ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ. Задача спрямления дуги эллипса требует нахождения интеграла
, а изучение колебаний математического маятника приводит к задаче вычисления интеграла
Ни тот ни другой интеграл нельзя выразить с помощью конечного числа так наз. элементарных функций (алгебраических, показательных, логарифмических, тригонометрических и круговых). Оба интеграла, встречавшиеся уже в 17 в. в задачах спрямления дуги конических сечений (Валлис, 1655, Яков Бернулли, 1691), были известны еще Эйлеру (1760), изучались Лагранжем (1793) и особенно всесторонне Лежандром (1786—1828) и получили названиеЭ. и. В частности интеграл назван Э. и. первого рода; здесь u многозначная функция верхнего предела φ. На основании разложения Э. и. в бесконечные сходящиеся ряды составлены таблицы их значений для различных значений φ и k.
Новый этап в теории Э. и. и ф. наступил с работами Абеля (с 1823) и Якоби (с 1827), применивших теорию функций комплексного переменного, благодаря чему только и стало возможным глубоко проникнуть в познание Э. ф. Занявшись обращением Э. и., т. е. рассматривая верхний предел φ как зависимую переменную, они получили однозначные Э. ф., аналогично тому, как при обращении интеграла , являющегося многозначной функцией, получается однозначная функция . Но в отличие от тригонометрических и показательных функций Э. ф. имеют не один период, а два: если один вещественен, то другой мним. Якоби показал, что однозначные аналитические функции не могут иметь больше, чем два периода. Теоремы преобразования Э. и., сложения и умножения Э. ф. в сущности были открыты еще Гауссом (1797) на основе арифметическо-геометрической средней, но не были им опубликованы. Работу Якоби продолжил Лиувиль (1844) и Эрмит (1849). Дальнейший сдвиг теория Э. ф. получила благодаря работам Вейерштрасса (1840), указавшего другие Э. ф., названные его именем. Э. и. и ф. применяются как в самой математике (напр. в алгебре — решение уравнений 5-й степени, в теории чисел — разложение числа на сумму квадратов, в геометрии — спрямление лемнискаты, теория кривых третьего порядка и т. п.), так и в механике (например теория простого и сферического маятника, движение снаряда в сопротивляющейся среде, теория упругости и т. п.), в теории теплопроводности и т. д.
Лит.: Гурса Э., Курс математического анализа, т. II, ч. 1, М.—П., 1923; Привалов И., Введение в теорию функций комплексного переменного, М.—Л., 1927; Krazer A., Lehrbuch der Thetafunktionen, В., 1930; Krause М., Theorie der elliptischen Funktionen, B., 1913; Fricke R., Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Lpz., 1922; Hurwitz A., Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen, В., 1925; Pascal E., Repertorium der höheren Mathematik, В. I—Analysis, B., 1927; Tannery J. et Molk J., Élements de lа théorie des fonctions elliptiques, 4 vls, P., 1899—1902; Appell P. et Lacour E., Principes de la théorie des fonctions elliptiques, P., 1917; Montessus de Ballore R., Lecons sur les fonctions elliptiques en vue de leurs applications, P., 1917; Greenhill G., The Applications of Elliptic Functions, L.—N. Y., 1892; Hanсоck H., Lectures on the Theory of Elliptic Functions, L., 1910; Whittaker E. and Watson G., A Course of Modern Analysis, Cambridge, 1927; Bianchi L., Lezioni sulla teoria delle funzioni de variabile complassa e delle funzioni ellitiche, 3 ed., Bologna, 1928; Emde F. und Jahnke E., Funktionen-Tafeln mil Formeln und Kurven, B.—Lpz., 1923.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ПОВЕРХНОСТИ, точки, удовлетворяющие следующим условиям: если на нек-рой поверхности S взять какую-нибудь точку M, затем преобразовать систему декартовых координат, сделав новой плоскостью xy касательную плоскость к поверхности (S) в точке M, поместить новое начало координат в M и за новую ось z взять нормаль к S в M, тогда ур-ие поверхности S будет: z=ax²+2bxy+cy²+члены более высоких степеней относительно x и y. Это ур-ие показывает, что с точностью до бесконечно-малых[ВТ 1] высших порядков кривая пересечения поверхности со всякой плоскостью, параллельной xMy и мало от нее отстоящей, будет эллипсом в случае ac—b²<0[ВТ 2]. Точки поверхности, для к-рых имеют[ВТ 3] место эти условия, и называются Э. т. п. Касательная плоскость в эллиптической точке оставляет близлежащие точки поверхности с одной стороны.
Примечания редакторов Викитеки
ЭЛЛИС (Ellis, настоящая фамилия Sharpe — Шарп), Александр Джон (1814—90), известный англ. муз. акустик. Введенное Э. деление октавы на 1.200 частей (по 1/100 полутона) применяется в этнографических обмерах звукорядов и инструментов.
ЭЛЛИС (Ellis), Фред (р. 1886), современный американский революционный художник. Из рабочей семьи. С 14 лет работал рассыльным, учеником в цинкографии, чернорабочим на чикагских бойнях. С 1905 живописец вывесок. С 1914 Э. сотрудничает как карикатурист в профсоюзной прессе. С 1924 Э. член компартии САСШ, в 1927—30 иллюстратор ЦО компартии САСШ, «Дейли Уоркер». С 1930 живет и работает в СССР. Эллис — один из крупнейших художников-графиков, для которого характерна исключительная широта политического кругозора и четкость классовой революционной позиции. В реалистических, понятных рабочему образах Э. вскрывает классовый смысл иллюстрируемого явления. По своим приемам Э. очень близок Р. Майнору, оказавшему на него значительное влияние, но следует также указать на его близость к О. Домье (см.).
ЭЛЛИС АЙЛЕНД (Ellis Island), пункт проверки и фильтрации иммигрантов, прибывающих в САСШ (проверка документов и обеспеченности, карантин). Расположен на небольшом о-ве в бухте Нью Иорка, в 2 км от юж. оконечности Мангаттана. В «сомнительных» случаях иммигранты задерживаются здесь неделями, «нежелательный элемент», т. е. бедняки и революционные рабочие, отправляется обратно.
ЭЛЛИСА ОСТРОВА (Eilice Islands), или Лагунные, архипелаг в Тихом океане, в зап. Полинезии, между 5°30' и 11°20' юж. шир. и 176° и 180° в. д. Образуют длинную цепь низменных коралловых атоллов (см.), расположенных на значительном расстоянии друг от друга. Общая площ. о-вов 36 км². Жителей 3.741 (1927), гл. обр. полинезийцы, выселившиеся с о-вов Самоа. Наиболее значительный из о-вов — Фу-
