Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/28

Эта страница была вычитана

ния^[1]. Мы ограничимся здесь приведением простейшего примера — сложения.

Если $c$ есть какое-либо рациональное число, то мы отнесем его к классу $C_{1}$ когда существует число $a_{1}$ в $A_{1}$ и число $b_{1}$ в $B_{1}$ такого рода, что $a_{1}+b_{1}\geq c$ .

Все другие числа $c$ отнесем к классу $C_{2}$ . Это подразделение всех рациональных чисел на два класса $C_{1}$ и $C_{2}$ , очевидно, образует се-

↑ Автор, очевидно, хотел сказать следующее: действия сложения, вычитания, умножения и деления определены были до сих нор только для рациональных чисел; для иррациональных же чисел эти действия не будут иметь смысла до тех пор, пока мы не условимся относительно того, какой именно смысл мы желаем им придавать в применении к иррациональным числам. Так, например, сумму двух иррациональных чисел нельзя определить ни как совокупность, в которой содержится столько единиц и аликвотных частей единицы, сколько их в двух слагаемых, вместе взятых, ни индуктивно, как это делал Грассман для целых чисел, ибо ни то, ни другое определение не имеет здесь смысла. Мы могли бы и совсем не употреблять термина „сумма“ в применении к иррациональным числам, говоря, что иррациональные числа не имеют суммы, но делать такое или подобное ограничение было бы в высшей степени неудобно; с другой стороны, сообразуясь с выгодами соблюдения в одной и той же области знания так называемого правила перманентности в определении термина (по этому правилу всякое изменение в соозначении термина должно совершаться так, чтобы новое соозначение по возможности не только не противоречило прежнему, но заключало бы последнее, как частный случай), будет наиболее целесообразным определить термины основных действий над вещественными числами так, чтобы в своем новом соозначении эти термины могли быть относимы как к рациональным, так и к иррациональным числам, и чтобы, совершая над рациональными числами действия на основании нового их определения, мы всегда получали прежние ре зультаты. Пусть $\gamma$ будет результат совершения некоторого действия О над двумя произвольными рациональными числами $\alpha$ и $\beta$ . Если найдем правило К, по которому, зная сечения, производимые числами $\alpha$ и $\beta$ , мы всегда в состоянии найти сечение, производимое числом $\gamma$ , то действие О можно будет определить, как процесс составления некоторого сечения по правилу К из сечений, производимых числами $\alpha$ и $\beta$ . Такое определение действия О, имея смысл и в том случае, когда одно из чисел $\alpha$ и $\beta$ или оба они иррациональны, обладает евойством перманентности. Процесс отыскания новых перманентных определений действий при переходе от рациональных чисел ко всей системе вещественных чисел автор называет приведением вычислений с вещественными числами к вычислениям с рациональными числами. Примеч. переводчика.

[1] Автор, очевидно, хотел сказать следующее: действия сложения, вычитания, умножения и деления определены были до сих нор только для рациональных чисел; для иррациональных же чисел эти действия не будут иметь смысла до тех пор, пока мы не условимся относительно того, какой именно смысл мы желаем им придавать в применении к иррациональным числам. Так, например, сумму двух иррациональных чисел нельзя определить ни как совокупность, в которой содержится столько единиц и аликвотных частей единицы, сколько их в двух слагаемых, вместе взятых, ни индуктивно, как это делал Грассман для целых чисел, ибо ни то, ни другое определение не имеет здесь смысла. Мы могли бы и совсем не употреблять термина „сумма“ в применении к иррациональным числам, говоря, что иррациональные числа не имеют суммы, но делать такое или подобное ограничение было бы в высшей степени неудобно; с другой стороны, сообразуясь с выгодами соблюдения в одной и той же области знания так называемого правила перманентности в определении термина (по этому правилу всякое изменение в соозначении термина должно совершаться так, чтобы новое соозначение по возможности не только не противоречило прежнему, но заключало бы последнее, как частный случай), будет наиболее целесообразным определить термины основных действий над вещественными числами так, чтобы в своем новом соозначении эти термины могли быть относимы как к рациональным, так и к иррациональным числам, и чтобы, совершая над рациональными числами действия на основании нового их определения, мы всегда получали прежние ре зультаты. Пусть $\gamma$ будет результат совершения некоторого действия О над двумя произвольными рациональными числами $\alpha$ и $\beta$ . Если найдем правило К, по которому, зная сечения, производимые числами $\alpha$ и $\beta$ , мы всегда в состоянии найти сечение, производимое числом $\gamma$ , то действие О можно будет определить, как процесс составления некоторого сечения по правилу К из сечений, производимых числами $\alpha$ и $\beta$ . Такое определение действия О, имея смысл и в том случае, когда одно из чисел $\alpha$ и $\beta$ или оба они иррациональны, обладает евойством перманентности. Процесс отыскания новых перманентных определений действий при переходе от рациональных чисел ко всей системе вещественных чисел автор называет приведением вычислений с вещественными числами к вычислениям с рациональными числами. Примеч. переводчика.

[1]