Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 2/§ 10/ДО

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Yat-round-icon1.jpg

Энциклопедія элементарной математики. Томъ I. Элементарная алгебра и анализъ. — Книга I. Основанiя ариѳметики. Глава II. Натуральныя числа. § 10. Возвышенiе въ степень.
авторъ Генрихъ Веберъ (1842—1913), пер. Веніаминъ Каганъ (1869—1953)
Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавленіе. Перевод опубл.: 1906. Источникъ: Commons-logo.svg Сканы, размещённые на Викискладе Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 2/§ 10/ДО въ новой орѳографіи



[32]

§ 10. Возвышенiе въ степень.

1. Сложенiе равныхъ слагаемыхъ привело насъ къ умноженiю; точно такъ же умноженiе равныхъ сомножителей приводитъ къ новому дѣйствiю — возвышенiю въ степень.

Положимъ, что намъ нужно составить произведенiе сомножителей, которые всѣ равны между собой — именно равны, скажемъ, числу . Результатъ этой операцiи называется n-ой степенью числа и обозначается символомъ , такъ что

; (1)
въ лѣвой части этого равенства подразумѣваемъ сомножителей; число называется основанiемъ степени; говорятъ также короче „ въ n-ой степени“. Вычислить n-ую степень числа значитъ „возвысить число въ n-ую степень“.

Первая степень числа равна основанiю

. (2)

Такъ какъ произведенiе всякаго числа на 1 даетъ въ результатѣ множимое, то при любомъ показателѣ

. (3)

Въ частности, въ виду геометрическихъ приложенiй, вторая степень числа часто называется квадратомъ числа , а третья степень — кубомъ этого числа.

[33]

Основная теорема относительно степеней, которая выводится непосредственно изъ опредѣленiя, заключается въ слѣдующемъ:

2. Чтобы перемножить двѣ степени одного и того же основанiя, достаточно сложить показателей; въ символахъ:

. (4)

Справедливость этого равенства вытекаетъ изъ того, что справа и слѣва мы имѣемъ множителей, равныхъ . Это предложенiе при помощи индукцiи легко обобщается на произвольное число множителей.

, (5)
каковы бы ни были числа и каково бы ни было число ихъ .

3. Если въ равенствѣ (5) всѣ показатели равны между собой, то оно выражаетъ следующую вторую теорему о степеняхъ:

Чтобы возвысить степень въ новую степень, достаточно перемножить показателей, т. е.:

.

4. Чтобы возвысить въ степень произведенiе нѣсколькихъ сомножителей, можно возвысить въ эту степень каждый изъ сомножителей въ отдельности и полученныя произведенiя перемножить:

Если здѣсь вновь будемъ считать всѣ основанiя равными между собой, то мы, въ силу соотношенiя (5), вновь получимъ предложеніе 3.

5. Если число больше , то тѣмъ больше, чѣмъ больше показатель ; можно также выбрать число настолько большимъ, чтобы было больше любого заданнаго числа . Въ этомъ легко убѣдиться индуктивнымъ путемъ. Въ самомъ дѣлѣ, утвержденiе справедливо, если , потому что даже уже больше .

Если же , то . Такимъ образомъ, если наше утвержденiе справедливо для нѣкотораго значенiя , то оно справедливо также для .

Вмѣстѣ съ тѣмъ, если для нѣкотораго значенiя показателя , то тѣмъ болѣе , если имѣетъ значенiе большее, нежели .

6. Въ основанiи нашей десятичной системы счисленiя лежатъ степени числа . Число изображается съ нулями и образуетъ единицу n-го разряда. Число, изображаемое цифрами , имѣетъ значенiе

. (7)
[34]

Но чтобы мѣсто, занимаемое цифрой, могло служить для обозначенiя степени, необходимо также указать, какiя степени вовсе отсутствуютъ; для этого служитъ знакъ (нуль), который тоже принято считать цифрой. (Собственно говоря слово „цифра“ первоначально обозначало только , и только позже это названiе было распространено на остальные знаки, выражающiе числа). Сообразно съ этимъ въ формулѣ (7) подъ нужно разумѣть одинъ изъ знаковъ:

.

Если при нѣкоторомъ вычисленiи число единицъ какого-либо разряда превышаетъ 9, то нужно пользоваться формулой

.

Такимъ образомъ правило умноженiя чиселъ въ десятичной системѣ основывается, какъ мы видимъ, на предложенiи § 9, 2.

При возвышенiи въ степень не имѣютъ мѣста ни перемѣстительный ни сочетательный законы, потому что имѣетъ другое значенiе, нежели (напр. , ); точно такъ же имѣетъ не то значенiе, что (напр. , ). Вслѣдствiе этой именно причины не образуютъ новыхъ дѣйствiй въ томъ порядкѣ идей, въ какомъ умноженiе составлено изъ сложенiя, хотя по существу это было бы возможно, если принять за основанiе и показатель одно и то же число. Законы такой операцiи были бы очень сложны, а нужды практической жизни и науки не дѣлаютъ такого обобщенiя необходимымъ.




 


PD-icon.svg Это произведение находится в общественном достоянии в России.
Произведение было опубликовано (или обнародовано) до 7 ноября 1917 года (по новому стилю) на территории Российской империи (Российской республики), за исключением территорий Великого княжества Финляндского и Царства Польского, и не было опубликовано на территории Советской России или других государств в течение 30 дней после даты первого опубликования.

Несмотря на историческую преемственность, юридически Российская Федерация (РСФСР, Советская Россия) не является полным правопреемником Российской империи. См. письмо МВД России от 6.04.2006 № 3/5862, письмо Аппарата Совета Федерации от 10.01.2007.

Это произведение находится также в общественном достоянии в США, поскольку оно было опубликовано до 1 января 1927 года.

Flag of Russia.svg