Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/23

$t_{1}^{2}-Du_{1}^{2}=(\lambda ^{2}-D)(t^{2}-Du^{2})=0$

что противоречит допущению, сделанному относительно $u$.

Таким образом, квадрат всякого рационального числа $a$ или $<D$, или $>D$. Отсюда легко выводится, что в клас­се $A_{1}$ нет наибольшего, а в классе $A_{2}$ нет наименьшего чи­сла. Действительно, если положить

$y={\frac {x(x^{2}+3D)}{3x^{2}+D}}$

то

$y-x={\frac {2x(D-x^{2})}{3x^{2}+D}}$

и

$y^{2}-D={\frac {(x^{2}-D)^{2}}{(3x^{2}+D)^{2}}}$

Если взять здесь для $x$ положительное число из клас­са $A_{1}$, то $x^{2}<D$, следовательно, $y>x$ и $y^{2}<D$; поэтому $y$ также принадлежит к классу $A_{1}$. Если же положить, что $x$ есть число из класса $A_{2}$ то $y<x$; $x>0$ и $y^{2}>D$, так что $y$ принадлежит к классу $A_{2}$. Это сечение не производится, следовательно, никаким рациональным числом.

В том свойстве, что не все сечения производятся ра­циональными числами, и состоит неполнота, или разрыв­ность, области $R$ рациональных чисел.

Теперь всякий раз, когда нам дано сечение $(A_{1},A_{2})$, которое не может быть произведено никаким рациональ­ным числом, мы создаем новое иррациональное число $\alpha$, которое рассматривается нами, как вполне определенное этим сечением $(A_{1},A_{2})$. Мы скажем, что число $\alpha$ соответствует этому сечению, или что оно производит это сечение. Таким образом, отныне каждому определенному сечению соответ­ ствует одно и только одно рациональное или иррациональное число, и мы будем смотреть на два числа, как на различные или неравные тогда и только тогда, когда они соответствуют существенно различным сечениям.

Чтобы найти основание для распределения всех веще­ственных, т. е. всех рациональных и иррациональных чисел, нам необходимо прежде всего исследовать соотношения