БЕСКОНЕЧНО-БОЛЬШИЕ И БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫЕ
При этом сумма площадей трапецоидов всегда в точности равна площади параболического сегмента; но вычислить площадь трапецоида Архимед бессилен, а потому заменяет их Б. — м-ыми трапециями, отбрасывая Б. — м-ые последней категории — дополнительные сегменты. Неограниченное возрастание числа п для того и нужно, чтобы трапеции (а не трапецоиды) исчерпывали определяемую площадь, и это достигается благодаря тому, что при неограниченном увеличении числа трапеций сумма всех дополнительных сегментов, так сказать, сходит на-нет. Итак, сущность замысла заключается в том, что Б. — м-ый трапецоид упрощается, разбивается на Б. — м-ую трапецию и Б. — м-ый сегмент, из к-рых последним можно пренебречь. Чем же отличается Б. — м-ый сегмент от Б. — м-ой трапеции? Он несравненно меньше трапеции; по существу разница между этими Б. — м-ыми только количественная: отбрасываемые сегменты несравненно меньше трапецоида, но в процессе разложения площади на бесконечно убывающие трапецоиды, эта количественная разница настолько углубляется и становится настолько существенной, что Б. — м-ые сегменты, по сравнению с трапецоидами, становятся Б. — м-ыми другого рода или, как говорят математики, Б. — м-ы м и другого порядка; особенная природа этих Б. — м-ых заключается в том, что и х сумма, как указано выше, сходит на-нет; количественная разница, — говорят диалектики в своей общей терминологии, — здесь настолько углубляется, что становится уже качественной. И это не случайная особенность метода, примененного Архимедом для квадратуры (вычисления площади в квадратных единицах) параболы. В этом весь замысел метода исчерпывания: определяемая величина разбивается на части, к-рые в определенном, нами устанавливаемом, процессе становятся Б. — м-ми; эти Б. — м-ые заменяются другими, исчерпывающими определенную величину в том же процессе, но более простыми, поддающимися вычислению. Самая замена всегда заключается в отбрасывании от основных Б. — м-ых элементов, на к-рые мы разбиваем определяемую величину, столь малых частей этих элементов, что эти части представляют как бы Б. — м-ые особой природы, особого качества, или — как в применении к этому случаю точнее выражаются математики — Б. — м — ы е высшего порядка; особенная природа этих величин заключается в том, что при процессе исчерпывания ими можно пренебречь без ущерба для конечного результата.
Это качественное отличие Б. — м-ых высших порядков, проистекающее из углубленного количественного различия, представляет собой в этом математическом процессе результат перехода количества в качество, по терминологии диалектиков. Самое упрощение можно осуществлять различными способами. Так, при современных методах вычисления площади параболы каждый трапецоид обыкновенно замещают не трапецией того же наименования, а прямоугольником DCC'A', т. — е. отбрасывают еще треугольник ADA', также представляющийсобою Б. — м-ую величину высшего порядка.
Самый же термин Б. — б-ое и Б. — м-ое, к-рый, кстати сказать, греческими геометрами употреблялся с большой осторожностью, означает только, что в процессе, к к-рому относится все рассуждение, постоянно нарастающее число элементов может быть сделано сколько угодно (неограниченно) большим, а самые элементы — неограниченно малыми; конечные — же величины систематически разбиваются на Б. — м-ые элементы. В этом именно и заключается диалектический характер всего замысла. Архимед применил метод исчерпывания к вычислению поверхности шара, объема шара и шарового сектора, площади эллипса, объема сегмента гиперболоида вращения и др. поверхностей и тел.
Особенное развитие он получил в его «Ефодике» — сочинении, лишь недавно открытом (см. Архимед). Греческая культура вскоре стала клониться к упадку, и дальнейшего развития метод исчерпывания в античной геометрии не получил, а с падением греческой культуры он оставался забытым в течение ряда веков.
В эпоху раннего Возрождения интересы математиков сосредоточены преимущественно не на геометрических, а на арифметических и алгебраических задачах. Арабские, испанские, итальянские средневековые математики, то независимо друг от друга, то продолжая друг друга, заняты, гл. обр., усовершенствованием искусства счета. Этого требовала развертывавшаяся торговля, расширившееся мореплавание, связанное с ним кораблестроение и другие виды нараставшей техники. Начиная с Леонарда Пизанского (Liber Abaci, 1202), непрерывно идет работа по систематизации обыкновенного арифметического счета, к-рая получает нек-рое завершение в руководстве Луки Пачиоли (Summa de Arithmetica, 1494).
Но одновременно идут попытки вычисления квадратных корней, а затем и более сложных иррациональностей; стимулом к этому служила постепенно развивавшаяся алгебра (см. Арифметика, Алгебра). И Леонард Пизанский, и Лука Пачиоли, и почти все математики промежуточного периода ищут путей для приближенного вычисления иррациональных корней. Эти попытки дают сначала грубые приближения, к-рые затем уточняются добавочными слагаемыми. Пути, к-рые приводят к таким дополнительным слагаемым, чрезвычайно разнообразны, как и средства их выражения: они получаются то в виде шестидесятиричных приближений, (арабы), то в виде добавочных звеньев непрерывной дроби (Валлис), то, наконец, в виде последовательных десятичных знаков (Стевии). Но, как бы ни производились эти вычисления, по мере того, как уточнялась их задача, она неизменно претворяется в арифметическую форму старого метода исчерпывания: из данной иррациональности извлекается целая часть, затем извлекается возможно бблыпая часть остатка, затем — часть следующего остатка и т. д. Вся задача заключается в том, чтобы процесс, приводящий к Б. — б-му числу Б. — м-ых слагаемых, действительно исчерпывал вычисляемую иррациональность, т. — е. сво-
