устанавливаются последовательно. В машинах для умножения, где переход через 0 в одном разряде может повлечь целый ряд передач десятков в следующих разрядах, происходит всегда двухфазная передача десятков. Здесь цифровое колесо при переходе с 9 на 0 с помощью имеющегося на нем кулачка N выдвигает зуб Z, насаженный на следующем ступенчатом валике W, что достигается системой рычагов Нп Н2 и муфточки т; в этом состоит первая фаза — именно подготовка передачи; при дальнейшем вращении рукоятки (в пределах того же оборота, пока свободные от спиц части валика W проходят под осями А), зуб Z входит в зацепление с особой зубчаткой Q, насаженной на четырехгранной оси А, к-рая при этом и поворачивает на одно деление свое цифровое колесо, чем и осуществляется передача десятков для данной пары цифровых колес; в дальнейшей части оборота ручки К, муфточка т наталкивается своим скошенным кулачком на неподвижный штифт S и возвращается в исходное положение, а вслед за нею
