Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/30

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Эта страница была вычитана


ональных чисел, а также и оба класса каждого ее сечения суть интервалы. Если существует рациональное число которое меньше каждого числа интервала , и если есть рациональное число , которое больше каждого числа ин­тервала , то называется конечным интервалом; в этом случае существует, очевидно, бесконечное множество чисел такого же рода, как . Вся область распадается на три куска: , , , причем появляются два вполне опреде­ленных рациональных или иррациональных числа и , которые соответственно могут быть названы нижней и верхней (или меньшей и большей) границей интервала . Нижняя граница определяется сечением, в котором первый класс образован системой , верхняя же граница определяется сечением, в котором образует второй класс. О всяком рациональном или иррациональном числе , лежащем между и , будем говорить, что оно лежит внутри интервала . Когда все числа интервала являются также числами интервала , то будет называться куском .

Придется, по-видимому, сделать еще большие отступле­ния, когда желательно будет перенести бесчисленные пред­ложения арифметики рациональных чисел [например, пред­ложение, в силу которого ] на произвольные вещественные числа. Это, однако, не так; скоро убеждаешься, что все здесь приводится к доказательству положения, по которому арифметические операции сами обладают некото­рой непрерывностью. То, что я под этим понимаю, я облеку в форму общей теоремы.

„Если число есть результат вычислений, совершенных над числами , , ,..., и если лежит внутри интервала , то можно указать интервалы , , ,... (внутри которых ле­жат числа , , ,...) такого рода, что результат такого же вычисления, в котором, однако, числа , , ,..., заменены любыми числами соответственных интервалов , , ,..., будет всегда представлять число, лежащее внутри интервала . Однако же, ужасная трудность, связанная со словесным изложением такой теоремы, убеждает нас в том, что здесь необходимо что-нибудь предпринять для того, чтобы придти в помощь языку: этого мы действительно до-