Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 2/§ 10/ДО

Энциклопедія элементарной математики. Томъ I. Элементарная алгебра и анализъ. — Книга I. Основанiя ариѳметики. Глава II. Натуральныя числа. § 10. Возвышенiе въ степень.
авторъ Генрихъ Веберъ (1842—1913), пер. Веніаминъ Каганъ (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавленіе. Перевод опубл.: 1906. Источникъ: Сканы, размещённые на Викискладе

§ 10. Возвышенiе въ степень.

1. Сложенiе равныхъ слагаемыхъ привело насъ къ умноженiю; точно такъ же умноженiе равныхъ сомножителей приводитъ къ новому дѣйствiю — возвышенiю въ степень.

Положимъ, что намъ нужно составить произведенiе $n$ сомножителей, которые всѣ равны между собой — именно равны, скажемъ, числу $a$. Результатъ этой операцiи называется n-ой степенью числа $a$ и обозначается символомъ $a^{n}$, такъ что

$a.a.a....a=a^{n}$;

(1)

въ лѣвой части этого равенства подразумѣваемъ $n$ сомножителей; число $a$ называется основанiемъ степени; говорятъ также короче „$a$ въ n-ой степени“. Вычислить n-ую степень числа $a$ значитъ „возвысить число $a$ въ n-ую степень“.

Первая степень числа $a$ равна основанiю $a$

$a^{1}=a$.

(2)

Такъ какъ произведенiе всякаго числа на 1 даетъ въ результатѣ множимое, то при любомъ показателѣ $n$

$1^{n}=1$.

(3)

Въ частности, въ виду геометрическихъ приложенiй, вторая степень числа $a$ часто называется квадратомъ числа $a$, а третья степень — кубомъ этого числа.

Основная теорема относительно степеней, которая выводится непосредственно изъ опредѣленiя, заключается въ слѣдующемъ:

2. Чтобы перемножить двѣ степени одного и того же основанiя, достаточно сложить показателей; въ символахъ:

$a^{m}a^{n}=a^{m+n}$.

(4)

Справедливость этого равенства вытекаетъ изъ того, что справа и слѣва мы имѣемъ $m+n$ множителей, равныхъ $a$. Это предложенiе при помощи индукцiи легко обобщается на произвольное число множителей.

$a^{m}.a^{n}....a^{q}=a^{m+n+....+q}$,

(5)

каковы бы ни были числа $m,n,....q$ и каково бы ни было число ихъ $r$.

3. Если въ равенствѣ (5) всѣ показатели равны между собой, то оно выражаетъ следующую вторую теорему о степеняхъ:

Чтобы возвысить степень въ новую степень, достаточно перемножить показателей, т. е.:

$\left(a^{m}\right)^{r}=a^{mr}$.

4. Чтобы возвысить въ степень произведенiе нѣсколькихъ сомножителей, можно возвысить въ эту степень каждый изъ сомножителей въ отдельности и полученныя произведенiя перемножить:

$\left(abc....\right)^{n}=a^{n}b^{n}c^{n}....$

Если здѣсь вновь будемъ считать всѣ основанiя $a,b,c....$ равными между собой, то мы, въ силу соотношенiя (5), вновь получимъ предложеніе 3.

5. Если число $a$ больше $1$, то $a^{n}$ тѣмъ больше, чѣмъ больше показатель $n$; можно также выбрать число $n$ настолько большимъ, чтобы $a^{n}$ было больше любого заданнаго числа $c$. Въ этомъ легко убѣдиться индуктивнымъ путемъ. Въ самомъ дѣлѣ, утвержденiе справедливо, если $c=1$, потому что даже $a^{1}$ уже больше $1$.

Если же $a^{n}>c$, то $a^{n+1}>ac>c+1$. Такимъ образомъ, если наше утвержденiе справедливо для нѣкотораго значенiя $c$, то оно справедливо также для $c+1$.

Вмѣстѣ съ тѣмъ, если $a^{n}>c$ для нѣкотораго значенiя $m$ показателя $n$, то тѣмъ болѣе $a^{n}>c$, если $n$ имѣетъ значенiе большее, нежели $m$.

6. Въ основанiи нашей десятичной системы счисленiя лежатъ степени числа $10$. Число $10^{n}$ изображается $1$ съ $n$ нулями и образуетъ единицу n-го разряда. Число, изображаемое $r$ цифрами $a,b,c....m,n$, имѣетъ значенiе

$a10^{r}+b10^{r-1}+c10^{r-2}+....+m10+n$.

(7)

Но чтобы мѣсто, занимаемое цифрой, могло служить для обозначенiя степени, необходимо также указать, какiя степени вовсе отсутствуютъ; для этого служитъ знакъ $0$ (нуль), который тоже принято считать цифрой. (Собственно говоря слово „цифра“ первоначально обозначало только $0$, и только позже это названiе было распространено на остальные знаки, выражающiе числа). Сообразно съ этимъ въ формулѣ (7) подъ $a,b,c...,m,n$ нужно разумѣть одинъ изъ знаковъ:

$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Если при нѣкоторомъ вычисленiи число единицъ какого-либо разряда превышаетъ 9, то нужно пользоваться формулой

$(a+10).10^{r}=10^{r+1}+a10^{r}$.

Такимъ образомъ правило умноженiя чиселъ въ десятичной системѣ основывается, какъ мы видимъ, на предложенiи § 9, 2.

При возвышенiи въ степень не имѣютъ мѣста ни перемѣстительный ни сочетательный законы, потому что $a^{b}$ имѣетъ другое значенiе, нежели $b^{a}$ (напр. $a^{1}=a$, $1^{a}=1$); точно такъ же $a^{(m^{r})}$ имѣетъ не то значенiе, что ${(a^{m})}^{r}$ (напр. $a^{(1^{r})}=a$, ${(a^{1})}^{r}=a^{r}$). Вслѣдствiе этой именно причины не образуютъ новыхъ дѣйствiй въ томъ порядкѣ идей, въ какомъ умноженiе составлено изъ сложенiя, хотя по существу это было бы возможно, если принять за основанiе и показатель одно и то же число. Законы такой операцiи были бы очень сложны, а нужды практической жизни и науки не дѣлаютъ такого обобщенiя необходимымъ.

---