ЭСБЕ/Ультраэллиптические интегралы и функции

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ультраэллиптические интегралы и функции
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
Brockhaus Lexikon.jpg Словник: Углерод — Усилие. Источник: т. XXXIVa (1902): Углерод — Усилие, с. 716—717 ( скан )
 Википроекты: Wikipedia-logo.png Википедия


Ультраэллиптические интегралы и функции — Квадратуры вида: , где Χ есть целый полином степени выше четвертой относительно x, a F — какая-либо рациональная функция от x и называются У. или гиперэллиптическими интегралами.

Теорией У. интегралов занимались Абель, Якоби, Гёпель, Розенгайн, Эрмит, Вейерштрассе, Прим, Нейман, Клебш и Гордан, Г. Вебер, Томэ, Брио, Кенигсбергер и др.; у нас, в России, К. А. Поссе, П. М. Покровский, М. А. Тихомандрицкий и др.

Если Χ есть полином 5-й-или 6-й степени, то интегралы называются У. первого класса. С помощью подстановки:

всегда возможно интеграл с полиномом Χ шестой степени относительно x привести к интегралу с полиномом Y пятой степени относительно у.

Те У. интегралы первого класса, которые могут быть приведены к виду:

, … (1)

где , а величины a, α, β, κ, λ, μ — постоянные, называются ультраэллиптическими интегралами первого класса и первого рода. Они конечны для всех значений переменной x.

Если интеграл 1-го класса приводится к виду

то он называется ультраэллиптическим интегралом второго рода. Он обращается в бесконечность алгебраически при х = ∞. Интеграл, приводящийся к виду:

называется ультраэллиптическим интегралом третьего рода; он обращается в бесконечность логарифмически при x=a.

Начало теории ультраэллиптических интегралов было положено в 30-х годах прошлого XIX стол. знаменитою теоремою Абеля о сложении интегралов алгебраических функций. Из этой теоремы между прочим следует, что если имеем систему уравнений

… (2)

то и , как функции от и суть корни квадратного уравнения:

,

в котором N, М и L суть однозначные функции от и .

Якоби показал, что L, M и N суть однозначные функции с четырьмя системами периодов, т. е. что они остаются без изменения, если одновременно заменим и через

,

где , , , суть какие-либо целые числа, a , , , и , , , периоды двух интегралов в равенствах (2).

Требовалось определить те функции от и , которые выражали бы и и соответствующие им значения и , удовлетворяющие уравнениям (2).

Эта задача была решена почти одновременно Гёпелем и Розенгайном, которые показали, что для решения ее надо ввести особые функции от двух переменных, названный функциями Θ (тета) от двух аргументов; начало теории таких функций положил Риман.

Функция Θ от двух аргументов и выражается двойным бесконечным рядом.

где:

и где, в сумме, целые числа имеют всевозможные величины от —∞ до +∞ и целые числа имеют всевозможные величины от —∞ до +∞. Величины , , , , , , суть постоянные.

Совокупность постоянных , , , называется характеристикою функций Θ. При исследовании свойств этих функций оказывается, что существует только 16 различных функций Θ, а именно соответствующих характеристикам:

и т. д., при которых , , , суть либо нули, либо единицы.

Функция Θ с характеристикой обозначается просто через Θ(u1 u2).

По изучении свойств этих функций Θ оказалось, что и , а также и выражаются рационально в функциях Θ от двух аргументов и .

Для знакомства с теориею ультраэллиптических интегралов и функций Θ от двух аргументов нужно обратиться к статьям и сочинениям вышеупомянутых ученых.

Д. Б.