Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/27

Кроме этих свойств, область ${\mathfrak {R}}$ обладает еще непрерыв­ностью, то есть имеет место следующее предложение:

IV. Если система ${\mathfrak {R}}$ всех вещественных чисел распа­дается на два класса ${\mathfrak {A}}_{1}$ и ${\mathfrak {A}}_{2}$ такого рода, что каждое число $\alpha _{1}$ класса ${\mathfrak {A}}_{1}$ меньше каждого числа $\alpha _{2}$ класса ${\mathfrak {A}}_{2}$, то суще­ствует одно и только одно число $\alpha$, производящее это разло­жение.

Доказательство. Вместе с разложением или сечением ${\mathfrak {R}}$ на два класса ${\mathfrak {A}}_{1}$ и ${\mathfrak {A}}_{2}$ дается и некоторое сечение $(A_{1},A_{2})$ системы $R$ всех рациональных чисел, определяемое тем пра­вилом, что $A_{1}$ содержит все рациональные числа класса ${\mathfrak {A}}_{1}$, а $A_{2}$ все остальные рациональные числа, то есть все рацио­нальные числа класса ${\mathfrak {A}}_{2}$. Пусть $\alpha$ будет то вполне определен­ное число, которым производится это сечение $(A_{1},A_{2})$. Если теперь $\beta$ есть какое-либо число, отличное от $\alpha$, то существует бесконечно много рациональных чисел $c$, которые лежат между $\alpha$ и $\beta$. Если $\beta <\alpha$, то $c<\alpha$; поэтому $c$ принадлежит к классу $A_{1}$ а следовательно, и к классу ${\mathfrak {A}}_{1}$, но так как вместе с этим $\beta <c$, то и $\beta$ принадлежит к тому же классу ${\mathfrak {A}}_{1}$, ибо каждое число в ${\mathfrak {A}}_{2}$ больше каждого числа $c$ из ${\mathfrak {A}}_{1}$. Если же $\beta >\alpha$, то $c>\alpha$; поэтому $c$ принадлежит к классу $A_{2}$, а следо­вательно, и к классу ${\mathfrak {A}}_{2}$; но так как вместе с этим $\beta >c$, то и $\beta$ принадлежит к классу ${\mathfrak {A}}_{2}$, потому что каждое число в ${\mathfrak {A}}_{1}$ меньше каждого числа с из ${\mathfrak {A}}_{2}$. Таким образом, каждое число $\beta$, отличное от $\alpha$, принадлежит или к классу ${\mathfrak {A}}_{1}$ или к классу ${\mathfrak {A}}_{2}$, смотря по тому, будет ли $\beta <\alpha$, или $\beta >\alpha$; сле­довательно, само а представляет либо наибольшее число в ${\mathfrak {A}}_{1}$, либо наименьшее в ${\mathfrak {A}}_{2}$, то есть, $\alpha$ есть некоторое и, оче­видно, единственное число, производящее разложение си­стемы ${\mathfrak {R}}$ на классы ${\mathfrak {A}}_{1}$ и ${\mathfrak {A}}_{2}$. Что и требовалось доказать.

§ 6. Вычисления с вещественными числами

Для того, чтобы вычисление с двумя вещественными числами $\alpha$ и $\beta$ свести к вычислению с рациональными чи­слами, нужно только по двум сечениям $(A_{1},A_{2})$ и $(B_{1},B_{2})$, производимым числами $\alpha$ и $\beta$ в системе $R$ определить сечение $(C_{1},C_{2})$, соответствующее результату $\gamma$ вычисле-