Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/99

84 § 24 вокупность отрицательныхъ чиселъ нижней границы не имЪетъ, а верх- верхней границей ея служить нуль. Совокупность правильныхъ положитель- ныхъ дробей имЕетъ и нижнюю границу—нуль, и верхнюю границу— единицу. Верхняя или нижняя граница можетъ входить въ составъ компле- комплекса, какъ элементъ его, но можетъ и не входить въ него. Въ мервомъ случай нижняя граница называется минимумомъ комплекса, а верхняя граница—максимумомъ его 10). Если свчеше „/./' опредЪляетъ собою число а, то это по- последнее одновременно является верхней границей всЬхъ чиселъ й и нижней границей всЪхъ чиселъ а'- § 24- Дт»йств1Я пядь пррафоналышяи числами. 1. Теперь займемся опредЬлендемъ основныхь ариемегическихь дт,й- ствШ въ области иррацюнальныхь чисел ь. Для этого достаточно остано- остановиться подробно на одномъ каком ь-либо дЪйствш. напр, сложенш: проч1я тогда уже не представять намъ ничего существенно новаго. Пусть ¦* и [j обозначаклъ числа, опредътшемыя соответственно сЪчежями А1./' " И1 И'; въ виду того, что всЬ числа а и b не превышаютъ соответственно чи- чисел ь ¦* и [3, а эти послЕдтя не превышают ь чисел ь а' и /?', го ком- плексъ суммъ а--Ь имЬетъ некоторую верхнюю границу -у, а комплексъ суммъ а'--Ь' имЪетъ нижнюю границу у'. O6t эти границы "у и у' не мо- гутъ быть отличны другъ отъ друга. Въ самомъ дЕлЕ, если бы у'<СТ> мы вынуждены были бы зак почить, что некоторая сумма а'--Ь' меньше некоторой суммы tt-~lr. стоигъ лишь выбрать первую достаточно близко кь "у', а вторую достаточно близко къ -у; н0 неравенство </'-)-// <С а -- h невозможно, такь какь всегда й' > а и // > 1>; такъ что невозможно, чтобы у <^ у. Если же мы примем ь, что у< у, то мы менли бы подобрать два ршпональныхь числа с и с', удовлетворяющихъ неравенствамь 7<г<г'<:у- Bet. суммы а'--Ь' были бы больше числа с', а всЬ суммы а - b бмли бы меньше числа с, т. е. (' <С if -- Ь' для всЬхь значен1й а' и // i > a -- b для всЕхъ значен1й а и />. |и). Если. напримЕрь, комплексъ Т состоигъ изъ всЕхь чиселъ вида , гдв k есть цЕлое положительное число, то его нижней границей служитъ 0, а верх- верхней 1; но ни то ни другое число комплексу не нринадлежитъ. Если, однако, ми присоединимъ число 0 къ нашему комплексу, то нижняя граница войдетъ въ его со- составъ и будетъ служить его минимумом ь. Если мы присоединимъ къ комплексу и 1, то и верхняя граница войдет ь въ сосглиь комплекса и будетъ служить его мак- симумомъ.