АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯзадачах. Эти средства в своем развитии чрезвычайно различны; но при всем их разнообразии они всегда опираются на изложенные руководящие идеи Декарта.
Следующие примеры, представляющие собою простейшие применения этих идей, отчетливее их выясняют. Пусть ОМ (рис. 6) будет биссектриса угла между осями координат, М — произвольная точка на ней, sc, у — ее координаты. В таком случае в прямоугольном треугольнике OMN оба острых угла равны 45°, поэтому ON=MN, т. — е. для каждой точки прямой ОМ у — х. Это и есть уравнение этой прямой.
Немногим сложнее обстоит это дело, если прямая ОМ образует с осью абсцисс другой угол а. В этом случае (рис. 7) прямоугольный треугольник OMN дает 2/=sctga или у=кх, где Jt=tg«; это и есть уравнение нашей прямой. Эти простые соображения приводят к заключению, что всякая прямая, проходящая через начало координат, выражается уравнением первой степени (линейным).
Вряд ли сложнее вывод уравнения окружности; ограничимся сначала случаем, когдана относительно оси ординат. Ордината у имеет наибольшее значение при ш=0, и, при возрастании х от 0 до г, у все время убывает, обращаясь в нуль при х=г; кривая спускается от точки Р к точке Q, где она достигает оси абсцисс. При я?>г ордината у не имеет уже действительных значений. Эти рассуждения ничего, конечно, не прибавляют к нашим сведениям об окружности, но они дают нек-рое представление о характере аналитического исследования геометрических форм.
Уравнения прямой и окружности, к-рые мы получили выше, — имеют особенно простую форму благодаря специальному поло Рис. 9.
центр ее совпадает с началом координат.
Прямоугольный треугольник OMN (рис. 8) в этом случае дает уравнение окружности Ж2+2/2=Г2,
(3)
где г есть ее радиус; это есть уравнение кривой, соответствующее общей форме (1).
Разрешая это уравнение относительно у или относительно х, получим формы, соответствующие (2а) и (2Ь): у = ± (4а) х = zt (4Ь) Первое из этих выражений обнаруживает, что каждому значению х на кривой отвечают две точки М иМ', имеющие ординаты, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку; эти точки, следовательно, лежат по обе стороны оси абсцисс на одинаковых от нее расстояниях: кривая симметрична относительно оси абсцисс. Таким же образом в форме (4Ъ) уравнение обнаруживает, что кривая симметрич жению начала координат: при выводе уравнения прямой оно взято на самой прямой, при выводе уравнения окружности начало взято в центре окружности. Если начало выбрать иначе, не приспособив его, так сказать, к рассматриваемой линии, то уравнение усложнится иногда очень значительно. Так, если центр окружности лежит в точке (а, Ъ) (рис. 9), то в прямоугольном треугольнике OLM катеты равны: OL=KN=x — a, ML=MN — LN=y — b.
Поэтому, в силу Пифагоровой теоремы, (х — а) 2 +(у — &) а=г2, это и есть уравнение окружности; если открыть скобки, то оно приводится к виду я24 — г/2—2ах — 2Ьу=с, где с=г2 — а2 — &2. (5) Т. о., уравнение, выражающее заданную линию, может существенно изменяться в зависимости от. выбора координатных осей.
Но два обстоятельства остаются при этом инвариантными, т. — е. неизменными.
Во-первых, если уравнение какой-либо линии в Декартовых координатах было алгебраическим (см. Алгебра), т. — е., если уравнение это могло быть приведено к виду f(x, у)=0, левая часть к-рого есть целая функция от х, у (многочлен, расположенный по целым степеням этих переменных), то оно остается алгебраическим и при любом изменении осей Декартовых координат. Сообразно этому, такая линия называется алгебраической кривой; кривые же, к-рые выражаются более сложны-
