Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/177

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта страница была вычитана

безъ доказательства, такъ какъ Маклоренъ доказалъ ее различными способами въ другомъ мѣстѣ[1].

Отдѣлъ третій заключаетъ въ себѣ множество любопытныхъ свойствъ кривыхъ линій третьяго порядка. Слѣдующее есть самое важное, изъ котораго выводится большая часть другихъ свойствъ, относящихся къ точкамъ перегиба и двойнымъ точкамъ; вотъ оно:

Если четыре вершины и двѣ точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ четыреугольника лежатъ на кривой третьяго порядка, то касательныя, проведенныя въ противоположныхъ вершинахъ будутъ пересѣкаться на той же кривой.

Эту теорему Маклоренъ изложилъ еще прежде въ Treatise of fluxions (n° 401) и замѣтилъ, что теорема о четыреугольникѣ вписанномъ въ коническое сѣченіе есть ея частный случай; въ этомъ нетрудно убѣдиться, если будемъ разсматривать коническое сѣченіе въ совокупности съ прямою, соединяющею точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ четыреугольника, какъ кривую третьяго порядка.

Теорему Паскаля можно также разсматривать, какъ слѣдствіе одного свойства кривыхъ третьяго порядка, болѣе общаго, чѣмъ свойство Маклорена, именно слѣдующаго:

Если шесть вершинъ шестиугольника и двѣ изъ трехъ точекъ пересѣченія его противоположныхъ сторонъ лежатъ на кривой третьяго порядка, то третья точка пересѣченія находится на той же кривой.[2]

  1. Philosophical Transactions, n° 439; 1735; и Treatise of fluxions, n°n° 322, 623.
  2. Чтобы доказать эту теорему, достаточно разсматривать въ шестиугольникѣ три стороны нечетнаго порядка, какъ кривую третьяго порядка, и стороны четнаго порядка, какъ другую кривую третьяго порядка. Черезъ девять точекъ пересѣченія этихъ линій можно провести безчисленное множество кривыхъ третьяго порядка; но данная кривая проходитъ черезъ восемь изъ этихъ точекъ, a потому, на основаніи общаго свойства кривыхъ третьяго порядка, она проходитъ и черезъ девятую. [См. Введение Кремоны, § 45c-45d.]
Тот же текст в современной орфографии

без доказательства, так как Маклорен доказал ее различными способами в другом месте[1].

Отдел третий заключает в себе множество любопытных свойств кривых линий третьего порядка. Следующее есть самое важное, из которого выводится большая часть других свойств, относящихся к точкам перегиба и двойным точкам; вот оно:

Если четыре вершины и две точки пересечения противоположных сторон четырёхугольника лежат на кривой третьего порядка, то касательные, проведенные в противоположных вершинах будут пересекаться на той же кривой.

Эту теорему Маклорен изложил еще прежде в Treatise of fluxions (n° 401) и заметил, что теорема о четырёхугольнике вписанном в коническое сечение есть её частный случай; в этом нетрудно убедиться, если будем рассматривать коническое сечение в совокупности с прямою, соединяющею точки пересечения противоположных сторон четырёхугольника, как кривую третьего порядка.

Теорему Паскаля можно также рассматривать, как следствие одного свойства кривых третьего порядка, более общего, чем свойство Маклорена, именно следующего:

Если шесть вершин шестиугольника и две из трех точек пересечения его противоположных сторон лежат на кривой третьего порядка, то третья точка пересечения находится на той же кривой.[2]

  1. Philosophical Transactions, n° 439; 1735; и Treatise of fluxions, n°n° 322, 623.
  2. Чтобы доказать эту теорему, достаточно рассматривать в шестиугольнике три стороны нечетного порядка, как кривую третьего порядка, и стороны четного порядка, как другую кривую третьего порядка. Через девять точек пересечения этих линий можно провести бесчисленное множество кривых третьего порядка; но данная кривая проходит через восемь из этих точек, а потому, на основании общего свойства кривых третьего порядка, она проходит и через девятую. [См. Введение Кремоны, § 45c-45d.]