Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/17

лежат влево от $p$. Сама точка $p$ может быть отнесена по произволу к первому или ко второму классу. В обоих слу­чаях разложение прямой $L$ на два класоа или два куска таково, что каждая точка первого класса $P_{1}$ лежит влево от каждой точки второго класса $P_{2}$.

Эта аналогия между рациональными числами и точками прямой становится, как известно, действительною зависи­мостью, когда на прямой выбирают определенную начальную или нулевую точку о и определенную единицу длины для измерения отрезков. При помощи последней можно для каждого рационального числа а построить соответствующую длину, и если нанести ее на прямую от точки о вправо или влево, смотря по тому, есть ли а положительное или отрицательное число, то получим определенную конечную точку $p$, которая может быть принята за точку, соответствующую числу $a$. Рациональному числу нуль соответствует точка $o$. Таким образом, каждому рациональному числу $a$, т. е. каждому индивидууму в $R$, соответствует одна и только одна точка $p$, то-есть, один индивидуум на $L$. Если двум числам $a$, $b$ отвечают две точки $p$, $q$ и если $a>b$, то $p$ лежит вправо от $q$. Законам I, II, III предыдущего параграфа вполне отвечают законы I, II, III настоящего.

§ 3. Непрерывность прямой линии

Но теперь фактом величайшей важности является то обстоятельство, что на прямой $L$ есть бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Действительно, если точка $p$ соответствует рациональному числу $a$, то, как известно, длина $op$ соизмерима с употреблен­ной при построении единицей длины, то есть существует третья длина, так называемая общая мера, относительно которой обе длины представляются целыми кратными. Но уже древние греки знали и доказали, что существуют длины не соизмеримые с данной единицей длины, — например дагональ квадрата, сторона которого есть единица длины. Если нанести такую длину от точки $o$ на прямую. то получим конечную точку, которой не соответствует никакое рацио­нальное число. Так как легко далее показать, что существует