КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — КОНХОНДАЧтобы определить поток для любого профиля, напр. для профиля крыла аэроплана, достаточно отобразить конформно область, лежащую вне круга, на область, лежащую вне профиля крыла. Линии тока для круга перейдут при этом в новые линии (рис. 2), которые, как можно показать, будут линиями тока при обтекании крыла. Таким образом, при помощи К. о. мы можем получить полную картину течения вокруг заданного тела.
К. о. представляет частный случай однозначных и непрерывных преобразований (см.), переводящих область (см.) в область. При этих преобразованиях двухмерные области переходят снова в двухмерные, трехмерные — в трехмерные, и граница области переходит в границу.
Всякое К. о. трехмерных областей переводит шары и пло — тельно выполненным одному преобразованию инверсии (см.) и одному преобразованию подобия. Несравненно сложнее и многообразнее К. о. двухмерных областей.
Пользуясь тем, что два выполненных одно за другим К. о. снова дают К. о., можно общую задачу свести к двум следующим задачам: 1) конформно отобразить данную двухмерную область на какую-либо плоскую область и 2) данную плоскую область отобразить на другую фиксированную плоскую область (напри, ер — на круг, полуплоскость, круговое кольцо и т. п.). Последняя задача решается посредством аналитических функций.
Если ввести комплексные переменные z и зѵ в плоскостях оригинала и образа, то w, рассматриваемая при К. о. как фуньция z, является или аналитической функцией (К. о. первого рода) или функцией сопряженной
Рис. 4.
Рис. 5.
аналитической (К. о. второго рода). На рис. 3 показан пример К. о. внутренности круга на внутренность улитки Паскаля (см.), при ко ором диаметры круга переходят в параболы, а концентрические круги — в улитки Паскаля (углы между линиями сохраняются в образе). Это К. о. можно осуществить посредством функции w — az+bz* (Ь>а>0). Полагая z — r (cosy+i sin?), имеем: и=ar cos у 4 — br cos 2ф, ѵ= г sin у 4 — br2 sin 2 у. Если в последних формулах положим г — Const <1 (z описьтает окружность), то получаем уравнение улитки Паскаля, к-рую опишет и; если положим у= Const (z описывает радиус), то получим уравнение параболы, описываемой при этом w. При К. о. первого рода сохраняются не только величины углов, но и направления их отсчета (рис. 4); при К. о. второго рода направление отсчета изменяется на противоположное (рис. 5). Всякое К. о. второго рода можно получить, выполняя нек-рое К. о. первого рода и зеркальное отображение относительно некоторой прямой. Основная теорема (для К. о. первого рода) гласит: круг может быть конформно отображен на любую область, граница которой содержит более двух точек, причем аналитическая функция, осуществляющая отображение, будет вполне определена, если внутри оригинала и образа фиксировать по точке, с выходящими из них направлениями, к-рые должны переходить друг в друга (Риман, Пуанкаре и Кёбе). В случае, когда образ есть односвязная Ьбласть, отображение будет взаимно однозначным. Углы на границе могут и не сохраняться (напр. при отображении круга на прямоугольник). Для наиболее общих областей на границе нарушается также однозначность и непрерывность отображения. Уже в простейших случаях К. о. приводит к сложным функциям.
Так, функция, отображающая круг на прямоугольник, выражается через эллиптические интегралы. Поэтому на практике прибегают к разного рода приближенным методам построения К. о.
Обобщенные К. о. При К. о. образом каждого оесконечно-малого круга является, с точностью до бесконечно-малых высших порядков, также круг. Обобщения К. о. представляют такие преобразования, при к-рыхобразами бесконечно-малых кругов являются, с точностью до бесконечно-малЫх высших порядков, эллипсы, отношения полуосей к-рых заключаются в фиксированных нределах (Греч, Лаврентьев). При этих отображениях углы, вообще говоря, не сохраняются. Такого рода отображения находят приложение в задачах К. о. двухмерных римановых многообразій (неевклидовых плоскостей), а также в задачах газовой динамики.
Лит,: Смирнов В. И., Курс высшей математики для техников и физиков, т. Ill, М. — Л., 1933; Карате одориК., Конформное отображение, пер. с англ.
М. Келдыш, М. — Л., 1934; КурантР., Геометрическая теория функций комплексной переменной, пер. с 3 нем. изд. Ю. В. Икорникова, Л. — М., 1934; Julia G., Le? ons sur la representation conforme des aires simplement connexes, Caniers scientifiques, P., i93i; er о же, Ltcons sur la repr6sen* ation conforme des aires multiplemen i connexes (там же), P., 1934. Приближенные методы: КанторовичЛ. В. иКрылов В. И., Методы приближенного решения уравнений в частных производных, Л., 1936. Обобщенные конформные отображения: Лаврентьев М. А., Sur une classe de representations continues, в кн.: Математический сборник, M. — Л., 1935, т. 42, вып. 4.
КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, см. Конформное отображение.
КОН-ФОССЕН (Cohn-Vossen), Стефан (1902—1936), выдающийся геометр. Родился в Бреславле; после окончания университета работая в Гёттингенском и Кёльнском ун-тах. В конце 1934 эмигрировал из фашистской Германии в Советский Союз, где работая ученым специалистом Математич. института Академии наук СССР и профессором Ленинградского ун-та.
Исследования К. относятся к одной из самых трудных и важных областей геометрии — дифференциальной геометрии «в целом» (im grossen). Здесь К. получил результаты классического значения. Об исследованиях в этой области см. обзорную статью С. Э. Ко н-Фоссена, Изгибаемость поверхностей в целом (im g-ossen), веб.
«Успехи математических наук», вып. 1, М. — Л., 1936.
К. вместе с Гильбертом выпустил известную книгу: Hilbert D. und Cohn-Vossen S., Anschauliche Geometric, B., 1932 (Die GHundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstel. 37)(есть pyc. nepeвод: Гильберт Д. и Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия, М. — Л., 1936).
КОНФУЦИ АНСТВО, см. Китайская философия.
КОНФУЦИЙ, правильнее Ку н-фу-цзы
(по преданию, р. ок. 551—479 до хр. э.), китайский философ, о жизни и деятельности к-рого имеются сведения лишь полулегендарного характера. От К. ведет начало полуполитическая, полуфилософская школа, сыгравшая большую роль в жизни Китая (5—2 вв. до хр. э.). Учение К. ярко выражает идеологию господствующих классов формировавшегося в ту эпоху в Китае феодального общества. К. безоговорочно признает обычаи старины и стремится укрепить их авторитет. Ему принадлежит произведение под заглавием «Весна и осень», летопись княжества Лу с 722 по 481 до хр. э. Кроме того, К. приписывают еще три сочинения, редакция к-рых, очевидно, была делом философов его школы. Из числа этих сочинений следует назвать «Философские диалоги». Подробное изложение учения Конфуция см. Китайская философия.
КОНХА, полукупол, обычно являющийся покрытием полуцилиндрического здания. К. изобретена в вост. архитектуре античной эпохи и получила широкое распространение в римском зодчестве, особенно в т. н. базиликах. В христианских храмах К. покрывает алтарнуючасть, т. н. абсиду.
КОНХОИДА, кривая линия 4 — го порядка, уравнение к-рой (ж2+?/2) {а — х) 2=Ъ2х2. Построение К. осуществляется следующим образом: из начала координат проводится пучок прямых, пересекаемых данной прямой, параллельной оси ординат и отстоящей от нее на расстоянии Ъ; на каждой прямой (из пучка) от точки пересечения ее с данной прямой откладываются по обе
