Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/12

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Эта страница была вычитана


не основывают на непрерывности, а апеллируют, более или менее сознательно, либо к геометрическим представлениям, либо к представлениям, которые берут свое начало в гео­метрии, либо, наконец, основывают доказательства на поло­жениях, которые сами никогда не были доказаны чисто арифметическим путем. Сюда относится, например, и выше­ упомянутое положение. Более точное изыскание, убедило меня в том, что это или всякое другое эквивалентное ему предложение может до известной степени рассматриваться, как достаточный фундамент для анализа бесконечных. Все сводится только к тому, чтобы открыть настоящее начало этого положения в элементах арифметики и вместе с этим приобрести действительное определение существа непрерыв­ности. Это мне удалось 24 ноября 1858 года, и, несколько дней спустя, я сообщил результаты своих размышлений моему дорогому другу Durège'у, что повело к продолжи­ тельной и оживленной беседе. Впоследствии я излагал эти мысли о научном обосновании арифметики то одному, то другому из моих учеников, читал также об этом предмете доклад в ученом обществе профессоров здесь, в Брауншвейге, но я не мог окончательно решиться на действительное опу­бликование, потому, во-первых, что изложение предста­вляется не легким, и потому еще, что и самый предмет так мало плодовит. Несколько дней назад, 14 марта, в то время, как я наполовину стал уже подумывать о том, чтобы из­ брать эту тему предметом настоящего юбилейного сочине­ния [1], ко мне в руки попала, благодаря любезности ее ав­тора, статья E. Heine (Crelle's Journal. Bd. 74), которая и подкрепила меня в моем решении. По существу я вполне согласен с содержанием этого сочинения, но должен откро­венно сознаться, что мое изложение кажется мне более простым по форме и более точно выдвигающим настоящее ядро вопроса.

В то время, как я писал это предисловие (20 марта 1872 г.), я получил интересную статью „Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen“ Gr. Cantor'a (Mathem. Annalenvon von Clebsch und Neu-

  1. Автор выпустил это сочинение к юбилею своего отца. Примеч. переводчика