ЭСБЕ/Интерполирование

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску

Интерполирование
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
Brockhaus Lexikon.jpg Словник: Имидоэфиры — Историческая школа. Источник: т. XIII (1894): Имидоэфиры — Историческая школа, с. 266—267 ( скан · индекс )
 Википроекты: Wikipedia-logo.png Википедия


Интерполирование в математике — один из важнейших способов приближенного вычисления. Задача И. заключается в том, чтобы по данным величинам некоторой функции для известных значений переменных независимых (аргументов) найти величину функции для произвольного (обыкновенно промежуточного) значения этих переменных независимых. Этой задачей занимались Валлис, Ньютон, Эйлер и другие математики. Найти формулу И. значит заменить искомую функцию более простой, обыкновенно многочленом, причем коэффициенты и степени этого многочлена подбираются так, чтобы значение его для данного значения переменных независимых совпадало с заданными значениями искомой функции. Формулы И. представляют выражения, в которых искомая функция представляется при помощи данных величин функции и их последовательных разностей. В нижеследующей таблице в первом столбце стоят последовательные аргументы (значения независимой переменной), во втором — соответствующие величины функции, а в следующих — последовательные разности, так что b‴ = а″ − а‴, b″ = а′ − а″ … с″ = b″ − b‴

Аргум. Функц. 1-ые
разн.
2-ые
разн.
3-ьи
разн.
4-ые
разн.
T−3h
T−2h
T0h
T
T+0h
T+2h
T+3h
....
a‴
a″
a′
a0
a1
a2
a3
....
b‴
b″
b′
b1
b2
b3
....
c″
c′
c0
c1
c2
....
d″
d′
d1
d2
....
e′
e0
e1
....

Для вычисления величины функции а для аргумента Т + nh, где n < 1, можно употребить одну из следующих формул И.:

Формула Ньютона.
Формула Бесселя.
Формула Стирлинга.

Числовой пример. Даны склонения Луны для отдельных моментов, следующих через 12 часов, и требуется найти склонение Луны для 2 янв. в 15 час. среднего времени.

a b c d e
Янв. 1

2

3

4
0h
12h
0h
12h
0h
12h
0h
+
+
+
+
+
+
+
05′07,″1
8°5956,6
10°4955,5
12°34′01,0
14°11′05,9
15°3958,3
16°5921,3
+
+
+
+
+
+
1°54′49,″5
1°4958,9
1°44′05,5
1°37′04,9
1°2852,4
1°1923,0




4′50,″6
553,4
7′00,6
812,5
929,4



1′02,″8
1′07,2
111,9
116,9


4,″4
4,9
5,0

Для 15 ч. 2-го января n = ¼, и потому, употребив одну из вышеприведенных формул И., получится а = 12°58′59,4″.

Простейший случай И. встречается при подыскивании логарифмов чисел, которые в таблицах даются лишь для известных последовательных значений аргумента. В этом случае аргументы настолько сближены, что действительное значение имеют только первые разности; прочие разности равны нулю, и потому все вышеприведенные формулы обращаются в a = a0 + nb, т. е. И. сводится к решению простой пропорции.

При помощи И. производится и нахождение аргумента для данного промежуточного значения функции, т. е. решается и обратная задача. В этом случае одну из формул И. нужно решить относительно неизвестной n. Так как коэффициенты у различных степеней n весьма быстро уменьшаются, то вычисление производится последовательными приближениями, причем для первого приближения принимается . При вычислении по таблицам чисел по данному логарифму это первое приближение есть уже окончательное решение.

Если аргументы не представляют арифметической прогрессии и величины функции даны для нескольких произвольных значений аргументов x1, x2xn, то величина функции для всякого другого значения аргумента x вычисляется по формуле Лагранжа:

где

Употребление этой формулы встречается при И. наблюдений.

Геометрическое значение И. заключается в проведении параболы высших степеней через ряд данных точек на плоскости. Чем число данных точек больше, тем проведенная через них парабола ближе к неизвестной кривой. Если положение точек определено лишь с известной степенью приближения (напр. из наблюдений), то от интерполяционной кривой требуется иногда не то, чтобы она прошла через все данные точки, а чтобы она заняла некоторое среднее положение, по возможности меньше уклоняясь в ту или другую сторону от этих точек.

Для функций от двух и более аргументов формулы И. значительно сложнее. Когда приходится пользоваться таблицами с двумя входами, то на практике прибегают к двум последовательным И. сперва по одному, а затем по другому аргументу.

В практических приложениях определение значения функции для аргумента, лежащего не между данными, а вне их, известно под названием экстраполирования и совершается по правилам И. с той лишь разницей, что некоторые разности приходится вычислять, считая число их ограниченным. Числовые результаты экстраполирования всегда менее благонадежны, чем результаты И. Литература см. Исчисление конечных разностей.