сит, — прибегая к посредствующему признаку третьей, пересекающей линии, — что две линии, склоняющиеся одна к другой (ведь это и значит «быть меньше двух прямых»), если их достаточно продолжить, непременно встретятся. Эта истина кажется слишком сложной для того, чтобы считаться самоочевидной; поэтому она требует доказательства, которого однако не могут найти — именно потому, что нет истины, более непосредственной. Эта добросовестность напоминает мне юридический вопрос Шиллера:
|
Многие годы мой нос для обонянья мне служит: |
И мне думается, что логический метод доходить таким образом до абсурда. Но именно пререкания по данному вопросу, наряду с бесплодными попытками выяснить косвенную достоверность того, что достоверно непосредственным образом, — именно это составляет настолько же поучительный, насколько и забавный контраст между самостоятельностью и ясностью интуитивно-очевидного — с одной стороны, и бесполезностью и трудностью логического доказательства — с другой. Эвклидовский метод не признает непосредственной достоверности потому, что она не имеет чисто-логического характера, не вытекает из самого понятия, т. е. не опирается исключительно на отношение предиката к субъекту, по закону противоречия. Но ведь указанная аксиома — синтетическое суждение a priori, и за нее в качестве такого ручается чистое, не-эмпирическое воззрение, которое столь же непосредственно и достоверно, как и самый закон противоречия, откуда все доказательства только и заимствуют свою убедительность. В сущности сказанное применимо ко всякой геометрической теореме, и мы поступаем произвольно, когда желаем провести здесь границу между тем, что непосредственно достоверно, и тем, что нужно еще доказать.
Меня удивляет, что никто не остановился скорее на восьмой аксиоме: «фигуры, покрывающие друг друга при наложении, равны». Ведь покрывать друг друга при наложении — это либо тавтология, либо нечто совершенно эмпирическое и относящееся не к чистому воззрению, а к внешнему чувственному опыту. Здесь предполагается подвижность фигур; но подвижное в пространстве — это исключительно материя, и таким образом, ссылка на взаимное наложение покидает чистое пространство, единственную стихию геометрии, для того чтобы перейти в область материального и эмпирического.
Знаменитая надпись над школой Платона: Αγεωμετρητος μηδεις ειςιτω (несведущий в геометрии да не войдет), эта надпись, которой столь гордятся математики, несомненно объясняется тем, что
