ЭСБЕ/Арифметически-гармоническая средняя

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску

Арифметически-гармоническая средняя
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
Brockhaus Lexikon.jpg Словник: Араго — Аутка. Источник: т. II (1890): Араго — Аутка, с. 99 ( скан · индекс )
 Википроекты: Wikipedia-logo.png Википедия


Арифметически-гармоническая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и h < a. Составим их арифметическую среднюю и гармоническую среднюю т. е. найдем и таким же образом составим и и т. д. Числа и будут представлять — первые убывающий ряд, вторые — возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-г. средняя. Означим ее АН. Покажем, что АН. двух чисел равно геометрической средней их. В самом деле, след. точно так же что треб. док., наконец, Но если b есть АН между а и h; итак, ч. треб. док. Следствие: AH из какого-нибудь числа и единицы есть квадратный корень из этого числа, т. е. Итак, чтобы найти можно поступить следующим образом: найти арифметическую среднюю из а и 1 и гармоническую среднюю из а и 1; затем арифметическую среднюю из и и гармоническую среднюю из и и т. д., числа и будут быстро сходиться и стремиться к пределу = . Прим. а = 2, h = 1

а1 = 1.5000000 h1 = 1.3333333
а2 = 1.4166666 h2 = 1.4117647
а3 = 1.4142157 h3 = 1.4142114
а4 = 1.4142136 h4 = 1.4142136,

итак, = 1.4142186, ч. треб. док.