народы. Сочинение Архимеда, независимо от своего чисто арифметического содержания, представляет громадную важность потому, что дает сводку космологических знаний того времени; но блестящее решение поставленной задачи, к-рое в принципе основано на употреблении возрастающей прогрессии и предвосхищает нашу систему счисления, было совершенно непонятно современникам и не оказало существенного влияния на греческую систему счисления. — В вопросе о делении круга греки, по примеру вавилонян, пользовались шестидесятиричной системой, к-рая и привела к понятию о градусе, минуте и секунде при измерении углов и дуг окружности (Птолемей).
Римляне не внесли ничего выдающегося ни в теоретическую, ни в практическую части А. Их тяжеловесная система счисления, позволявшая производить вычисления почти исключительно с помощью абака и иногда смешанная с двенадцатиричной, — система, оставшаяся от них в наследие средним векам, оказала лишь отрицательное влияние при введении индусской системы счисления.
Не касаясь спорного вопроса о степени самостоятельности индийской культуры и о влиянии ее на греческую в древнейшие времена, отметим лишь, что уже в 8 в. до хр. э. индусы были знакомы с теоремой Пифагора и проявляли величайший интерес к очень большим числам; так, в древних легендах о Будде встречаются названия чисел до 10й. — В более поздние времена факт культурного взаимодействия и сношений между Грецией и Индией становится уже несомненным. Во время упадка греческой культуры индусы продолжали развивать свои методы счета. Они-то и создали систему счисления, которая удержалась и по сие время, оказав огромные услуги математике и научному естествознанию. В противоположность грекам, индусы мало занимались геометрией; их преимущественно интересовала астрономия, и потому они для своих целей цуждались в хорошо поставленной системе вычислений. Поэтому индусы весьма заботливо и даже с любовью относились именно к «вычислительному искусству», посвящая ему целые главы в своих астрономических трактатах (Ариабхата — 5 в., Брахмагупта — 7 в., Бхаскара — 12 в.). Утвердив окончательно десятичную систему, индусы приняли за основной принцип зависимость величины числа, изображаемого данной цифрой, от «разряда», т. — е. от места, на к-ром она стоит; для проведения этого принципа им достаточно было ввести девять «значащих цифр», соответствующих нашим 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и знак 0, к-рый сам по себе означает отсутствие числа, но, будучи приписан к значащей цифре справа, повышает ее разряд на единицу, т. — е. увеличивает ее значение в десять раз. Самая форма знаков десяти цифр, несомненно, претерпевала многочисленные изменения, при чем одна из древнейших форм была Devanagari, особый род санскритских письмен. Принципы индусской системы счисления в 9 в. стали известны арабам, в течение 10 в. широко распространились у них и вошли в общее употребление, особенно же в их астрономическихтрактатах. Затем, через Испанию, — вместе с остатками греческой науки, — арабы перенесли свои знания и в Европу, в чем заключается одна из самых больших заслуг арабов перед современной европейской культурой; благодаря указанному обстоятельству, система счисления и даже самые цифры называются обыкновенно арабскими. — Кроме разработки правил вычислений, к-рые, правда, значительно отличаются от наших, т. к. основаны на употреблении досок, посыпанных цветным песком, — индусы сделали значительные успехи в области решения неопределенных уравнений, к-рые составляют один из основных предметов изучения теории чисел (см.), и (что, пожалуй, самое важное) они научили б. или м. систематически употреблять положительные и отрицательные числа.
С 12 в. арабские рукописи начинают появляться в Европе в латинском переводе, в виде астрономических таблиц, трактатов и пр. Однако, индусской системе счисления пришлось выдержать ожесточенную борьбу с абаком, борьбу, к-рая продолжалась около трех столетий, начавшись в 1202 появлением знаменитой книги Леонарда Пизанского и закончившись в 1494 трактатом Луки Пачиоли. Книга Леонарда «Liber Abaci» была первым сочинением, в к-ром индусская система счета проводилась последовательно.
Она получила такое распространение, что ее роль в А. сравнивали с ролью «Начал» Евклида в геометрии. В сочинении Пачиоли «Summa de Arithmetica» была установлена А. десятичного счета целых чисел в том виде, в каком ею пользуются и в наст, время, — с тою только разницей, что Пачиоли были известны только наши разряды, а не классы. Три столетия понадобились для того, чтобы заставить сторонников абака — абац истов (среди к-рых были такие выдающиеся мыслители, как Герберт) отступить перед окончательно выработавшимися, целесообразными и практическими приемами вычислений, приспособленными к нашим современным условиям работы — бумаге и чернилам.
Великие открытия 15 в., развитие международных сношений и, наконец, изобретение книгопечатания явились существенными факторами для распространения и усвоения широкими массами «математической цивилизации». Многочисленные трактаты по А., начавшие появляться после первой печатной А. Вагнера в Гамбурге, если и не содержали нового, то, во всяком случае, знакомили с уже завоеванными знаниями и давали толчок к самостоятельным исследованиям. Развивавшиеся в естествознании точные измерения требовали упрощения вычислений в области малых дробей. Существенным шагом вперед в этом деле явилось распространение понятия о разряде на числа, меньшие 1, т. — е. введение десятичных дробей, — заслуга, принадлежащая замечательному бельгийскому ученому и инженеру Стевину.
К необходимости такого распространения приводили многочисленные задачи, решавшиеся и раньше, — деление, извлечение корней квадратных и кубичных и пр. При помощи десятичных дробей стало возможно
